{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-5)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym\nciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6).\nCiąg (𝑏𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i 𝑏1 = 𝑎11 oraz\n𝑏2 = 𝑎6.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (𝒃𝒏). Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nCiąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a_6 = 15 oraz a_{15} = a_3⋅(a_8-6). Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i b_1 = a_{11} oraz b_2 = a_6. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n). Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 245\n4 .\n4 pkt - obliczenie 𝑏1 oraz 𝑞: 𝑏1 = 35 oraz 𝑞= 3\n7 .\n3 pkt - obliczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛): 𝑟= 4 oraz odrzucenie przypadku 𝑟= -5.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟 (albo 𝑎1), np.\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6),\n𝑎1 + 14 ⋅15 - 𝑎1\n5\n= (𝑎1 + 2 ⋅15 - 𝑎1\n5\n) ⋅(𝑎1 + 7 ⋅15 - 𝑎1\n5\n-6).\n1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑟, np.\n𝑎1 + 14𝑟= (𝑎1 + 2𝑟) ⋅(𝑎1 + 7𝑟-6) i 𝑎1 + 5𝑟= 15.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość 𝑟= -5 bez komentarza.\n2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= -3\n2 i zastosuje wzór na sumę szeregu\ngeometrycznego dla 𝑞= -3\n2 , to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną\nniewiadomą, 1 punkt za obliczenie 𝑞= 3\n7 oraz sumy dla 𝑞= 3\n7 ).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑟 różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), natomiast przez 𝑞 - iloraz ciągu\ngeometrycznego (𝑏𝑛).\nPonieważ 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6), więc stąd i z własności ciągu arytmetycznego\notrzymujemy\n𝑎6 + 9𝑟= (𝑎6 -3𝑟) ⋅(𝑎6 + 2𝑟-6)\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6)\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(2𝑟+ 9)\n6𝑟2 + 6𝑟-120 = 0\n𝑟2 + 𝑟-20 = 0\n𝑟= -5 ∨ 𝑟= 4\nCiąg (𝑎𝑛) jest rosnący, więc 𝑟= 4.\nZatem 𝑏1 = 𝑎6 + 5𝑟= 15 + 5 ⋅4 = 35, 𝑏2 = 15 oraz 𝑞= 𝑏2\n𝑏1\n= 3\n7 .\nPonieważ |3\n7| < 1, więc suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑏𝑛) istnieje i jest równa\n𝑆=\n𝑏1\n1 -𝑞=\n35\n1 -3\n7\n= 245\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$\\dfrac{245}{4}$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-5)
Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym
ciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6).
Ciąg (𝑏𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i 𝑏1 = 𝑎11 oraz
𝑏2 = 𝑎6.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (𝒃𝒏). Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a_6 = 15 oraz a_{15} = a_3⋅(a_8-6). Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i b_1 = a_{11} oraz b_2 = a_6. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n). Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi
geometryczne i oblicza ich sumę.
Zasady oceniania
5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 245
4 .
4 pkt - obliczenie 𝑏1 oraz 𝑞: 𝑏1 = 35 oraz 𝑞= 3
7 .
3 pkt - obliczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛): 𝑟= 4 oraz odrzucenie przypadku 𝑟= -5.
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟 (albo 𝑎1), np.
15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6),
𝑎1 + 14 ⋅15 - 𝑎1
5
= (𝑎1 + 2 ⋅15 - 𝑎1
5
) ⋅(𝑎1 + 7 ⋅15 - 𝑎1
5
-6).
1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑟, np.
𝑎1 + 14𝑟= (𝑎1 + 2𝑟) ⋅(𝑎1 + 7𝑟-6) i 𝑎1 + 5𝑟= 15.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość 𝑟= -5 bez komentarza.
  2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= -3
\n

2 i zastosuje wzór na sumę szeregu
geometrycznego dla 𝑞= -3
2 , to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe
rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną
niewiadomą, 1 punkt za obliczenie 𝑞= 3
7 oraz sumy dla 𝑞= 3
7 ).
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy przez 𝑟 różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), natomiast przez 𝑞 - iloraz ciągu
geometrycznego (𝑏𝑛).
Ponieważ 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6), więc stąd i z własności ciągu arytmetycznego
otrzymujemy
𝑎6 + 9𝑟= (𝑎6 -3𝑟) ⋅(𝑎6 + 2𝑟-6)
15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6)
15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(2𝑟+ 9)
6𝑟2 + 6𝑟-120 = 0
𝑟2 + 𝑟-20 = 0
𝑟= -5 ∨ 𝑟= 4
Ciąg (𝑎𝑛) jest rosnący, więc 𝑟= 4.
Zatem 𝑏1 = 𝑎6 + 5𝑟= 15 + 5 ⋅4 = 35, 𝑏2 = 15 oraz 𝑞= 𝑏2
𝑏1
= 3
7 .
Ponieważ |3
7| < 1, więc suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑏𝑛) istnieje i jest równa
𝑆=
𝑏1
1 -𝑞=
35
1 -3
7
= 245
4
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{245}{4}$

"}]}