Zadanie 2. (0-3)
Wykaż, że jeżeli 𝒂= 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟏𝟒 oraz 𝒃= 𝐥𝐨𝐠√𝟐𝟐𝟕, to 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟓𝟒= 𝒃 + 𝟐
𝟐𝒂 - 𝟐 .
MMAP-R0_100
Wykaż, że jeżeli a = log_2 14 oraz b = log_√2 27, to log_7 54 = b+2 / 2a-2.
Zadanie 2. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu
Zdający:
I.9) stosuje związek logarytmowania
z potęgowaniem, posługuje się wzorami na
logarytm iloczynu, logarytm ilorazu
i logarytm potęgi.
I.R) stosuje wzór na zamianę podstawy
logarytmu.
Zasady oceniania (dla sposobów I-IV)
3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
2 pkt - przekształcenie wyrażenia
log√2 27 + 2
2log2 14 - 2 lub log7 54, lub obydwu tych wyrażeń do
takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu
lub logarytm ilorazu, lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub wzoru na
logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego
można otrzymać tezę
ALBO
(𝑎-1)𝑥= 𝑏
2 + 1 (dla sposobu III),
ALBO
1
𝑎 - 1
oraz liczby 27 w postaci 2
𝑏
2 (dla sposobu IV).
1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, lub na
logarytm ilorazu, np. log7 54 = log254
log2 7 , log7 54 =
log√254
log√2 7 ,
log√2 27 + 2 = log√2(27 ⋅2), 2 log2 14 -2 = 2 log2 (14
2 )
ALBO
𝑏
2 oraz
zapisanie równania 7𝑥= 54 (dla sposobu III),
ALBO
1
𝑎 - 1
(dla sposobu IV).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy wyrażenie log7 54, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,
a następnie wzory na logarytm iloczynu oraz logarytm ilorazu:
log7 54 = log2 54
log2 7 = log2 27 + log2 2
log2 14 -log2 2 =
log√2 27
log√2 2 + 1
𝑎-1
𝑏
2 + 1
𝑎-1 = 𝑏+ 2
2𝑎-2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy wyrażenie 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 , korzystając z założenia oraz ze wzoru zamianę
podstawy logarytmu:
𝑏+ 2
2𝑎-2 =
log√2 27 + 2
2 log2 14 -2 =
log2 27
log2 √2 + 2
2 ⋅(log2 14 -1) = 2 ⋅(log2 27 + 1)
2 ⋅(log2 14 -1) = log2 27 + 1
log2 14 -1
Stąd i ze wzorów na sumę logarytmów, różnicę logarytmów oraz wzoru na zamianę
podstawy logarytmu otrzymujemy dalej
log2 27 + 1
log2 14 -1 = log2 27 + log2 2
log2 14 -log2 2 = log2 54
log2 7 = log7 54
Zatem log7 54 = 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 .
To należało wykazać.
Sposób III
Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 2𝑎= 14 oraz
(√2)
𝑏= 27. Stąd 7 = 2𝑎-1 oraz 27 = 2
𝑏
2 .
Oznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 7𝑥= 54. Wtedy
2(𝑎-1)𝑥= 2 ⋅27
2(𝑎-1)𝑥= 2 ⋅2
𝑏
2
2(𝑎-1)𝑥= 2
𝑏
2 + 1
Stąd
(𝑎-1)𝑥= 𝑏
2 + 1
𝑥=
𝑏+ 2
2(𝑎-1)
Zatem log7 54 = 𝑥= 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 .
To należało wykazać.
Sposób IV
Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 2𝑎= 14 oraz
(√2)
𝑏= 27. Stąd 7 = 2𝑎-1, czyli 2 = 7
1
𝑎-1
, oraz 27 = 2
𝑏
2 . Zatem
54 = 27 ⋅2 = 2
𝑏
2 ⋅7
1
𝑎 - 1
= 7
𝑏
2(𝑎 - 1)
⋅7
1
𝑎 - 1
= 7
𝑏
2(𝑎 - 1) +
1
𝑎 - 1
= 7
𝑏 + 2
2𝑎 - 2
czyli log7 54 = 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 .
To należało wykazać.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Dowód
"}]}