{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie 4(𝑥-1)2(𝑥2 -25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania.\nB. trzy rozwiązania.\nC. cztery rozwiązania.\nD. pięć rozwiązań.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie 4(x-1)^2(x^2-25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania. B. trzy rozwiązania. C. cztery rozwiązania. D. pięć rozwiązań.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: […] 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-5, 3)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt dziedziny z wykresu\n\nDziedzina funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(x\\), dla których funkcja jest zdefiniowana - czyli rzut wykresu na oś \\(x\\).\n\n**Krok 1: Znajdź skrajne punkty wykresu.**\n\nZ rysunku odczytujemy, że wykres funkcji \\(f\\) zaczyna się nad punktem \\(x = -5\\) i kończy nad punktem \\(x = 3\\).\n\n**Krok 2: Sprawdź, czy końce są osiągane (otwarte czy domknięte).**\n\nKluczowe są znaczniki na końcach wykresu:\n- Na lewym końcu (przy \\(x = -5\\)) - **puste kółko** ⇒ punkt **nie należy** do dziedziny\n- Na prawym końcu (przy \\(x = 3\\)) - **puste kółko** ⇒ punkt **nie należy** do dziedziny\n\n**Krok 3: Zapisz dziedzinę.**\n\nOba końce są wykluczone, więc dziedzina to przedział **otwarty**:\n\n\\[\\mathcal{D} = (-5, 3)\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pytanie o przynależność punktów\n\nSprawdzamy, czy punkty graniczne należą do wykresu:\n\n- Czy \\(f(-5)\\) istnieje? - Pusty punkcik przy \\(x = -5\\) oznacza **NIE**. Gdyby należał, byłoby pełne kółko (●).\n- Czy \\(f(3)\\) istnieje? - Pusty punkcik przy \\(x = 3\\) oznacza **NIE**.\n\nSkoro żaden z końców nie należy do wykresu, dziedzina **nie zawiera** \\(-5\\) ani \\(3\\), więc:\n\n\\[\\mathcal{D} = (-5, 3)\\]\n\nWniosek zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji i umiejętność odczytu oznaczeń z wykresu (puste/pełne kółko).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(\\langle -5, 3 \\rangle\\) - obustronnie domknięty. Uczeń nie zauważył, że **oba** końce mają puste kółka - uznał, że oba końce należą do dziedziny. |\n| C | \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) - zupełnie inne wartości. Uczeń mógł odczytać **wartości funkcji** (zakres, przeciwdziedzinę) zamiast argumentów (dziedziny). |\n| D | \\(\\langle -1, 2)\\) - mieszanie wartości z prawego i lewego końca wykresu (zakres) z lewostronnym domknięciem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Puste kółko (○) na końcu wykresu oznacza, że punkt **nie należy** do dziedziny - przedział jest tam **otwarty**. Pełne kółko (●) oznacza należenie - przedział jest **domknięty**. To najczęstszy błąd w tym typie zadań!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl **dziedziny** (wartości \\(x\\)) z **zakresem/przeciwdziedzinią** (wartości \\(y\\)). Dziedzina = \"ile w poziomie sięga wykres\", zakres = \"ile w pionie sięga wykres\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Notacja ma znaczenie! \\(\\langle a, b \\rangle\\) to przedział domknięty obustronnie, \\((a, b)\\) to otwarty, \\(\\langle a, b)\\) to domknięty tylko z lewej. Na maturze każdy nawias jest oceniany!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWykres zaczyna się w punkcie \\((-5,2)\\) (kółko puste - punkt **nie należy**) i kończy w \\((3,2)\\) (kółko puste - punkt **nie należy**). Dziedzina to \\((-5,3)\\) - przedział otwarty.\n\n### Sposób 2 - Analiza krańców\nObie skrajne wartości \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) zaznaczono pustymi kółkami, co oznacza wyłączenie z dziedziny.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle -5,3\\rangle\\)** - błędnie zaznaczono zamknięte krańce.\n- **C. \\(\\langle -1,2\\rangle\\)** - to przedział dla zbioru wartości, nie dziedziny.\n- **D. \\(\\langle -1,2)\\)** - pomylono dziedzinę ze zbiorem wartości.\n\n**Trik:** puste kółko = punkt **nie należy**; pełne kółko = punkt **należy**.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Wielomiany, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Równanie 4(𝑥-1)2(𝑥2 -25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie<br>A. dwa rozwiązania.<br>B. trzy rozwiązania.<br>C. cztery rozwiązania.<br>D. pięć rozwiązań.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Równanie 4(x-1)^2(x^2-25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania. B. trzy rozwiązania. C. cztery rozwiązania. D. pięć rozwiązań.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.5) rozwiązuje równania wielomianowe<br>postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów<br>doprowadzonych do postaci iloczynowej.<br>II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia<br>na: […] 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\((-5, 3)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt dziedziny z wykresu</h4>\n<p>Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(x\\), dla których funkcja jest zdefiniowana - czyli rzut wykresu na oś \\(x\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź skrajne punkty wykresu.</strong></p>\n<p>Z rysunku odczytujemy, że wykres funkcji \\(f\\) zaczyna się nad punktem \\(x = -5\\) i kończy nad punktem \\(x = 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Sprawdź, czy końce są osiągane (otwarte czy domknięte).</strong></p>\n<p>Kluczowe są znaczniki na końcach wykresu:</p>\n<ul><li>Na lewym końcu (przy \\(x = -5\\)) - <strong>puste kółko</strong> ⇒ punkt <strong>nie należy</strong> do dziedziny</li><li>Na prawym końcu (przy \\(x = 3\\)) - <strong>puste kółko</strong> ⇒ punkt <strong>nie należy</strong> do dziedziny</li></ul>\n<p><strong>Krok 3: Zapisz dziedzinę.</strong></p>\n<p>Oba końce są wykluczone, więc dziedzina to przedział <strong>otwarty</strong>:</p>\n<p>\\[\\mathcal{D} = (-5, 3)\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez pytanie o przynależność punktów</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy punkty graniczne należą do wykresu:</p>\n<ul><li>Czy \\(f(-5)\\) istnieje? - Pusty punkcik przy \\(x = -5\\) oznacza <strong>NIE</strong>. Gdyby należał, byłoby pełne kółko (●).</li><li>Czy \\(f(3)\\) istnieje? - Pusty punkcik przy \\(x = 3\\) oznacza <strong>NIE</strong>.</li></ul>\n<p>Skoro żaden z końców nie należy do wykresu, dziedzina <strong>nie zawiera</strong> \\(-5\\) ani \\(3\\), więc:</p>\n<p>\\[\\mathcal{D} = (-5, 3)\\]</p>\n<p>Wniosek zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji i umiejętność odczytu oznaczeń z wykresu (puste/pełne kółko).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | \\(\\langle -5, 3 \\rangle\\) - obustronnie domknięty. Uczeń nie zauważył, że <strong>oba</strong> końce mają puste kółka - uznał, że oba końce należą do dziedziny. |<br>| C | \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) - zupełnie inne wartości. Uczeń mógł odczytać <strong>wartości funkcji</strong> (zakres, przeciwdziedzinę) zamiast argumentów (dziedziny). |<br>| D | \\(\\langle -1, 2)\\) - mieszanie wartości z prawego i lewego końca wykresu (zakres) z lewostronnym domknięciem. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Puste kółko (○) na końcu wykresu oznacza, że punkt <strong>nie należy</strong> do dziedziny - przedział jest tam <strong>otwarty</strong>. Pełne kółko (●) oznacza należenie - przedział jest <strong>domknięty</strong>. To najczęstszy błąd w tym typie zadań!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl <strong>dziedziny</strong> (wartości \\(x\\)) z <strong>zakresem/przeciwdziedzinią</strong> (wartości \\(y\\)). Dziedzina = &quot;ile w poziomie sięga wykres&quot;, zakres = &quot;ile w pionie sięga wykres&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Notacja ma znaczenie! \\(\\langle a, b \\rangle\\) to przedział domknięty obustronnie, \\((a, b)\\) to otwarty, \\(\\langle a, b)\\) to domknięty tylko z lewej. Na maturze każdy nawias jest oceniany!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Wykres zaczyna się w punkcie \\((-5,2)\\) (kółko puste - punkt <strong>nie należy</strong>) i kończy w \\((3,2)\\) (kółko puste - punkt <strong>nie należy</strong>). Dziedzina to \\((-5,3)\\) - przedział otwarty.</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza krańców</h5>\n<p>Obie skrajne wartości \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) zaznaczono pustymi kółkami, co oznacza wyłączenie z dziedziny.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\langle -5,3\\rangle\\)</strong> - błędnie zaznaczono zamknięte krańce.</li><li><strong>C. \\(\\langle -1,2\\rangle\\)</strong> - to przedział dla zbioru wartości, nie dziedziny.</li><li><strong>D. \\(\\langle -1,2)\\)</strong> - pomylono dziedzinę ze zbiorem wartości.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> puste kółko = punkt <strong>nie należy</strong>; pełne kółko = punkt <strong>należy</strong>.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, równanie $4(x - 1)^2 (x^2 - 25) = 0$ ma jedno rozwiązanie z $4(x - 1)^2$ oraz dwa z $x^2 - 25$, co prowadzi do łącznie trzech unikalnych rozwiązań: $x = 1$, $x = 5$ i $x = -5$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Równanie ma postać:</p>\n<p>4(x-1)^2(x^2-25)=0</p>\n<p>Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.</p>\n<p>(x-1)^2=0 ⇒ x=1</p>\n<p>x^2-25=0</p>\n<p>x^2=25</p>\n<p>x=-5 lub x=5</p>\n<p>Równanie ma trzy różne rozwiązania:</p>\n<p>-5, 1, 5</p>\n<p>Odpowiedź: B. trzy rozwiązania.</p>"}]}