{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝒙(𝒙+ 𝟒) < 𝒙-𝟐\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność x(x+4) < x-2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n𝑥∈(-2, -1)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 3𝑥+ 2:\n𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = -1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 + 3𝑥+ 2, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 𝑥(𝑥+ 4)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. 𝑥(𝑥+ 4) < 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈[-2, -1]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-1, -2), to otrzymuje 2 punkty.\n-2\n-1\n𝑥\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 + 3𝑥+ 2 < 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\n𝑦= 𝑥2 + 3𝑥+ 2.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 3𝑥+ 2:\nΔ = 32 -4 ⋅1 ⋅2 = 1\nStąd\n𝑥1 = -3 -√1\n2 ⋅1\n= -2\n𝑥2 = -3 + √1\n2 ⋅1\n= -1\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 3𝑥+ 2.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-2, -1).\n-2\n-1\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(k \\in (1, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie miejsca zerowego i rozwiązanie nierówności\n\n**Szukamy miejsca zerowego funkcji \\(f(x) = \\frac{1}{2}x - k\\).**\n\nMiejsce zerowe to \\(x_0\\) taki, że \\(f(x_0) = 0\\):\n\n\\[\\frac{1}{2}x_0 - k = 0\\]\n\n\\[\\frac{1}{2}x_0 = k\\]\n\n\\[x_0 = 2k\\]\n\n**Warunek zadania:** miejsce zerowe jest większe od \\(2\\), czyli:\n\n\\[x_0 > 2\\]\n\n\\[2k > 2\\]\n\n\\[k > 1\\]\n\n**Zatem \\(k \\in (1, +\\infty)\\), co odpowiada odpowiedzi D.**\n\n## Sposób 2 - analiza wykresu / podstawienie sprawdzające\n\nFunkcja \\(f(x) = \\frac{1}{2}x - k\\) przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x_0 = 2k\\).\n\nChcemy, żeby ten punkt leżał **na prawo od \\(x = 2\\)** na osi \\(OX\\).\n\nSprawdzamy przykładowo \\(k = 2\\) (z przedziału \\((1, +\\infty)\\)):\n\\[x_0 = 2 \\cdot 2 = 4 > 2 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy \\(k = 0\\) (spoza przedziału):\n\\[x_0 = 2 \\cdot 0 = 0 \\not> 2 \\times\\]\n\nSprawdzamy graniczny przypadek \\(k = 1\\):\n\\[x_0 = 2 \\cdot 1 = 2 \\not> 2 \\times\\]\n(dokładnie \\(2\\), a zadanie wymaga **większe od \\(2\\)**, więc \\(k = 1\\) nie spełnia warunku - przedział jest **otwarty**: \\((1, +\\infty)\\))\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (zerowanie wzoru funkcji) i rozwiązanie prostej nierówności liniowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń myli kierunek nierówności: zamiast \\(2k > 2\\) zapisuje \\(2k < 2\\), a potem jeszcze błędnie dostaje \\(k < -1\\) (np. przez niepoprawne dzielenie przez \\(-2\\) zamiast \\(2\\)) |\n| B | Uczeń poprawnie wyznacza \\(x_0 = 2k\\), ale zamiast \\(k > 1\\) błędnie upraszcza nierówność do \\(-1 < k < 0\\), prawdopodobnie myląc miejsce zerowe z wartością \\(f(2)\\) lub wartością parametru \\(k\\) z wyrazem wolnym |\n| C | Uczeń może wyznaczyć, że \\(f(2) > 0\\), tj. \\(\\frac{1}{2}\\cdot 2 - k > 0 \\Rightarrow 1 - k > 0 \\Rightarrow k < 1\\), i wybrać najbliższy przedział - ale to jest warunek na to, że \\(f(2) > 0\\), nie na to, że miejsce zerowe jest większe od \\(2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie szukamy wartości funkcji w punkcie \\(x = 2\\)! Szukamy miejsca zerowego, czyli \\(x_0\\) takiego, że \\(f(x_0) = 0\\). To dwa różne warunki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział jest **otwarty** \\((1, +\\infty)\\), bo warunek to \\(x_0 > 2\\) (ściśle większe), co daje \\(k > 1\\) - wartość \\(k = 1\\) nie należy do odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na miejsce zerowe \\(x_0 = 2k\\) warto wyznaczać ogólnie, a dopiero potem podstawiać warunek - unikasz pomyłek z kierunkiem nierówności.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Miejsce zerowe funkcji liniowej\nMiejsce zerowe: \\(\\dfrac{1}{2}x - k = 0 \\Rightarrow x = 2k.\\)\nWarunek: \\(2k > 2 \\Rightarrow k > 1\\), czyli \\(k \\in (1, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktem\nDla \\(k = 2\\): miejsce zerowe \\(x = 4 > 2\\) ✓. Pasuje przedział D.\nDla \\(k = 0{,}5\\): miejsce zerowe \\(x = 1 \\not> 2\\). Nie pasuje B, C.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty,-1)\\)** - daje ujemne miejsce zerowe.\n- **B. \\((-1,0)\\)** - miejsce zerowe ujemne lub zero.\n- **C. \\((0,1)\\)** - miejsce zerowe w \\((0,2)\\), nie \\(> 2\\).\n\n**Trik:** miejsce zerowe \\(ax+b=0\\) to \\(x = -\\dfrac{b}{a}\\); tu \\(-\\dfrac{-k}{1/2} = 2k\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-2)<br>Rozwiąż nierówność<br>𝒙(𝒙+ 𝟒) &lt; 𝒙-𝟐<br>Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozwiąż nierówność x(x+4) &lt; x-2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.4) rozwiązuje […] nierówności<br>kwadratowe.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:<br>𝑥∈(-2, -1)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności</li></ul>\n<p>w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.<br>1 pkt - obliczenie/zapisanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 3𝑥+ 2:<br>𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = -1.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 + 3𝑥+ 2, popełni błędy (ale otrzyma</li></ol>\n<p>dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań<br>nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie</li></ol>\n<p>obliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika</li></ol>\n<p>z błędu przekształcenia (np. 𝑥(𝑥+ 4)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność<br>(np. 𝑥(𝑥+ 4) &lt; 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi</li></ol>\n<p>końcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań<br>(np. 𝑥∈[-2, -1]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki<br>Jeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności<br>w postaci (-1, -2), to otrzymuje 2 punkty.<br>-2<br>-1<br>𝑥<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 + 3𝑥+ 2 &lt; 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji<br>𝑦= 𝑥2 + 3𝑥+ 2.<br>Obliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 3𝑥+ 2:<br>Δ = 32 -4 ⋅1 ⋅2 = 1<br>Stąd<br>𝑥1 = -3 -√1<br>2 ⋅1<br>= -2<br>𝑥2 = -3 + √1<br>2 ⋅1<br>= -1<br>Szkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 3𝑥+ 2.<br>Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.<br>Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-2, -1).<br>-2<br>-1<br>𝑥<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(k \\in (1, +\\infty)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wyznaczenie miejsca zerowego i rozwiązanie nierówności</h4>\n<p><strong>Szukamy miejsca zerowego funkcji \\(f(x) = \\frac{1}{2}x - k\\).</strong></p>\n<p>Miejsce zerowe to \\(x_0\\) taki, że \\(f(x_0) = 0\\):</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2}x_0 - k = 0\\]</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2}x_0 = k\\]</p>\n<p>\\[x_0 = 2k\\]</p>\n<p><strong>Warunek zadania:</strong> miejsce zerowe jest większe od \\(2\\), czyli:</p>\n<p>\\[x_0 &gt; 2\\]</p>\n<p>\\[2k &gt; 2\\]</p>\n<p>\\[k &gt; 1\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(k \\in (1, +\\infty)\\), co odpowiada odpowiedzi D.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - analiza wykresu / podstawienie sprawdzające</h4>\n<p>Funkcja \\(f(x) = \\frac{1}{2}x - k\\) przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x_0 = 2k\\).</p>\n<p>Chcemy, żeby ten punkt leżał <strong>na prawo od \\(x = 2\\)</strong> na osi \\(OX\\).</p>\n<p>Sprawdzamy przykładowo \\(k = 2\\) (z przedziału \\((1, +\\infty)\\)):<br>\\[x_0 = 2 \\cdot 2 = 4 &gt; 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy \\(k = 0\\) (spoza przedziału):<br>\\[x_0 = 2 \\cdot 0 = 0 \\not&gt; 2 \\times\\]</p>\n<p>Sprawdzamy graniczny przypadek \\(k = 1\\):<br>\\[x_0 = 2 \\cdot 1 = 2 \\not&gt; 2 \\times\\]<br>(dokładnie \\(2\\), a zadanie wymaga <strong>większe od \\(2\\)</strong>, więc \\(k = 1\\) nie spełnia warunku - przedział jest <strong>otwarty</strong>: \\((1, +\\infty)\\))</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (zerowanie wzoru funkcji) i rozwiązanie prostej nierówności liniowej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń myli kierunek nierówności: zamiast \\(2k &gt; 2\\) zapisuje \\(2k &lt; 2\\), a potem jeszcze błędnie dostaje \\(k &lt; -1\\) (np. przez niepoprawne dzielenie przez \\(-2\\) zamiast \\(2\\)) |<br>| B | Uczeń poprawnie wyznacza \\(x_0 = 2k\\), ale zamiast \\(k &gt; 1\\) błędnie upraszcza nierówność do \\(-1 &lt; k &lt; 0\\), prawdopodobnie myląc miejsce zerowe z wartością \\(f(2)\\) lub wartością parametru \\(k\\) z wyrazem wolnym |<br>| C | Uczeń może wyznaczyć, że \\(f(2) &gt; 0\\), tj. \\(\\frac{1}{2}\\cdot 2 - k &gt; 0 \\Rightarrow 1 - k &gt; 0 \\Rightarrow k &lt; 1\\), i wybrać najbliższy przedział - ale to jest warunek na to, że \\(f(2) &gt; 0\\), nie na to, że miejsce zerowe jest większe od \\(2\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie szukamy wartości funkcji w punkcie \\(x = 2\\)! Szukamy miejsca zerowego, czyli \\(x_0\\) takiego, że \\(f(x_0) = 0\\). To dwa różne warunki.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedział jest <strong>otwarty</strong> \\((1, +\\infty)\\), bo warunek to \\(x_0 &gt; 2\\) (ściśle większe), co daje \\(k &gt; 1\\) - wartość \\(k = 1\\) nie należy do odpowiedzi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na miejsce zerowe \\(x_0 = 2k\\) warto wyznaczać ogólnie, a dopiero potem podstawiać warunek - unikasz pomyłek z kierunkiem nierówności.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Miejsce zerowe funkcji liniowej</h5>\n<p>Miejsce zerowe: \\(\\dfrac{1}{2}x - k = 0 \\Rightarrow x = 2k.\\)<br>Warunek: \\(2k &gt; 2 \\Rightarrow k &gt; 1\\), czyli \\(k \\in (1, +\\infty)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie punktem</h5>\n<p>Dla \\(k = 2\\): miejsce zerowe \\(x = 4 &gt; 2\\) ✓. Pasuje przedział D.<br>Dla \\(k = 0{,}5\\): miejsce zerowe \\(x = 1 \\not&gt; 2\\). Nie pasuje B, C.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((-\\infty,-1)\\)</strong> - daje ujemne miejsce zerowe.</li><li><strong>B. \\((-1,0)\\)</strong> - miejsce zerowe ujemne lub zero.</li><li><strong>C. \\((0,1)\\)</strong> - miejsce zerowe w \\((0,2)\\), nie \\(&gt; 2\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> miejsce zerowe \\(ax+b=0\\) to \\(x = -\\dfrac{b}{a}\\); tu \\(-\\dfrac{-k}{1/2} = 2k\\).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rozwiązujemy nierówność:</p>\n<p>x(x+4)lt x-2</p>\n<p>Rozwijamy nawias i przenosimy wszystko na jedną stronę:</p>\n<p>x^2+4xlt x-2</p>\n<p>x^2+3x+2lt 0</p>\n<p>Rozwiązujemy równanie kwadratowe metodą delty:</p>\n<p>x^2+3x+2=0</p>\n<p>a=1, b=3, c=2</p>\n<p>Δ=b^2-4ac</p>\n<p>Δ=3^2-4·1·2=9-8=1</p>\n<p>√(Δ)=1</p>\n<p>Obliczamy miejsca zerowe:</p>\n<p>x_1=frac -b-√(Δ) 2a<br>=(-3-1)/(2)=-2</p>\n<p>x_2=frac -b+√(Δ) 2a<br>=(-3+1)/(2)=-1</p>\n<p>Parabola y=x^2+3x+2 ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność x^2+3x+2lt0 jest spełniona między miejscami zerowymi.</p>\n<p>x∈(-2,-1)</p>\n<p>Odpowiedź: x∈(-2,-1)</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x \\in (-2, -1)$</p>"}]}