{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDane są dwa zbiory: 𝑋= {-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑌= {-2, -1, 0, 1}.\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑌\ni tworzymy uporządkowaną parę liczb (𝑥, 𝑦), gdzie 𝑥 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑋\noraz 𝑦 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑌.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb\n(𝑥, 𝑦), która będzie spełniać warunek 𝑥⋅𝑦≥0.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 17\n24\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 24 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 17, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n24\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 17\n24\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 17 lub 24 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑦∈{-2, -1, 0, 1}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 6 ⋅4 = 24.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(-3, -2), (-3, -1), (-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0),\n(0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1),\nwięc moc zbioru 𝐴 jest równa 17.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17\n24 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n-2\n-1\n0\n1\n-3\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n-2\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n-1\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n0\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n1\n𝒜\n𝒜\n2\n𝒜\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 24.\nZdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 17.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17\n24 .\n𝑌\n𝑋\nSposób III\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia,\nz uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe:\n𝑃(𝐴) = 3\n6 ⋅3\n4 + 1\n6 ⋅4\n4 + 2\n6 ⋅2\n4 = 17\n24","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Dane są dwa zbiory: 𝑋= {-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑌= {-2, -1, 0, 1}.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑌
i tworzymy uporządkowaną parę liczb (𝑥, 𝑦), gdzie 𝑥 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑋
oraz 𝑦 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑌.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb
(𝑥, 𝑦), która będzie spełniać warunek 𝑥⋅𝑦≥0.

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.3) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 17
24
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 6 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 24 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO

\n\n

sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO

\n\n

|𝐴| = 17, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO

\n\n

sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO

\n\n

24
,
ALBO

\n\n

24
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 17 lub 24 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥∈{-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑦∈{-2, -1, 0, 1}.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.
Moc zbioru Ω jest równa 6 ⋅4 = 24.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(-3, -2), (-3, -1), (-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0),
(0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1),
więc moc zbioru 𝐴 jest równa 17.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17
24 .
Sposób II
W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.
-2
-1
0
1
-3
𝒜
𝒜
𝒜
-2
𝒜
𝒜
𝒜
-1
𝒜
𝒜
𝒜
0
𝒜
𝒜
𝒜
𝒜
1
𝒜
𝒜
2
𝒜
𝒜
Moc zbioru Ω jest równa 24.
Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 17.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17
24 .
𝑌
𝑋
Sposób III
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia,
z uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe:
𝑃(𝐴) = 3
6 ⋅3
4 + 1
6 ⋅4
4 + 2
6 ⋅2
4 = 17
24

","solutions":[]}