Zadanie 34. (0-5)
W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (0, 1) oraz 𝐶= (6, 4) są przeciwległymi
wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 przechodzi przez
wierzchołki 𝐵 oraz 𝐷 tego kwadratu.
Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘.
EMAP-P0_100
\nEMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
EMAP-P0_100
\nMATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2015
Zadanie 34. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
8.1) wyznacza równanie prostej
przechodzącej przez dwa dane punkty
(w postaci kierunkowej lub ogólnej);
8.3) wyznacza równanie prostej, która jest
[…] prostopadła do prostej danej w postaci
kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;
8.6) oblicza odległość dwóch punktów.
Zasady oceniania
Część I (Obliczenie pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷)
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑃= 45
2
𝑎
𝑏
𝑐
1 pkt - obliczenie długości przekątnej 𝐴𝐶 (lub kwadratu tej długości): |𝐴𝐶| = √45
(lub |𝐴𝐶|2 = 45).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Część II (Wyznaczenie współczynników 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘)
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i wyznaczenie współczynników 𝑎 oraz 𝑏
w równaniu prostej 𝑘: 𝑎= -2, 𝑏= 17
2 .
2 pkt - wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝑘: 𝑎= -2 ,
ALBO
współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶: 𝑎𝐴𝐶= 1
2
,
ALBO
ALBO
\nALBO
\n(dla sposobu III).
1 pkt - zapisanie współrzędnych środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐶: 𝑆= (3, 5
2),
ALBO
2
,
ALBO
ALBO
\nALBO
\n(dla sposobu III).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,
b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi
prostych prostopadłych,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
1 punkt za tę część rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekątna 𝐴𝐶 ma długość:
|𝐴𝐶| = √(6 -0)2 + (4 -1)2 = √36 + 9 = √45
Zatem pole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 ⋅(√45)
2 = 45
2
Środek odcinka 𝐴𝐶 ma współrzędne 𝑆= (0+6
2 , 1+4
2 ) = (3, 5
2)
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐶:
𝑎𝐴𝐶= 4 -1
6 -0 = 3
6 = 1
2
Prosta 𝑘 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐶, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑘 jest
równy (-2). Ponadto punkt 𝑆= (3, 5
kierunkowe prostej 𝑘:
𝑦= -2(𝑥-3) + 5
2
𝑦= -2𝑥+ 17
2
Zatem współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘 są równe: 𝑎= -2, 𝑏= 17
2 .
Sposób II
Przekątna 𝐴𝐶 ma długość:
|𝐴𝐶| = √(6 -0)2 + (4 -1)2 = √36 + 9 = √45
Zatem pole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 ⋅(√45)
2 = 45
2
Środek odcinka 𝐴𝐶 ma współrzędne 𝑆= (0+6
2 , 1+4
2 ) = (3, 5
2)
Obliczamy współrzędne wektora 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ :
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [6 -0, 4 -1] = [6, 3]
Prosta 𝑘 jest prostopadła do wektora 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ i przechodzi przez punkt 𝑆= (3, 5
2), więc jej
równanie ma postać:
6(𝑥-3) + 3 (𝑦-5
6𝑥-18 + 3𝑦-15
2 = 0
3𝑦= -6𝑥+ 51
2
𝑦= -2𝑥+ 17
2
Zatem współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘 są równe: 𝑎= -2, 𝑏= 17
2 .
Sposób III
Przekątna 𝐴𝐶 ma długość:
|𝐴𝐶| = √(6 -0)2 + (4 -1)2 = √36 + 9 = √45
Zatem pole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe:
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 ⋅(√45)
2 = 45
2
Prosta 𝑘 jest symetralną odcinka 𝐴𝐶, więc punkt o współrzędnych 𝑃= (𝑥, 𝑦) leży na
prostej 𝑘 tylko wtedy, gdy |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|. Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma
punktami otrzymujemy równanie:
√(𝑥-0)2 + (𝑦-1)2 = √(𝑥-6)2 + (𝑦-4)2
(𝑥-0)2 + (𝑦-1)2 = (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2
𝑥2 + 𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 𝑦2 -8𝑦+ 16
6𝑦= -12𝑥+ 51
𝑦= -2𝑥+ 17
2
Zatem współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘 są równe: 𝑎= -2, 𝑏= 17
2 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez
stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią (punkty 1.-12.);
b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,
termin dodatkowy 2025.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
błędnego przepisania
przestawienia cyfr
zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
przestawienia położenia przecinka
przestawienia położenia znaku liczby.
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie
z kryteriami do poszczególnych zadań.
nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub
stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie
zadania.
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,
istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających
rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę
wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 26.
1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
𝑥2 + 3𝑥+ 2, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego
i obliczenie tych pierwiastków
ALBO
dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,
ALBO
zasad oceniania),
ALBO
trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.
Uwagi:
zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-1, -2), to może otrzymać 2 punkty za całe
rozwiązanie.
liczbami wymiernymi.
Zadanie 27.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zadanie 28.
1 pkt - zapisanie równania 85% ⋅𝑦= 70% ⋅80% ⋅𝑥.
Zadanie 29.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 30.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 31.
1 pkt - zapisanie jedynie liczby 24 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
standardowych zasad oceniania.
\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 16) i konsekwentnie zapisze
wynik (np. 16
24), to otrzymuje 2 punkty
Zadanie 32.
1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie 𝑝= -1
ALBO
Zadanie 33.
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.
94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) oraz
zapisanie objętości prostopadłościanu w postaci 𝑉= 64𝑎3.
Zadanie 34.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.