{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nNa czworokącie wypukłym 𝐴𝐵𝐶𝐷 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 3, |𝐵𝐶| = 3, |𝐶𝐷| = 5 oraz\n|𝐷𝐴| = 8, opisano okrąg.\nOblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nNa czworokącie wypukłym ABCD o bokach długości: |AB|=3, |BC|=3, |CD|=5 oraz |DA|=8, opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3\n3 .\n3 pkt - obliczenie długości jednej z przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. 𝑑= 7, |𝐴𝐶| = 39\n7 ,\nALBO\n- obliczenie cosinusa jednego z kątów czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. cos 𝛼= 1\n2 ,\ncos 𝛾= -1\n2 , cos|∡𝐴𝐵𝐶| = -71\n98 , cos|∡𝐶𝐷𝐴| = 71\n98 .\n2 pkt - zapisanie równań 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz\n𝑑2 = 32 + 52 + 2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛼\nALBO\n- zapisanie równań 𝑑2 = 32 + 82 + 2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛾 oraz\n𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾,\nALBO\n- zapisanie równań |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz\n|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 + 2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶|,\nALBO\n- zapisanie równań |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 + 2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴| oraz\n|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴|.\n1 pkt - zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz 𝛼+ 𝛾= 180°\nALBO\n- zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾 oraz 𝛼+ 𝛾= 180°,\nALBO\n- zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz\n𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾,\nALBO\n- zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz\n|∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| = 180°,\nALBO\n- zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴| oraz\n|∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| = 180°,\nALBO\n- zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz\n|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3\n3 .\n3 pkt - obliczenie długości przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 39\n7\nALBO\n- obliczenie cos 𝛿: cos 𝛿= 13\n14 .\n2 pkt - zapisanie równań 𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅(2 cos2 𝛿-1) oraz\n1\n2 𝑒\n3 = cos 𝛿.\n1 pkt - zapisanie związków 𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅cos |∡𝐴𝐷𝐶| oraz |∡𝐴𝐷𝐶| = 2𝛿.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3\n3 .\n3 pkt - obliczenie długości przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 39\n7 .\n2 pkt - zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶′ jest równoboczny.\n1 pkt - uzasadnienie, że 𝐵𝐷 jest dwusieczną kąta 𝐴𝐷𝐶 oraz zapisanie, że 𝐶′ leży na\nodcinku 𝐴𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑑 - długość przekątnej 𝐵𝐷,\n𝛼 - miara kąta 𝐵𝐴𝐷,\n𝛾 - miara kąta 𝐵𝐶𝐷.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów 𝐴𝐵𝐷 oraz 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑅\n𝛾\n5\n3\n3\n𝑑\n8\n𝛼\n𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 ∧ 𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾\nStąd i z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy\n73 -48 cos 𝛼= 34 -30 cos(180° -𝛼)\nPo zastosowaniu wzorów redukcyjnych otrzymujemy\n73 -48 cos 𝛼= 34 + 30 cos 𝛼\ncos 𝛼= 1\n2\nZatem 𝛼= 60° i 𝑑2 = 73 -48 ⋅1\n2 = 49, czyli 𝑑= 7.\nOkrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie\n𝐴𝐵𝐷. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy\n𝑑\nsin 𝛼= 2𝑅\n7\n√3\n2\n= 2𝑅\n𝑅= 7√3\n3\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑒 - długość przekątnej 𝐴𝐶,\n𝛿 - miara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑅\n𝛿\n5\n3\n3\n𝑒\n8\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐴𝐶𝐵 są\noparte na tym samym łuku, więc |∡𝐴𝐷𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐵𝐴𝐶 i 𝐵𝐷𝐶 są oparte na tym\nsamym łuku, więc |∡𝐵𝐷𝐶| = 𝛿.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 oraz wzór na cosinus podwojonego\nargumentu i otrzymujemy:\n𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅cos(2𝛿)\n𝑒2 = 89 -80 ⋅(2 cos2 𝛿-1)\n𝑒2 = 169 -160 cos2 𝛿\nZ trójkąta równoramiennego 𝐴𝐶𝐵 otrzymujemy\n1\n2 𝑒\n3 = cos 𝛿 , więc 𝑒= 6 cos 𝛿. Zatem\n(6 cos 𝛿)2 = 169 -160 cos2 𝛿\n196 cos2 𝛿= 169\ncos 𝛿= 13\n14 ∨ cos 𝛿= -13\n14\nKąt 𝐴𝐶𝐵 w trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 jest ostry, więc cos 𝛿= 13\n14 ,\nczyli sin 𝛿= 3√3\n14 .\nOkrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na\ntrójkącie 𝐴𝐵𝐶. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy\n3\nsin 𝛿 = 2𝑅\n3\n3√3\n14\n= 2𝑅\n𝑅= 7√3\n3\nSposób III\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑑 - długość przekątnej 𝐵𝐷,\n𝛿 - miara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵.\nPonieważ |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐴𝐶𝐵 są parte\nna tym samym łuku, więc |∡𝐴𝐷𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐵𝐴𝐶 i 𝐵𝐷𝐶 są oparte na tym\nsamym łuku, więc |∡𝐵𝐷𝐶| = 𝛿. Zatem 𝐵𝐷 jest dwusieczną kąta 𝐴𝐷𝐶.\nNiech 𝐶′ będzie obrazem punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem prostej 𝐵𝐷. Wtedy 𝐵𝐷\nbędzie zawierać wysokość trójkąta równoramiennego 𝐶𝐶′𝐷 i |𝐶′𝐷| = |𝐶𝐷| = 5, więc 𝐶′\nbędzie leżał na odcinku 𝐴𝐷.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑅\n𝛿\n5\n3\n3\n𝑑\n8\n𝛿\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑅\n𝛿\n𝛿\n𝛿\n𝐶′\n3\n5\n5\n3\n3\n𝑑\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem czworokąt 𝐵𝐶𝐷𝐶′ jest deltoidem i |𝐵𝐶′| = |𝐵𝐶| = 3.\nPonieważ |𝐴𝐶′| = |𝐴𝐷| -|𝐷𝐶′| = 8 -5 = 3, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶′ jest równoboczny,\nczyli |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐴𝐷 i otrzymujemy:\n𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 60°\n𝑑= 7\nOkrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie\n𝐴𝐵𝐷. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy\n𝑑\nsin |∡𝐵𝐴𝐷| = 2𝑅\n7\n√3\n2\n= 2𝑅\n𝑅= 7√3\n3","solution":"$\\dfrac{7\\sqrt{3}}{3}$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-4)<br>Na czworokącie wypukłym 𝐴𝐵𝐶𝐷 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 3, |𝐵𝐶| = 3, |𝐶𝐷| = 5 oraz<br>|𝐷𝐴| = 8, opisano okrąg.<br>Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Na czworokącie wypukłym ABCD o bokach długości: |AB|=3, |BC|=3, |CD|=5 oraz |DA|=8, opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VIII.R1) stosuje własności czworokątów<br>wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.<br>Zasady oceniania (dla sposobu I)<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3<br>3 .<br>3 pkt - obliczenie długości jednej z przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. 𝑑= 7, |𝐴𝐶| = 39<br>7 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie cosinusa jednego z kątów czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. cos 𝛼= 1</li></ul>\n<p>2 ,<br>cos 𝛾= -1<br>2 , cos|∡𝐴𝐵𝐶| = -71<br>98 , cos|∡𝐶𝐷𝐴| = 71<br>98 .<br>2 pkt - zapisanie równań 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz<br>𝑑2 = 32 + 52 + 2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛼<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równań 𝑑2 = 32 + 82 + 2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛾 oraz</li></ul>\n<p>𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równań |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz</li></ul>\n<p>|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 + 2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶|,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równań |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 + 2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴| oraz</li></ul>\n<p>|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴|.<br>1 pkt - zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz 𝛼+ 𝛾= 180°<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾 oraz 𝛼+ 𝛾= 180°,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz</li></ul>\n<p>𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz</li></ul>\n<p>|∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| = 180°,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴| oraz</li></ul>\n<p>|∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| = 180°,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz</li></ul>\n<p>|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴|.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zasady oceniania (dla sposobu II)<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3<br>3 .<br>3 pkt - obliczenie długości przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 39<br>7<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie cos 𝛿: cos 𝛿= 13</li></ul>\n<p>14 .<br>2 pkt - zapisanie równań 𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅(2 cos2 𝛿-1) oraz<br>1<br>2 𝑒<br>3 = cos 𝛿.<br>1 pkt - zapisanie związków 𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅cos |∡𝐴𝐷𝐶| oraz |∡𝐴𝐷𝐶| = 2𝛿.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobu III)<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3<br>3 .<br>3 pkt - obliczenie długości przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 39<br>7 .<br>2 pkt - zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶′ jest równoboczny.<br>1 pkt - uzasadnienie, że 𝐵𝐷 jest dwusieczną kąta 𝐴𝐷𝐶 oraz zapisanie, że 𝐶′ leży na<br>odcinku 𝐴𝐷.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,<br>𝑑 - długość przekątnej 𝐵𝐷,<br>𝛼 - miara kąta 𝐵𝐴𝐷,<br>𝛾 - miara kąta 𝐵𝐶𝐷.<br>Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów 𝐴𝐵𝐷 oraz 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑅<br>𝛾<br>5<br>3<br>3<br>𝑑<br>8<br>𝛼<br>𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 ∧ 𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾<br>Stąd i z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy<br>73 -48 cos 𝛼= 34 -30 cos(180° -𝛼)<br>Po zastosowaniu wzorów redukcyjnych otrzymujemy<br>73 -48 cos 𝛼= 34 + 30 cos 𝛼<br>cos 𝛼= 1<br>2<br>Zatem 𝛼= 60° i 𝑑2 = 73 -48 ⋅1<br>2 = 49, czyli 𝑑= 7.<br>Okrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie<br>𝐴𝐵𝐷. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy<br>𝑑<br>sin 𝛼= 2𝑅<br>7<br>√3<br>2<br>= 2𝑅<br>𝑅= 7√3<br>3<br>Sposób II<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,<br>𝑒 - długość przekątnej 𝐴𝐶,<br>𝛿 - miara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑅<br>𝛿<br>5<br>3<br>3<br>𝑒<br>8<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ponieważ |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐴𝐶𝐵 są<br>oparte na tym samym łuku, więc |∡𝐴𝐷𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐵𝐴𝐶 i 𝐵𝐷𝐶 są oparte na tym<br>samym łuku, więc |∡𝐵𝐷𝐶| = 𝛿.<br>Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 oraz wzór na cosinus podwojonego<br>argumentu i otrzymujemy:<br>𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅cos(2𝛿)<br>𝑒2 = 89 -80 ⋅(2 cos2 𝛿-1)<br>𝑒2 = 169 -160 cos2 𝛿<br>Z trójkąta równoramiennego 𝐴𝐶𝐵 otrzymujemy<br>1<br>2 𝑒<br>3 = cos 𝛿 , więc 𝑒= 6 cos 𝛿. Zatem<br>(6 cos 𝛿)2 = 169 -160 cos2 𝛿<br>196 cos2 𝛿= 169<br>cos 𝛿= 13<br>14 ∨ cos 𝛿= -13<br>14<br>Kąt 𝐴𝐶𝐵 w trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 jest ostry, więc cos 𝛿= 13<br>14 ,<br>czyli sin 𝛿= 3√3<br>14 .<br>Okrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na<br>trójkącie 𝐴𝐵𝐶. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy<br>3<br>sin 𝛿 = 2𝑅<br>3<br>3√3<br>14<br>= 2𝑅<br>𝑅= 7√3<br>3<br>Sposób III<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,<br>𝑑 - długość przekątnej 𝐵𝐷,<br>𝛿 - miara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵.<br>Ponieważ |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐴𝐶𝐵 są parte<br>na tym samym łuku, więc |∡𝐴𝐷𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐵𝐴𝐶 i 𝐵𝐷𝐶 są oparte na tym<br>samym łuku, więc |∡𝐵𝐷𝐶| = 𝛿. Zatem 𝐵𝐷 jest dwusieczną kąta 𝐴𝐷𝐶.<br>Niech 𝐶′ będzie obrazem punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem prostej 𝐵𝐷. Wtedy 𝐵𝐷<br>będzie zawierać wysokość trójkąta równoramiennego 𝐶𝐶′𝐷 i |𝐶′𝐷| = |𝐶𝐷| = 5, więc 𝐶′<br>będzie leżał na odcinku 𝐴𝐷.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑅<br>𝛿<br>5<br>3<br>3<br>𝑑<br>8<br>𝛿<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑅<br>𝛿<br>𝛿<br>𝛿<br>𝐶′<br>3<br>5<br>5<br>3<br>3<br>𝑑<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zatem czworokąt 𝐵𝐶𝐷𝐶′ jest deltoidem i |𝐵𝐶′| = |𝐵𝐶| = 3.<br>Ponieważ |𝐴𝐶′| = |𝐴𝐷| -|𝐷𝐶′| = 8 -5 = 3, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶′ jest równoboczny,<br>czyli |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°.<br>Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐴𝐷 i otrzymujemy:<br>𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 60°<br>𝑑= 7<br>Okrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie<br>𝐴𝐵𝐷. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy<br>𝑑<br>sin |∡𝐵𝐴𝐷| = 2𝑅<br>7<br>√3<br>2<br>= 2𝑅<br>𝑅= 7√3<br>3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\dfrac{7\\sqrt{3}}{3}$</p>"}]}