{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji kwadratowej 𝑓 przechodzi przez\npunkt (2, 15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu 𝑥= -1.\nJednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji 𝑓.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12 oraz\n𝑍𝑊𝑓= ⟨-12, +∞).\n3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12\nALBO\n- obliczenie współczynnika 𝑞: 𝑞= -12 oraz zapisanie zbioru wartości funkcji 𝑓:\n𝑍𝑊𝑓= ⟨-12, +∞).\n2\n6\n3\n6\n1\n6\n1\n2\n0\n-3\n-2\n-1\n-2\n-1\n0\n-2\n-1\n0\n1\n0\n1\n3\n4\n4\n4\n2\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 pkt - obliczenie współczynnika 𝑎: 𝑎= 3\nALBO\n- obliczenie współczynnika 𝑞: 𝑞= -12.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15 oraz -𝑏\n2𝑎= -1 oraz 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= -1, zatem drugie\nmiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest równe 𝑥2 = -3.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3), gdzie 𝑎≠0\nPunkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość 15. Stąd otrzymujemy:\n𝑓(2) = 15\n𝑎(2 -1)(2 + 3) = 15\n5𝑎= 15\n𝑎= 3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3) = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =\n= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12\nWyrażenie (𝑥+ 1)2 jest liczbą nieujemną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Stąd wyrażenie\n3(𝑥+ 1)2 -12 przyjmuje wartości nie mniejsze niż (-12), więc zbiorem wartości funkcji\n𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).\nUwaga.\nPostać kanoniczną funkcji 𝑓 możemy też uzyskać, obliczając współrzędne wierzchołka\nparaboli będącej wykresem tej funkcji. Ponieważ osią symetrii tej paraboli jest prosta\no równaniu 𝑥= -1, więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 𝑝= -1.\nDruga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa\n𝑞= 𝑓(-1) = 3(-1 -1)(-1 + 3) = -12\nStąd otrzymujemy postać kanoniczną funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\nSposób II\nPonieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞, gdzie 𝑎≠0\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem punkt (1, 0) leży na wykresie tej funkcji.\nStąd i z tego, że wykres funkcji 𝑓 przechodzi przez punkt (2, 15), otrzymujemy układ\nrównań:\n{ 𝑓(1) = 0\n𝑓(2) = 15\n{ 𝑎(1 + 1)2 + 𝑞= 0\n𝑎(2 + 1)2 + 𝑞= 15\n{ 4𝑎+ 𝑞= 0\n9𝑎+ 𝑞= 15\nOdejmujemy równania stronami i otrzymujemy:\n-5𝑎= -15\n𝑎= 3\nStąd:\n𝑞= -4𝑎= -12\nZatem 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\nPonieważ 𝑞= -12 oraz współczynnik 𝑎 jest liczbą dodatnią, więc zbiorem wartości\nfunkcji 𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).\nSposób III\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.\nStąd:\n-𝑏\n2𝑎= -1\n𝑏= 2𝑎\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem:\n𝑓(1) = 0\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nPodstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy:\n𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0\n𝑐= -3𝑎\nPunkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość 15. Stąd otrzymujemy:\n𝑓(2) = 15\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15\nPodstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 oraz w miejsce 𝑐 wyrażenie (-3𝑎)\ni otrzymujemy:\n4𝑎+ 2 ⋅(2𝑎) -3𝑎= 15\n5𝑎= 15\n𝑎= 3\nZatem:\n𝑏= 2𝑎= 6 oraz 𝑐= -3𝑎= -9\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9 = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =\n= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12\nWyrażenie (𝑥+ 1)2 jest liczbą nieujemną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Stąd wyrażenie\n3(𝑥+ 1)2 -12 przyjmuje wartości nie mniejsze niż (-12), więc zbiorem wartości funkcji\n𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji kwadratowej 𝑓 przechodzi przez
punkt (2, 15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu 𝑥= -1.
Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.
Wyznacz wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji 𝑓.

\n

EMAP-P0_100

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na
podstawie pewnych informacji o tej funkcji
lub o jej wykresie.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12 oraz
𝑍𝑊𝑓= ⟨-12, +∞).
3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12
ALBO

\n\n

𝑍𝑊𝑓= ⟨-12, +∞).
2
6
3
6
1
6
1
2
0
-3
-2
-1
-2
-1
0
-2
-1
0
1
0
1
3
4
4
4
2
4
Zasady oceniania rozwiązań zadań
2 pkt - obliczenie współczynnika 𝑎: 𝑎= 3
ALBO

\n\n

1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

prowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.
4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15 oraz -𝑏
2𝑎= -1 oraz 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= -1, zatem drugie
miejsce zerowe funkcji 𝑓 jest równe 𝑥2 = -3.
Korzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3), gdzie 𝑎≠0
Punkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje
wartość 15. Stąd otrzymujemy:
𝑓(2) = 15
𝑎(2 -1)(2 + 3) = 15
5𝑎= 15
𝑎= 3
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:
𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3)
Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:
𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3) = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =
= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12
Wyrażenie (𝑥+ 1)2 jest liczbą nieujemną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Stąd wyrażenie
3(𝑥+ 1)2 -12 przyjmuje wartości nie mniejsze niż (-12), więc zbiorem wartości funkcji
𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).
Uwaga.
Postać kanoniczną funkcji 𝑓 możemy też uzyskać, obliczając współrzędne wierzchołka
paraboli będącej wykresem tej funkcji. Ponieważ osią symetrii tej paraboli jest prosta
o równaniu 𝑥= -1, więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 𝑝= -1.
Druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa
𝑞= 𝑓(-1) = 3(-1 -1)(-1 + 3) = -12
Stąd otrzymujemy postać kanoniczną funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.
Sposób II
Ponieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą
współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.
Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞, gdzie 𝑎≠0
Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem punkt (1, 0) leży na wykresie tej funkcji.
Stąd i z tego, że wykres funkcji 𝑓 przechodzi przez punkt (2, 15), otrzymujemy układ
równań:
{ 𝑓(1) = 0
𝑓(2) = 15
{ 𝑎(1 + 1)2 + 𝑞= 0
𝑎(2 + 1)2 + 𝑞= 15
{ 4𝑎+ 𝑞= 0
9𝑎+ 𝑞= 15
Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy:
-5𝑎= -15
𝑎= 3
Stąd:
𝑞= -4𝑎= -12
Zatem 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.
Ponieważ 𝑞= -12 oraz współczynnik 𝑎 jest liczbą dodatnią, więc zbiorem wartości
funkcji 𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).
Sposób III
Korzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ponieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą
współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.
Stąd:
-𝑏
2𝑎= -1
𝑏= 2𝑎
Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem:
𝑓(1) = 0
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0
Podstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy:
𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0
𝑐= -3𝑎
Punkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje
wartość 15. Stąd otrzymujemy:
𝑓(2) = 15
4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15
Podstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 oraz w miejsce 𝑐 wyrażenie (-3𝑎)
i otrzymujemy:
4𝑎+ 2 ⋅(2𝑎) -3𝑎= 15
5𝑎= 15
𝑎= 3
Zatem:
𝑏= 2𝑎= 6 oraz 𝑐= -3𝑎= -9
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9
Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9 = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =
= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12
Wyrażenie (𝑥+ 1)2 jest liczbą nieujemną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Stąd wyrażenie
3(𝑥+ 1)2 -12 przyjmuje wartości nie mniejsze niż (-12), więc zbiorem wartości funkcji
𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).

","solutions":[]}