Zadanie 4. (0-3)
Dany jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐴𝐷|. Na bokach 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 oraz 𝐷𝐴
tego prostokąta obrano punkty - odpowiednio - 𝐾, 𝐿, 𝑀 oraz 𝑁 (przy czym każdy z tych
punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷). Czworokąt 𝐾𝐿𝑀𝑁 jest
trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość 𝐿𝑀 tego trapezu jest równoległa do
przekątnej 𝐵𝐷 prostokąta.
Wykaż, że stosunek pola trójkąta 𝑴𝑫𝑵 do pola trójkąta 𝑲𝑩𝑳 jest równy 𝟏𝟔.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝐿
𝑀
𝑁
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AB|=2⋅|AD|. Na bokach AB, BC, CD oraz DA tego prostokąta obrano punkty - odpowiednio - K,L,M oraz N (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta ABCD). Czworokąt KLMN jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość LM tego trapezu jest równoległa do przekątnej BD prostokąta. [rysunek] Wykaż, że stosunek pola trójkąta MDN do pola trójkąta KBL jest równy 16.
Zadanie 4. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
VIII.11) przeprowadza dowody
geometryczne.
Zasady oceniania (dla sposobów I - III)
3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝐶𝐿 (lub 𝐿𝐵) w zależności od długości odcinka 𝐷𝑀,
np. |𝐶𝐿| = 𝑎-1
2 ⋅|𝐷𝑀|, |𝐿𝐵| = 1
2 ⋅|𝐷𝑀| oraz uzasadnienie, że trójkąty 𝑀𝐷𝑁
i 𝐾𝐵𝐿 są podobne (dla sposobu I)
ALBO
odcinków 𝐷𝐸 oraz 𝐹𝐿 za pomocą jednej zmiennej (lub zapisanie związku między
nimi), np. |𝐷𝐸| = 2𝑥 i |𝐹𝐿| = 1
2 𝑥 (dla sposobu II).
ALBO
parametru 𝑐: 𝐾= (5𝑎-𝑐
2
, 0) oraz 𝐿= (2𝑎, 𝑐-𝑎) oraz 𝑀= (2𝑐-2𝑎, 𝑎)
oraz 𝑁= (0, 5𝑎-4𝑐) (dla sposobu III).
1 pkt - uzasadnienie, że trójkąty 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿 są podobne (dla sposobów I oraz II)
ALBO
np. |𝐶𝐿| = 𝑎-1
2 ⋅|𝐷𝑀|, |𝐿𝐵| = 1
2 ⋅|𝐷𝑀| (dla sposobu I),
ALBO
zapisanie związku między nimi), np. |𝐷𝐸| = 2𝑥 i |𝐹𝐿| = 𝑥 (dla sposobu II),
ALBO
współrzędnych jego wierzchołków, np. 𝐴= (0, 0) i 𝐵= (2𝑎, 0) i 𝐶= (2𝑎, 𝑎)
i 𝐷= (0, 𝑎) oraz zapisanie równania prostej 𝑀𝐿: 𝑦= -1
2 𝑥+ 𝑐 (dla sposobu III).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Oznaczmy przez 𝑎 długość boku 𝐴𝐷. Wtedy |𝐴𝐵| = 2𝑎.
Kąty 𝐷𝑀𝑁 i 𝐵𝐾𝐿 są naprzemianległe oraz 𝑀𝑁∥𝐾𝐿, więc te kąty mają równe miary.
Zatem trójkąty prostokątne 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿 są podobne (na podstawie cechy kkk
podobieństwa trójkątów).
Ponieważ 𝑀𝐿∥𝐷𝐵, więc korzystając z twierdzenia Talesa, otrzymujemy
|𝐷𝑀|
|𝐿𝐵| =
|𝑀𝐶|
|𝐿𝐶|
|𝐷𝑀|
|𝐿𝐵| = 2𝑎-|𝐷𝑀|
𝑎-|𝐿𝐵|
|𝐷𝑀| ⋅𝑎-|𝐷𝑀| ⋅|𝐿𝐵| = 2 ⋅|𝐿𝐵| ⋅𝑎-|𝐿𝐵| ⋅|𝐷𝑀|
|𝐿𝐵| = 1
2 ⋅|𝐷𝑀|
Z warunków zadania wynika, że 𝑀𝑁⊥𝐷𝐵, więc z rachunku kątów dostajemy
|∡𝐷𝑁𝑀| = |∡𝐶𝐷𝐵|, więc trójkąty prostokątne 𝑀𝐷𝑁 oraz 𝐵𝐶𝐷 są podobne (na podstawie
cechy kkk podobieństwa trójkątów). Zatem |𝐷𝑀|
|𝐷𝑁| = |𝐵𝐶|
|𝐶𝐷|, czyli |𝐷𝑀|
|𝐷𝑁| = 1
2 .
Stąd i ze związku |𝐿𝐵| = 1
2 ⋅|𝐷𝑀| otrzymujemy |𝐿𝐵| = 1
4 ⋅|𝐷𝑁|, co oznacza, że trójkąt
𝑀𝐷𝑁 jest podobny do trójkąta 𝐾𝐵𝐿 w skali 4. Ponieważ stosunek pól figur podobnych jest
równy kwadratowi skali podobieństwa, więc stosunek pola trójkąta 𝑀𝐷𝑁 do pola trójkąta
𝐾𝐵𝐿 jest równy 16. To należało wykazać.
Sposób II
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝐸 - punkt przecięcia przekątnej 𝐷𝐵 z bokiem 𝑀𝑁 trapezu 𝐾𝐿𝑀𝑁,
𝐹 - punkt przecięcia przekątnej 𝐷𝐵 z bokiem 𝐾𝐿 trapezu 𝐾𝐿𝑀𝑁,
2𝑥 - długość odcinka 𝐷𝐸 (zobacz rysunek).
Ponieważ 𝑀𝐿∥𝐷𝐵, więc trójkąty 𝐷𝐸𝑀 oraz 𝐹𝐵𝐿 są prostokątne. Trójkąty prostokątne
𝑀𝐷𝐸 i 𝐵𝐷𝐶 mają wspólny kąt ostry, więc są podobne (cecha kkk podobieństwa trójkątów).
Zatem |𝑀𝐸|
|𝐷𝐸| = |𝐵𝐶|
|𝐶𝐷| = 1
2, więc |𝑀𝐸| = 1
2 ⋅|𝐷𝐸| = 𝑥.
Czworokąt 𝑀𝐸𝐹𝐿 jest prostokątem, więc |𝐹𝐿| = |𝑀𝐸| = 𝑥.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝐿
𝑀
𝑁
𝐸
𝐹
2𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Z rachunku kątów mamy |∡𝐹𝐿𝐵| = |∡𝑀𝐷𝐸|, więc trójkąty prostokątne 𝑀𝐷𝐸 i 𝐾𝐿𝐵 są
podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów). Zatem |𝐹𝐵|
|𝐹𝐿| = |𝑀𝐸|
|𝐷𝐸| = 1
2 , czyli
|𝐹𝐵| = 1
2 ⋅|𝐹𝐿| = 1
2 𝑥.
Kąty 𝐷𝑀𝑁 i 𝐵𝐾𝐿 są naprzemianległe oraz 𝑀𝑁∥𝐾𝐿, więc te kąty mają równe miary.
Zatem trójkąty prostokątne 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿 są podobne (na podstawie cechy kkk
podobieństwa trójkątów). Ponieważ stosunek odpowiednich wysokości tych trójkątów jest
równy |𝐷𝐸|
|𝐹𝐵| = 2𝑥
1
2𝑥= 4, więc trójkąt 𝑀𝐷𝑁 jest podobny do trójkąta 𝐾𝐵𝐿 w skali 4.
Ponieważ stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, więc
stosunek pola trójkąta 𝑀𝐷𝑁 do pola trójkąta 𝐾𝐵𝐿 jest równy 16. To należało wykazać.
Sposób III
Oznaczmy przez 𝑎 długość boku 𝐴𝐷. Wtedy |𝐴𝐵| = 2𝑎.
Umieszczamy prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) tak, że
𝐴= (0, 0), 𝐵= (2𝑎, 0), 𝐶= (2𝑎, 𝑎), 𝐷= (0, 𝑎).
Ponieważ stosunek |𝐴𝐷|
|𝐴𝐵| = 1
2 oraz 𝑀𝐿∥𝐵𝐷, więc prosta 𝑀𝐿 ma równanie
𝑦= -1
2 𝑥+ 𝑐, przy pewnym 𝑐∈(𝑎, 2𝑎).
Wtedy 𝑀= (2𝑐-2𝑎, 𝑎) oraz 𝐿= (2𝑎, 𝑐-𝑎).
Wyznaczamy równania prostych 𝑀𝑁 oraz 𝐾𝐿, które są prostopadłe do 𝑀𝐿:
𝑀𝑁: 𝑦= 2(𝑥-2𝑐+ 2𝑎) + 𝑎
𝐾𝐿: 𝑦= 2(𝑥-2𝑎) + 𝑐-𝑎
Stąd 𝑁= (0, 5𝑎-4𝑐) oraz 𝐾= (5𝑎-𝑐
2
, 0).
Wyznaczamy długości boków trójkątów 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿:
|𝑁𝐷| = |𝑎-(5𝑎-4𝑐)| = 4 ⋅|𝑐-𝑎|
|𝐷𝑀| = |2𝑐-2𝑎-0| = 2 ⋅|𝑐-𝑎|
|𝐾𝐵| = |2𝑎-5𝑎-𝑐
2
| = 1
2 ⋅|𝑐-𝑎|
|𝐵𝐿| = |𝑐-𝑎-0| = |𝑐-𝑎|
Wyznaczamy stosunek pól trójkątów 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿:
𝑃Δ𝑀𝐷𝑁
𝑃Δ𝐾𝐵𝐿
1
2 ⋅|𝑁𝐷| ⋅|𝐷𝑀|
1
2 ⋅|𝐾𝐵| ⋅|𝐵𝐿|
1
2 ⋅4 ⋅|𝑐-𝑎| ⋅2 ⋅|𝑐-𝑎|
1
2 ⋅1
2 ⋅|𝑐-𝑎| ⋅|𝑐-𝑎|
= 16
To należało wykazać.
Dowód
"}]}