{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-2)\nW maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew.\nPo roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim\nsadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.\nLiczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które\npozostały w pierwszym sadzie.\nOblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nW maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 850.\n1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć liczby drzew posadzonych\nw pierwszym i drugim sadzie, np.\n𝑥+ 𝑦= 1 410 oraz 0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80𝑥,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę drzew\nposadzonych w pierwszym sadzie, np.\n0,85 ⋅(1 410 -𝑥) = 0,70 ⋅0,80𝑥,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę drzew\nposadzonych w drugim sadzie, np.\n0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80 ⋅(1 410 -𝑦).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od\n850, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy:\n𝑥 - liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie,\n𝑦 - liczba drzew posadzonych w drugim sadzie.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 1 410 oraz 0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80𝑥\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 1 410 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do\ndrugiego z równań, dzięki czemu otrzymujemy:\n0,85 ⋅(1 410 -𝑥) = 0,70 ⋅0,80𝑥\n1 198,5 -0,85𝑥= 0,56𝑥\n1,41𝑥= 1 198,5\n𝑥= 850\nW maju 2024 roku w pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((-3, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: pozioma linia referencyjna\n\n**Krok 1: Odczytaj wartość \\(f(-3)\\) z wykresu.**\n\nZaznaczamy punkt \\(x = -3\\) na osi \\(OX\\) i odczytujemy odpowiadającą wartość \\(f(-3)\\). Niech to będzie \\(y_0 = f(-3)\\).\n\n**Krok 2: Narysuj (lub wyobraź sobie) poziomą linię \\(y = y_0\\).**\n\nSzukamy wszystkich \\(x\\), dla których wykres funkcji leży **poniżej** tej linii - czyli \\(f(x) < f(-3)\\).\n\n**Krok 3: Znajdź przedział, gdzie wykres jest poniżej linii \\(y = y_0\\).**\n\nZ wykresu widać, że:\n- w punkcie \\(x = -3\\): wykres **przecina** linię \\(y = y_0\\), więc \\(f(-3) = y_0\\) - punkt **nie należy** do rozwiązania (nierówność ostra \\(<\\))\n- dla \\(x \\in (-3, 1)\\): wykres leży **poniżej** linii \\(y = y_0\\), więc \\(f(x) < f(-3)\\) ✓\n- w punkcie \\(x = 1\\): wykres znów **przecina** linię \\(y = y_0\\), więc \\(f(1) = f(-3)\\) - punkt **nie należy** do rozwiązania\n\n**Wniosek:** zbiór rozwiązań to otwarty przedział \\((-3, 1)\\).\n\n\\[\\boxed{x \\in (-3, 1)}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie punktów brzegowych i wnętrza\n\n**Sprawdzamy, dlaczego granice są wykluczone:**\n\n- Dla \\(x = -3\\): \\(f(-3) < f(-3)\\) - to fałsz (lewa = prawa strona), więc \\(x = -3\\) **nie jest** rozwiązaniem.\n- Dla \\(x = 1\\): \\(f(1) < f(-3)\\) - z wykresu \\(f(1) = f(-3)\\), więc też fałsz. \\(x = 1\\) **nie jest** rozwiązaniem.\n\n**Sprawdzamy punkt wewnętrzny**, np. \\(x = -1\\):\nZ wykresu \\(f(-1)\\) leży wyraźnie **poniżej** \\(f(-3)\\), więc \\(f(-1) < f(-3)\\) ✓ - punkt należy do rozwiązania.\n\n**Sprawdzamy, czy istnieje coś poza \\((-3, 1)\\)**, np. \\(x = -5\\):\nZ wykresu \\(f(-5) = f(-3)\\) lub \\(f(-5) > f(-3)\\) - warunek **nie jest** spełniony.\n\nPotwierdza to, że jedynym rozwiązaniem jest \\((-3, 1)\\) - przedział **otwarty**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wykresu funkcji i rozumienie definicji nierówności.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((-5,-3)\\) | Uczeń zamiast szukać, gdzie \\(f(x) < f(-3)\\), szuka przedziału **po lewej** stronie \\(x = -3\\) - myli kierunek nierówności lub czyta wykres od złej strony |\n| **B** \\(\\langle -5,-3\\rangle\\) | Jak wyżej + dodatkowo używa nawiasów **domkniętych**, ignorując że nierówność jest ostra \\(<\\) (nie \\(\\leq\\)) |\n| **C** \\(\\langle -3,1\\rangle\\) | Uczeń dobrze identyfikuje przedział \\((-3, 1)\\), ale wpisuje nawiasy **domknięte** \\(\\langle\\;\\rangle\\) - zapomina, że \\(f(-3) = f(-3)\\) i \\(f(1) = f(-3)\\), więc końce **nie spełniają** nierówności ostrej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność **ostra** \\(<\\) zawsze daje przedział **otwarty** - końce są wykluczone! Gdyby zadanie pytało o \\(f(x) \\leq f(-3)\\), odpowiedź brzmiałaby \\(\\langle -3, 1 \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie szukamy, gdzie \\(f(x) < -3\\) (tzn. poniżej poziomu \\(y = -3\\)), tylko gdzie \\(f(x) < f(-3)\\) - najpierw **odczytaj wartość** \\(f(-3)\\) z wykresu, dopiero potem szukaj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek - po lewej stronie od \\(x = -3\\) wykres może też leżeć poniżej pewnego poziomu, ale sprawdź dokładnie: z wykresu wartości w \\((-5, -3)\\) są **nie mniejsze** niż \\(f(-3)\\), więc tamten obszar nie jest rozwiązaniem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Odczyt wartości \\(f(-3)\\)\nZ wykresu \\(f(-3) = 0\\). Szukamy \\(x\\), dla których \\(f(x) < 0\\).\nNa wykresie \\(f\\) przyjmuje wartości ujemne (poniżej osi OX) dla \\(x \\in (-3, 1)\\) (punkt \\(x=1\\) nie należy - kółko puste, \\(x=-3\\) także nie należy, bo \\(f(-3)=0\\) nie spełnia ostrej nierówności).\n\n### Sposób 2 - Analiza wykresu\nWykres ma wartość \\(-1\\) na przedziale \\(-3 < x < 1\\). Wartość \\(f(1) = -1\\) - kółko pełne, ale \\(1\\) nie jest w dziedzinie ciągłej części lewej; wartość \\(f(-3) = 0\\). Zatem \\(f(x) < 0\\) dokładnie dla \\(x \\in (-3, 1)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - zły obszar wykresu.\n- **C. \\(\\langle -3,1\\rangle\\)** - zawiera \\(-3\\), dla którego \\(f(-3) = 0\\), a nie \\(< 0\\).\n\n**Trik:** \\(f(x) < f(-3)\\) = punkty, w których wykres leży poniżej poziomu \\(f(-3)\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-2)<br>W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew.<br>Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim<br>sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.<br>Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które<br>pozostały w pierwszym sadzie.<br>Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>IV.2) stosuje układy równań do<br>rozwiązywania zadań tekstowych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 850.<br>1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć liczby drzew posadzonych<br>w pierwszym i drugim sadzie, np.<br>𝑥+ 𝑦= 1 410 oraz 0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80𝑥,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę drzew</li></ul>\n<p>posadzonych w pierwszym sadzie, np.<br>0,85 ⋅(1 410 -𝑥) = 0,70 ⋅0,80𝑥,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę drzew</li></ul>\n<p>posadzonych w drugim sadzie, np.<br>0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80 ⋅(1 410 -𝑦).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże</li></ol>\n<p>właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje<br>1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od</li></ol>\n<p>850, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Oznaczmy:<br>𝑥 - liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie,<br>𝑦 - liczba drzew posadzonych w drugim sadzie.<br>Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:<br>𝑥+ 𝑦= 1 410 oraz 0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80𝑥<br>Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 1 410 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do<br>drugiego z równań, dzięki czemu otrzymujemy:<br>0,85 ⋅(1 410 -𝑥) = 0,70 ⋅0,80𝑥<br>1 198,5 -0,85𝑥= 0,56𝑥<br>1,41𝑥= 1 198,5<br>𝑥= 850<br>W maju 2024 roku w pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\((-3, 1)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu: pozioma linia referencyjna</h4>\n<p><strong>Krok 1: Odczytaj wartość \\(f(-3)\\) z wykresu.</strong></p>\n<p>Zaznaczamy punkt \\(x = -3\\) na osi \\(OX\\) i odczytujemy odpowiadającą wartość \\(f(-3)\\). Niech to będzie \\(y_0 = f(-3)\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Narysuj (lub wyobraź sobie) poziomą linię \\(y = y_0\\).</strong></p>\n<p>Szukamy wszystkich \\(x\\), dla których wykres funkcji leży <strong>poniżej</strong> tej linii - czyli \\(f(x) &lt; f(-3)\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Znajdź przedział, gdzie wykres jest poniżej linii \\(y = y_0\\).</strong></p>\n<p>Z wykresu widać, że:</p>\n<ul><li>w punkcie \\(x = -3\\): wykres <strong>przecina</strong> linię \\(y = y_0\\), więc \\(f(-3) = y_0\\) - punkt <strong>nie należy</strong> do rozwiązania (nierówność ostra \\(&lt;\\))</li><li>dla \\(x \\in (-3, 1)\\): wykres leży <strong>poniżej</strong> linii \\(y = y_0\\), więc \\(f(x) &lt; f(-3)\\) ✓</li><li>w punkcie \\(x = 1\\): wykres znów <strong>przecina</strong> linię \\(y = y_0\\), więc \\(f(1) = f(-3)\\) - punkt <strong>nie należy</strong> do rozwiązania</li></ul>\n<p><strong>Wniosek:</strong> zbiór rozwiązań to otwarty przedział \\((-3, 1)\\).</p>\n<p>\\[\\boxed{x \\in (-3, 1)}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie punktów brzegowych i wnętrza</h4>\n<p><strong>Sprawdzamy, dlaczego granice są wykluczone:</strong></p>\n<ul><li>Dla \\(x = -3\\): \\(f(-3) &lt; f(-3)\\) - to fałsz (lewa = prawa strona), więc \\(x = -3\\) <strong>nie jest</strong> rozwiązaniem.</li><li>Dla \\(x = 1\\): \\(f(1) &lt; f(-3)\\) - z wykresu \\(f(1) = f(-3)\\), więc też fałsz. \\(x = 1\\) <strong>nie jest</strong> rozwiązaniem.</li></ul>\n<p><strong>Sprawdzamy punkt wewnętrzny</strong>, np. \\(x = -1\\):<br>Z wykresu \\(f(-1)\\) leży wyraźnie <strong>poniżej</strong> \\(f(-3)\\), więc \\(f(-1) &lt; f(-3)\\) ✓ - punkt należy do rozwiązania.</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy istnieje coś poza \\((-3, 1)\\)</strong>, np. \\(x = -5\\):<br>Z wykresu \\(f(-5) = f(-3)\\) lub \\(f(-5) &gt; f(-3)\\) - warunek <strong>nie jest</strong> spełniony.</p>\n<p>Potwierdza to, że jedynym rozwiązaniem jest \\((-3, 1)\\) - przedział <strong>otwarty</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wykresu funkcji i rozumienie definicji nierówności.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> \\((-5,-3)\\) | Uczeń zamiast szukać, gdzie \\(f(x) &lt; f(-3)\\), szuka przedziału <strong>po lewej</strong> stronie \\(x = -3\\) - myli kierunek nierówności lub czyta wykres od złej strony |<br>| <strong>B</strong> \\(\\langle -5,-3\\rangle\\) | Jak wyżej + dodatkowo używa nawiasów <strong>domkniętych</strong>, ignorując że nierówność jest ostra \\(&lt;\\) (nie \\(\\leq\\)) |<br>| <strong>C</strong> \\(\\langle -3,1\\rangle\\) | Uczeń dobrze identyfikuje przedział \\((-3, 1)\\), ale wpisuje nawiasy <strong>domknięte</strong> \\(\\langle\\;\\rangle\\) - zapomina, że \\(f(-3) = f(-3)\\) i \\(f(1) = f(-3)\\), więc końce <strong>nie spełniają</strong> nierówności ostrej |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nierówność <strong>ostra</strong> \\(&lt;\\) zawsze daje przedział <strong>otwarty</strong> - końce są wykluczone! Gdyby zadanie pytało o \\(f(x) \\leq f(-3)\\), odpowiedź brzmiałaby \\(\\langle -3, 1 \\rangle\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie szukamy, gdzie \\(f(x) &lt; -3\\) (tzn. poniżej poziomu \\(y = -3\\)), tylko gdzie \\(f(x) &lt; f(-3)\\) - najpierw <strong>odczytaj wartość</strong> \\(f(-3)\\) z wykresu, dopiero potem szukaj!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kierunek - po lewej stronie od \\(x = -3\\) wykres może też leżeć poniżej pewnego poziomu, ale sprawdź dokładnie: z wykresu wartości w \\((-5, -3)\\) są <strong>nie mniejsze</strong> niż \\(f(-3)\\), więc tamten obszar nie jest rozwiązaniem.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt wartości \\(f(-3)\\)</h5>\n<p>Z wykresu \\(f(-3) = 0\\). Szukamy \\(x\\), dla których \\(f(x) &lt; 0\\).<br>Na wykresie \\(f\\) przyjmuje wartości ujemne (poniżej osi OX) dla \\(x \\in (-3, 1)\\) (punkt \\(x=1\\) nie należy - kółko puste, \\(x=-3\\) także nie należy, bo \\(f(-3)=0\\) nie spełnia ostrej nierówności).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza wykresu</h5>\n<p>Wykres ma wartość \\(-1\\) na przedziale \\(-3 &lt; x &lt; 1\\). Wartość \\(f(1) = -1\\) - kółko pełne, ale \\(1\\) nie jest w dziedzinie ciągłej części lewej; wartość \\(f(-3) = 0\\). Zatem \\(f(x) &lt; 0\\) dokładnie dla \\(x \\in (-3, 1)\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B</strong> - zły obszar wykresu.</li><li><strong>C. \\(\\langle -3,1\\rangle\\)</strong> - zawiera \\(-3\\), dla którego \\(f(-3) = 0\\), a nie \\(&lt; 0\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(f(x) &lt; f(-3)\\) = punkty, w których wykres leży poniżej poziomu \\(f(-3)\\).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech x oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a y - liczbę drzew posadzonych w drugim sadzie.</p>\n<p>x+y=1410</p>\n<p>Po roku w pierwszym sadzie zostało 80% drzew, czyli:</p>\n<p>0 , 8x</p>\n<p>W drugim sadzie zostało 85% drzew, czyli:</p>\n<p>0 , 85y</p>\n<p>Z treści zadania wiemy, że liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowiła 70% liczby drzew pozostałych w pierwszym sadzie:</p>\n<p>0 , 85y=0 , 7· 0 , 8x</p>\n<p>0 , 85y=0 , 56x</p>\n<p>Zamieniamy liczby dziesiętne na ułamki:</p>\n<p>(85)/(100)y=(56)/(100)x</p>\n<p>85y=56x</p>\n<p>y=(56)/(85)x</p>\n<p>Podstawiamy do równania x+y=1410 :</p>\n<p>x+(56)/(85)x=1410</p>\n<p>(141)/(85)x=1410</p>\n<p>x=1410· (85)/(141)=10·85=850</p>\n<p>W pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$850$</p>"}]}