{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-4)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n𝒙𝟐+ 𝟐𝒎𝒙+ 𝟐𝒎-𝟏= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek\n𝒎(𝒙𝟏\n𝟐+ 𝒙𝟐\n𝟐) = 𝟑𝒎⋅𝒙𝟏⋅𝒙𝟐+ 𝟐\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² + 2mx + 2m -1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek m(x_1² + x_2^2) = 3m⋅x_1⋅x_2 + 2. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami\n[…].\nZasady oceniania\n4 pkt - spełnienie następujących trzech warunków:\n1) poprawne rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,\n2) poprawne rozwiązanie warunku Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1}\nLUB\nwyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠𝑥2: 𝑚≠1,\nLUB\nsprawdzenie, że dla 𝑚= 2 są spełnione warunki zadania,\n3) zapisanie poprawnej odpowiedzi: 𝑚= 2.\n3 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz zapisanie równania\nz jedną niewiadomą 𝑚, np. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\nALBO\n- rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,\nALBO\n- zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚,\nnp. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2.\n2 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz przekształcenie warunku\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a, np. 𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\nALBO\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1): (-1) oraz 1 -2𝑚,\noraz zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1.\n1 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1}\nALBO\n- przekształcenie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej\nna bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\nALBO\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1): (-1) oraz 1 -2𝑚.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający przyjmie, że 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 jest równe (𝑥1 + 𝑥2)2 oraz doprowadzi rozwiązanie\nkonsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nRównanie 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko\nwówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1) jest dodatni.\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n(2𝑚)2 -4 ⋅(2𝑚-1) > 0\n4𝑚2 -8𝑚+ 4 > 0\n4(𝑚-1)2 > 0\n𝑚∈(-∞, 1) ∪(1, +∞)\nPrzekształcamy warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskane równanie\nz niewiadomą 𝑚:\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\n4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0\n4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0\n4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0\n(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0\n𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0\n𝑚= 2\nPonieważ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 3𝑚2 + (𝑚-1)2 > 0, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie\nma rozwiązań rzeczywistych.\nZatem warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.\nPonieważ 2 ∈(-∞, 1) ∪(1, +∞), więc warunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.\nSposób II\nZauważamy, że liczba (-1) jest rozwiązaniem równania 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0.\nKorzystając ze wzorów Viète’a, mamy 𝑥1 + 𝑥2 = -2𝑚, czyli -1 + 𝑥2 = -2𝑚, więc\n𝑥2 = 1 -2𝑚. Zatem 𝑥1 ≠𝑥2 gdy 𝑚≠1.\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2:\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(-1)2 + (1 -2𝑚)2] = 3𝑚⋅(-1) ⋅(1 -2𝑚) + 2\n𝑚⋅(1 + 1 -4𝑚+ 4𝑚2) = 6𝑚2 -3𝑚+ 2\n4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0\n4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0\n4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0\n(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0\n𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0\n𝑚= 2\nWyróżnik trójmianu 4𝑚2 -2𝑚+ 1 jest ujemny, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie\nma rozwiązań rzeczywistych.\nZatem warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.\nWarunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$m = 2$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"parametr","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-4)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie
𝒙𝟐+ 𝟐𝒎𝒙+ 𝟐𝒎-𝟏= 𝟎
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek
𝒎(𝒙𝟏
𝟐+ 𝒙𝟐

\n
  1. = 𝟑𝒎⋅𝒙𝟏⋅𝒙𝟐+ 𝟐
\n

Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² + 2mx + 2m -1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek m(x_1² + x_2^2) = 3m⋅x_1⋅x_2 + 2. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

\n
  1. Tworzenie pomocniczych obiektów
\n

matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Zdający:
III.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań
kwadratowych;
III.R5) analizuje równania i nierówności
liniowe z parametrami oraz równania
i nierówności kwadratowe z parametrami
[…].
Zasady oceniania
4 pkt - spełnienie następujących trzech warunków:

\n
  1. poprawne rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1
\n

2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,
  2. poprawne rozwiązanie warunku Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1}
\n

LUB
wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠𝑥2: 𝑚≠1,
LUB
sprawdzenie, że dla 𝑚= 2 są spełnione warunki zadania,

\n
  1. zapisanie poprawnej odpowiedzi: 𝑚= 2.
\n

3 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz zapisanie równania
z jedną niewiadomą 𝑚, np. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2
ALBO

\n\n

2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,
\n

ALBO

\n\n

np. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2.
2 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz przekształcenie warunku
𝑚(𝑥1
2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na bezpośrednie
\n

zastosowanie wzorów Viète’a, np. 𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2
ALBO

\n\n

𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2
ALBO

\n\n

oraz zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1.
1 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1}
ALBO

\n\n

2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej
\n

na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.
𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2
ALBO

\n\n

Zasady oceniania rozwiązań zadań
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający przyjmie, że 𝑥1
2 + 𝑥2
2 jest równe (𝑥1 + 𝑥2)2 oraz doprowadzi rozwiązanie
konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Równanie 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko
wówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1) jest dodatni.
Rozwiązujemy warunek Δ > 0:
(2𝑚)2 -4 ⋅(2𝑚-1) > 0
4𝑚2 -8𝑚+ 4 > 0
4(𝑚-1)2 > 0
𝑚∈(-∞, 1) ∪(1, +∞)
Przekształcamy warunek 𝑚(𝑥1
2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na
\n

bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskane równanie
z niewiadomą 𝑚:
𝑚(𝑥1
2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2
\n

𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2
𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2
4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0
4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0
4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0
(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0
𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0
𝑚= 2
Ponieważ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 3𝑚2 + (𝑚-1)2 > 0, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie
ma rozwiązań rzeczywistych.
Zatem warunek 𝑚(𝑥1
2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.
\n

Ponieważ 2 ∈(-∞, 1) ∪(1, +∞), więc warunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.
Sposób II
Zauważamy, że liczba (-1) jest rozwiązaniem równania 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0.
Korzystając ze wzorów Viète’a, mamy 𝑥1 + 𝑥2 = -2𝑚, czyli -1 + 𝑥2 = -2𝑚, więc
𝑥2 = 1 -2𝑚. Zatem 𝑥1 ≠𝑥2 gdy 𝑚≠1.
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek
𝑚(𝑥1
2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2:
\n

𝑚(𝑥1
2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2
\n

𝑚⋅[(-1)2 + (1 -2𝑚)2] = 3𝑚⋅(-1) ⋅(1 -2𝑚) + 2
𝑚⋅(1 + 1 -4𝑚+ 4𝑚2) = 6𝑚2 -3𝑚+ 2
4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0
4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0
4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0
(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0
𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0
𝑚= 2
Wyróżnik trójmianu 4𝑚2 -2𝑚+ 1 jest ujemny, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie
ma rozwiązań rzeczywistych.
Zatem warunek 𝑚(𝑥1
2 + 𝑥2

\n
  1. = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.
\n

Warunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m = 2$

"}]}