{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWykaż, że objętość 𝑽 graniastosłupa w zależności od długości 𝒂 krawędzi podstawy\njest określona wzorem\n𝑽(𝒂) = 𝟔𝒂-𝟏\n𝟖𝒂𝟑\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy\ngraniastosłupa, np. 𝐻= 48√3 - 𝑎2 ⋅ √3\n6𝑎\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy przez 𝐻 jego wysokość.\nPole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe 24√3, więc\n24√3 = 2 ⋅𝑎2 ⋅√3\n4\n+ 3𝑎𝐻\nStąd\n𝐻= 48√3 -𝑎2 ⋅√3\n6𝑎\nZatem objętość 𝑉 graniastosłupa jest równa\n𝑉= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅𝐻= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅48√3 -𝑎2 ⋅√3\n6𝑎\n= 6𝑎-1\n8 𝑎3\nTo należało wykazać.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12.1. (0-2)<br>Wykaż, że objętość 𝑽 graniastosłupa w zależności od długości 𝒂 krawędzi podstawy<br>jest określona wzorem<br>𝑽(𝒂) = 𝟔𝒂-𝟏<br>𝟖𝒂𝟑</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12.1. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>X.5) oblicza objętości i pola powierzchni<br>graniastosłupów […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy<br>graniastosłupa, np. 𝐻= 48√3 - 𝑎2 ⋅ √3<br>6𝑎<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Rozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy przez 𝐻 jego wysokość.<br>Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe 24√3, więc<br>24√3 = 2 ⋅𝑎2 ⋅√3<br>4</p>\n<ul><li>3𝑎𝐻</li></ul>\n<p>Stąd<br>𝐻= 48√3 -𝑎2 ⋅√3<br>6𝑎<br>Zatem objętość 𝑉 graniastosłupa jest równa<br>𝑉= 𝑎2 ⋅√3<br>4<br>⋅𝐻= 𝑎2 ⋅√3<br>4<br>⋅48√3 -𝑎2 ⋅√3<br>6𝑎<br>= 6𝑎-1<br>8 𝑎3<br>To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Dowód</p>"}]}