{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nCiąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest\nrówna 2025. Ostatni wyraz tego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego\nciągu.\nOblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎1 = 9.\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎1, np. 𝑎1 + 17𝑎1\n2\n⋅25 = 2025\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑎1, np.:\n𝑎1 + 𝑎25\n2\n⋅25 = 2025 oraz 𝑎25 = 17𝑎1 ,\n2𝑎1 + 24𝑟\n2\n⋅25 = 2025 oraz 17𝑎1 = 𝑎1 + 24𝑟 ,\n2𝑎1 + 24𝑟\n2\n⋅25 = 2025 oraz 𝑎25 = 17𝑎1 oraz 𝑎25 = 𝑎1 + 24𝑟 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 2025 jako dwudziesty piąty wyraz ciągu, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑎1 = 9, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛), to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy pierwszy wyraz rozważanego ciągu przez 𝑎1, natomiast ostatni wyraz - przez 𝑎25\nOstatni wyraz rozważanego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu,\nwięc\n𝑎25 = 17𝑎1\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni otrzymujemy:\n𝑎1 + 𝑎25\n2\n⋅25 = 2025\n𝑎1 + 17𝑎1\n2\n⋅25 = 2025\n225𝑎1 = 2025\n𝑎1 = 9\nSposób II\nOznaczmy:\n𝑎1 - pierwszy wyraz rozważanego ciągu,\n𝑟 - różnica rozważanego ciągu,\n𝑎25- ostatni wyraz rozważanego ciągu.\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni otrzymujemy:\n2𝑎1 + 24𝑟\n2\n⋅25 = 2025\nstąd\n𝑎1 + 12𝑟= 81\nOstatni wyraz rozważanego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu,\nwięc\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎25 = 17𝑎1\nstąd\n𝑎1 + 24𝑟= 17𝑎1\n12𝑟= 8𝑎1\nZ uzyskanych równań obliczamy 𝑎1:\n𝑎1 + 12𝑟= 81\n𝑎1 + 8𝑎1 = 81\n9𝑎1 = 81\n𝑎1 = 9","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest<br>równa 2025. Ostatni wyraz tego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego<br>ciągu.<br>Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę<br>𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎1 = 9.<br>1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎1, np. 𝑎1 + 17𝑎1<br>2<br>⋅25 = 2025<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑎1, np.:</li></ul>\n<p>𝑎1 + 𝑎25<br>2<br>⋅25 = 2025 oraz 𝑎25 = 17𝑎1 ,<br>2𝑎1 + 24𝑟<br>2<br>⋅25 = 2025 oraz 17𝑎1 = 𝑎1 + 24𝑟 ,<br>2𝑎1 + 24𝑟<br>2<br>⋅25 = 2025 oraz 𝑎25 = 17𝑎1 oraz 𝑎25 = 𝑎1 + 24𝑟 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe</li></ol>\n<p>rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 2025 jako dwudziesty piąty wyraz ciągu, to</li></ol>\n<p>otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑎1 = 9, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</li><li>Jeżeli zdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛), to otrzymuje 2 punkty za całe</li></ol>\n<p>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Oznaczmy pierwszy wyraz rozważanego ciągu przez 𝑎1, natomiast ostatni wyraz - przez 𝑎25<br>Ostatni wyraz rozważanego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu,<br>więc<br>𝑎25 = 17𝑎1<br>Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego<br>i otrzymujemy:<br>𝑎1 + 𝑎25<br>2<br>⋅25 = 2025<br>𝑎1 + 17𝑎1<br>2<br>⋅25 = 2025<br>225𝑎1 = 2025<br>𝑎1 = 9<br>Sposób II<br>Oznaczmy:<br>𝑎1 - pierwszy wyraz rozważanego ciągu,<br>𝑟 - różnica rozważanego ciągu,<br>𝑎25- ostatni wyraz rozważanego ciągu.<br>Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego<br>i otrzymujemy:<br>2𝑎1 + 24𝑟<br>2<br>⋅25 = 2025<br>stąd<br>𝑎1 + 12𝑟= 81<br>Ostatni wyraz rozważanego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu,<br>więc<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑎25 = 17𝑎1<br>stąd<br>𝑎1 + 24𝑟= 17𝑎1<br>12𝑟= 8𝑎1<br>Z uzyskanych równań obliczamy 𝑎1:<br>𝑎1 + 12𝑟= 81<br>𝑎1 + 8𝑎1 = 81<br>9𝑎1 = 81<br>𝑎1 = 9</p>","solutions":[]}