{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym\niloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od 5.\nOblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nKolejne zadania egzaminacyjne są wydrukowane\nna następnych stronach.\n\nMMAP-R0_100\nRozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od 5. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,\nspełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 368 586.\n2 pkt - wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 (np. (6\n2) + 6)\noraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2: 6, oraz\nwyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0\n(np. 9 ⋅105 -96).\n1 pkt - wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 (np. (6\n2) + 6)\noraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2: 6\nALBO\n- wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0, np.:\n9 ⋅105 -96 , 5 ⋅95 + (5\n2) ⋅94 + (5\n3) ⋅93 + (5\n4) ⋅92 + (5\n5) ⋅9, 368 559,\nALBO\n- wypisanie wszystkich przypadków, dla których iloczyn cyfr będzie liczbą parzystą\nmniejszą od 5: jedna dwójka i pięć jedynek, dwie dwójki i cztery jedynki, jedna\nczwórka i pięć jedynek, co najmniej jedno zero.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nIloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 4 tylko wtedy, gdy w zapisie\ndziesiętnym tej liczby występują:\ndwie dwójki i cztery jedynki,\nalbo\njedna czwórka i pięć jedynek.\nLiczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie dwie\ndwójki i cztery jedynki jest (6\n2) = 15.\nLiczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie\njedna czwórka i pięć jedynek jest 6.\nZatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 jest 21.\nIloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 2 tylko wtedy, gdy w zapisie\ndziesiętnym tej liczby występują jedna dwójka i pięć jedynek.\nZatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2 jest 6.\nIloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 0 tylko wtedy, gdy w zapisie\ndziesiętnym tej liczby występuje na pierwszej pozycji cyfra różna od zera, a na dalszych\npozycjach co najmniej jedno zero.\nPonieważ wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych jest 9 ⋅105, a wszystkich liczb\nnaturalnych sześciocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych od zera jest 96, więc wszystkich\nliczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 jest 9 ⋅105 -96 = 368 559.\nZatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest liczbą\nparzystą mniejszą od 5 jest 21 + 6 + 368 559 = 368 586.\nUwaga.\nLiczbę wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 można\nobliczyć też w następujący sposób.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie jeden raz jest (5\n1) ⋅95 = 295 245.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie dwa razy jest (5\n2) ⋅94 = 65 610.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie trzy razy jest (5\n3) ⋅93 = 7 290.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie cztery razy jest (5\n4) ⋅92 = 405.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie pięć razy jest (5\n5) ⋅91 = 9.\nZatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 jest\n295 245 + 65 610 + 7 290 + 405 + 9 = 368 559\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"368 586","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-3)<br>Rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym<br>iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od 5.<br>Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Kolejne zadania egzaminacyjne są wydrukowane<br>na następnych stronach.</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od 5. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>XI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,<br>spełniających określone kryteria,<br>z wykorzystaniem reguły mnożenia<br>i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na<br>liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 368 586.<br>2 pkt - wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 (np. (6</p>\n<ol><li>+ 6)</li></ol>\n<p>oraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2: 6, oraz<br>wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0<br>(np. 9 ⋅105 -96).<br>1 pkt - wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 (np. (6</p>\n<ol><li>+ 6)</li></ol>\n<p>oraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2: 6<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0, np.:</li></ul>\n<p>9 ⋅105 -96 , 5 ⋅95 + (5</p>\n<ol><li>⋅94 + (5</li><li>⋅93 + (5</li><li>⋅92 + (5</li><li>⋅9, 368 559,</li></ol>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>wypisanie wszystkich przypadków, dla których iloczyn cyfr będzie liczbą parzystą</li></ul>\n<p>mniejszą od 5: jedna dwójka i pięć jedynek, dwie dwójki i cztery jedynki, jedna<br>czwórka i pięć jedynek, co najmniej jedno zero.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 4 tylko wtedy, gdy w zapisie<br>dziesiętnym tej liczby występują:<br>dwie dwójki i cztery jedynki,<br>albo<br>jedna czwórka i pięć jedynek.<br>Liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie dwie<br>dwójki i cztery jedynki jest (6</p>\n<ol><li>= 15.</li></ol>\n<p>Liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie<br>jedna czwórka i pięć jedynek jest 6.<br>Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 jest 21.<br>Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 2 tylko wtedy, gdy w zapisie<br>dziesiętnym tej liczby występują jedna dwójka i pięć jedynek.<br>Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2 jest 6.<br>Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 0 tylko wtedy, gdy w zapisie<br>dziesiętnym tej liczby występuje na pierwszej pozycji cyfra różna od zera, a na dalszych<br>pozycjach co najmniej jedno zero.<br>Ponieważ wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych jest 9 ⋅105, a wszystkich liczb<br>naturalnych sześciocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych od zera jest 96, więc wszystkich<br>liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 jest 9 ⋅105 -96 = 368 559.<br>Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest liczbą<br>parzystą mniejszą od 5 jest 21 + 6 + 368 559 = 368 586.<br>Uwaga.<br>Liczbę wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 można<br>obliczyć też w następujący sposób.<br>Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero<br>występuje dokładnie jeden raz jest (5</p>\n<ol><li>⋅95 = 295 245.</li></ol>\n<p>Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero<br>występuje dokładnie dwa razy jest (5</p>\n<ol><li>⋅94 = 65 610.</li></ol>\n<p>Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero<br>występuje dokładnie trzy razy jest (5</p>\n<ol><li>⋅93 = 7 290.</li></ol>\n<p>Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero<br>występuje dokładnie cztery razy jest (5</p>\n<ol><li>⋅92 = 405.</li></ol>\n<p>Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero<br>występuje dokładnie pięć razy jest (5</p>\n<ol><li>⋅91 = 9.</li></ol>\n<p>Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 jest<br>295 245 + 65 610 + 7 290 + 405 + 9 = 368 559<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>368 586</p>"}]}