{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5.\nDługości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu\ntworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.\nOblicz objętość tego prostopadłościanu.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 27.\n3 pkt - obliczenie długości (lub kwadratu długości) jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.\n𝑎= 3\n4 (lub 𝑎2 = 9\n16\n).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎)\nALBO\n- zapisanie objętości prostopadłościanu w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑉= 64𝑎3.\n1 pkt - zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka\nw zależności od jednej zmiennej, np. 𝑎, 4𝑎, 16𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym (przyjmuje, że długości krawędzi\nprostopadłościanu są równe 𝑎, 𝑎+ 4, 𝑎+ 8), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie (za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie długości\njednej z krawędzi prostopadłościanu i za obliczenie objętości prostopadłościanu).\n2. Jeżeli zdający rozwiązuje równanie 94,5 = 𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎 (tzn. pomija\nczynnik 2 we wzorze na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu), to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie długości krawędzi\nprostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej\noraz za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie objętości\nprostopadłościanu).\n3. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego\nsamego wierzchołka: 3\n4\n, 3, 12, oraz sprawdzi rachunkiem, że spełniają one warunki\nzadania, a następnie obliczy objętość ostrosłupa 𝑉= 27, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, przy czym niech 𝑎< 𝑏< 𝑐.\nZ warunków zadania otrzymujemy: 𝑏= 4𝑎, 𝑐= 16𝑎. Stąd i z tego, że pole powierzchni\ncałkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5, otrzymujemy równanie:\n2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) = 94,5\n2 ⋅(4𝑎2 + 16𝑎2 + 64𝑎2) = 94,5\n168𝑎2 = 94,5\n𝑎2 = 0,5625\n𝑎= 0,75 = 3\n4\nObliczamy objętość prostopadłościanu:\n𝑉= 𝑎𝑏𝑐= 𝑎⋅4𝑎⋅16𝑎= 64𝑎3 = 64 ⋅(3\n4)\n3\n= 64 ⋅27\n64 = 27","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5.<br>Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu<br>tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.<br>Oblicz objętość tego prostopadłościanu.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>G11.2) oblicza pole powierzchni i objętość<br>graniastosłupa prostego […].<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 27.<br>3 pkt - obliczenie długości (lub kwadratu długości) jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.<br>𝑎= 3<br>4 (lub 𝑎2 = 9<br>16<br>).<br>2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.<br>94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie objętości prostopadłościanu w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑉= 64𝑎3.</li></ul>\n<p>1 pkt - zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka<br>w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑎, 4𝑎, 16𝑎.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym (przyjmuje, że długości krawędzi</li></ol>\n<p>prostopadłościanu są równe 𝑎, 𝑎+ 4, 𝑎+ 8), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty<br>za całe rozwiązanie (za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie długości<br>jednej z krawędzi prostopadłościanu i za obliczenie objętości prostopadłościanu).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozwiązuje równanie 94,5 = 𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎 (tzn. pomija</li></ol>\n<p>czynnik 2 we wzorze na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu), to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie długości krawędzi<br>prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej<br>oraz za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie objętości<br>prostopadłościanu).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego</li></ol>\n<p>samego wierzchołka: 3<br>4<br>, 3, 12, oraz sprawdzi rachunkiem, że spełniają one warunki<br>zadania, a następnie obliczy objętość ostrosłupa 𝑉= 27, to otrzymuje 1 punkt za całe<br>rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, przy czym niech 𝑎&lt; 𝑏&lt; 𝑐.<br>Z warunków zadania otrzymujemy: 𝑏= 4𝑎, 𝑐= 16𝑎. Stąd i z tego, że pole powierzchni<br>całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5, otrzymujemy równanie:<br>2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) = 94,5<br>2 ⋅(4𝑎2 + 16𝑎2 + 64𝑎2) = 94,5<br>168𝑎2 = 94,5<br>𝑎2 = 0,5625<br>𝑎= 0,75 = 3<br>4<br>Obliczamy objętość prostopadłościanu:<br>𝑉= 𝑎𝑏𝑐= 𝑎⋅4𝑎⋅16𝑎= 64𝑎3 = 64 ⋅(3<br>4)<br>3<br>= 64 ⋅27<br>64 = 27</p>","solutions":[]}