{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nWielomian 𝑓 zmiennej rzeczywistej 𝑥 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐,\ngdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐∈ℝ. Liczba (-2) jest miejscem zerowym tego wielomianu. W układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) styczna do wykresu wielomianu 𝑓 w punkcie 𝐴 o pierwszej\nwspółrzędnej równej (-2) przecina ten wykres w punkcie 𝑃= (1, 9).\nWyznacz wzór wielomianu 𝑓.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n11.3R) korzysta z geometrycznej i fizycznej\ninterpretacji pochodnej.\nZasady oceniania (dla sposobów I oraz II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od 𝑎, 𝑏, 𝑐:\n𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2 (lub 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)).\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, które wynika z warunków 𝑓(-2) = 0\ni 𝑓(1) = 9 oraz 𝑓′(-2) = 3, np. 9 = 1 + 𝑎+ (4𝑎-9) + (4𝑎-10) (dla\nsposobu I)\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑑 oraz 𝑒,\nnp. 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0 i 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒) (dla sposobu II),\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema (spośród 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐)\nniewiadomymi, które wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9 oraz z warunku\n𝑓′(-2) = 3, np.\n0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 9 -13 -𝑎⋅12 -𝑏⋅1 oraz\n3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏.\n2 pkt - wyznaczenie (z warunków 𝑓′(-2) = 3 i 𝑓(-2) = 0) 𝑏 oraz 𝑐 w zależności\nod 𝑎: 𝑏= 4𝑎-9 i 𝑐= 4𝑎-10 (dla sposobu I)\nALBO\n- wyznaczenie (z warunków 𝑓′(-2) = 3 i 𝑓(1) = 9) 𝑏 oraz 𝑐 w zależności od 𝑎:\n𝑏= 4𝑎-9 i 𝑐= 17 -5𝑎 (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie warunku 𝑓(1) = 9 w postaci równania z dwiema niewiadomymi 𝑑\noraz 𝑒, np. 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie warunku 𝑓′(-2) = 3 w postaci równania z dwiema niewiadomymi 𝑑\noraz 𝑒, np. 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐,\nktóre wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9 oraz 𝑓′(-2) = 3, np.\n0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐 oraz 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐 oraz\n3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏,\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3 oraz wyznaczenie (z warunków\n𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9) 𝑏 w zależności od 𝑎: 𝑏= 𝑎.\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3 (dla sposobów I oraz II),\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒) (dla sposobu II),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐,\nktóre wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9, np.\n0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐 oraz 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od 𝑎, 𝑏, 𝑐:\n𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2 (lub 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)).\n3 pkt - wyznaczenie równania stycznej, np. 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+ 2), oraz zapisanie związków\nℎ(-2) = 0 i ℎ′(-2) = 0, oraz przedstawienie wielomianu ℎ w postaci\nℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2\nALBO\n- wyznaczenie wzoru wielomianu ℎ, np. ℎ(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥+ 2)2.\n2 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3 oraz zapisanie związków\nℎ(-2) = 0 i ℎ′(-2) = 0\nALBO\n- zapisanie związków ℎ(-2) = 0 i ℎ′(-2) = 0 oraz przedstawienie wielomianu ℎ\nw postaci ℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2.\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3\nALBO\n- zapisanie związków ℎ(-2) = 0 oraz ℎ′(-2) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWzór wielomianu 𝑓 ma postać 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 przy pewnych 𝑎, 𝑏, 𝑐∈ℝ.\nStyczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=\n9 - 0\n1 - (-2) = 3.\nKorzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 3.\nObliczając pochodną wielomianu 𝑓, otrzymujemy 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑏.\nZatem 3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏. Stąd 𝑏= 4𝑎-9.\nPonieważ 𝑓(-2) = 0, więc (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0, czyli\n-8 + 4𝑎+ (4𝑎-9) ⋅(-2) + 𝑐= 0\n𝑐= 4𝑎-10\nPonieważ 𝑓(1) = 9, więc 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐, czyli\n9 = 1 + 𝑎+ (4𝑎-9) + (4𝑎-10)\n𝑎= 3\nZatem 𝑏= 4 ⋅3 -9 = 3 oraz 𝑐= 4 ⋅3 -10 = 2.\nWielomian 𝑓 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2.\nSposób II\nZapisujemy wzór wielomianu 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒), gdzie 𝑑, 𝑒∈ℝ.\nStyczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=\n9 - 0\n1 - (-2) = 3.\nKorzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 3.\nObliczając pochodną wielomianu 𝑓, otrzymujemy\n𝑓′(𝑥) = 1 ⋅(𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒) + (𝑥+ 2) ⋅(2𝑥+ 𝑑)\nZatem 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0. Stąd 𝑒= 2𝑑-1.\nPonieważ 𝑓(1) = 9, więc 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒), czyli\n9 = 3 ⋅(1 + 𝑑+ 2𝑑-1)\n𝑑= 1\nZatem 𝑒= 2 ⋅1 -1 = 1.\nWielomian 𝑓 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1).\nSposób III\nNiech 𝑦= 𝑔(𝑥) będzie równaniem stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝐴. Niech ℎ\nbędzie wielomianem trzeciego stopnia określonym następująco: ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) -𝑔(𝑥) dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nPunkt 𝐴 leży na wykresach funkcji 𝑓 oraz 𝑔, więc 𝑓(-2) = 𝑔(-2), czyli ℎ(-2) = 0.\nKorzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 𝑔′(-2), więc\nℎ′(-2) = 𝑓′(-2) -𝑔′(-2) = 0. Zatem liczba (-2) jest pierwiastkiem podwójnym\nwielomianu ℎ, czyli ℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2 przy pewnym 𝑘∈ℝ.\nPunkt 𝑃 leży na wykresach funkcji 𝑓 oraz 𝑔, więc 𝑓(1) = 9 i 𝑔(1) = 9. Stąd\nℎ(1) = 𝑓(1) -𝑔(1) = 0. Zatem\nℎ(1) = (1 + 𝑘)(1 + 2)2\n0 = (1 + 𝑘) ⋅9\n𝑘= -1\nczyli ℎ(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥+ 2)2.\nStyczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=\n9 - 0\n1 - (-2) = 3. Zatem\n𝑔(𝑥) = 3(𝑥+ 2).\nWyznaczamy wzór funkcji 𝑓:\n𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥+ 2)2 + 3(𝑥+ 2) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 2𝑥-𝑥-2 + 3) =\n= (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Wielomian 𝑓 zmiennej rzeczywistej 𝑥 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐,
gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐∈ℝ. Liczba (-2) jest miejscem zerowym tego wielomianu. W układzie
współrzędnych (𝑥, 𝑦) styczna do wykresu wielomianu 𝑓 w punkcie 𝐴 o pierwszej
współrzędnej równej (-2) przecina ten wykres w punkcie 𝑃= (1, 9).
Wyznacz wzór wielomianu 𝑓.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Zdający:
11.3R) korzysta z geometrycznej i fizycznej
interpretacji pochodnej.
Zasady oceniania (dla sposobów I oraz II)
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od 𝑎, 𝑏, 𝑐:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2 (lub 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)).
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, które wynika z warunków 𝑓(-2) = 0
i 𝑓(1) = 9 oraz 𝑓′(-2) = 3, np. 9 = 1 + 𝑎+ (4𝑎-9) + (4𝑎-10) (dla
sposobu I)
ALBO

\n\n

np. 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0 i 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒) (dla sposobu II),

\n\n

niewiadomymi, które wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9 oraz z warunku
𝑓′(-2) = 3, np.
0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 9 -13 -𝑎⋅12 -𝑏⋅1 oraz
3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏.
2 pkt - wyznaczenie (z warunków 𝑓′(-2) = 3 i 𝑓(-2) = 0) 𝑏 oraz 𝑐 w zależności
od 𝑎: 𝑏= 4𝑎-9 i 𝑐= 4𝑎-10 (dla sposobu I)
ALBO

\n\n

𝑏= 4𝑎-9 i 𝑐= 17 -5𝑎 (dla sposobu I),
ALBO

\n\n

oraz 𝑒, np. 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒) (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

oraz 𝑒, np. 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0 (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

które wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9 oraz 𝑓′(-2) = 3, np.
0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐 oraz 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐 oraz
3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏,
ALBO

\n\n

𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9) 𝑏 w zależności od 𝑎: 𝑏= 𝑎.
1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3 (dla sposobów I oraz II),
ALBO

\n\n

ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

które wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9, np.
0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐 oraz 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla sposobu III)
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od 𝑎, 𝑏, 𝑐:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2 (lub 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)).
3 pkt - wyznaczenie równania stycznej, np. 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+ 2), oraz zapisanie związków
ℎ(-2) = 0 i ℎ′(-2) = 0, oraz przedstawienie wielomianu ℎ w postaci
ℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2
ALBO

\n\n

2 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3 oraz zapisanie związków
ℎ(-2) = 0 i ℎ′(-2) = 0
ALBO

\n\n

w postaci ℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2.
1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wzór wielomianu 𝑓 ma postać 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 przy pewnych 𝑎, 𝑏, 𝑐∈ℝ.
Styczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).
Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=
9 - 0
1 - (-2) = 3.
Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 3.
Obliczając pochodną wielomianu 𝑓, otrzymujemy 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑏.
Zatem 3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏. Stąd 𝑏= 4𝑎-9.
Ponieważ 𝑓(-2) = 0, więc (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0, czyli
-8 + 4𝑎+ (4𝑎-9) ⋅(-2) + 𝑐= 0
𝑐= 4𝑎-10
Ponieważ 𝑓(1) = 9, więc 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐, czyli
9 = 1 + 𝑎+ (4𝑎-9) + (4𝑎-10)
𝑎= 3
Zatem 𝑏= 4 ⋅3 -9 = 3 oraz 𝑐= 4 ⋅3 -10 = 2.
Wielomian 𝑓 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2.
Sposób II
Zapisujemy wzór wielomianu 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒), gdzie 𝑑, 𝑒∈ℝ.
Styczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).
Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=
9 - 0
1 - (-2) = 3.
Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 3.
Obliczając pochodną wielomianu 𝑓, otrzymujemy
𝑓′(𝑥) = 1 ⋅(𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒) + (𝑥+ 2) ⋅(2𝑥+ 𝑑)
Zatem 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0. Stąd 𝑒= 2𝑑-1.
Ponieważ 𝑓(1) = 9, więc 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒), czyli
9 = 3 ⋅(1 + 𝑑+ 2𝑑-1)
𝑑= 1
Zatem 𝑒= 2 ⋅1 -1 = 1.
Wielomian 𝑓 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1).
Sposób III
Niech 𝑦= 𝑔(𝑥) będzie równaniem stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝐴. Niech ℎ
będzie wielomianem trzeciego stopnia określonym następująco: ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) -𝑔(𝑥) dla
każdego 𝑥∈ℝ.
Punkt 𝐴 leży na wykresach funkcji 𝑓 oraz 𝑔, więc 𝑓(-2) = 𝑔(-2), czyli ℎ(-2) = 0.
Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 𝑔′(-2), więc
ℎ′(-2) = 𝑓′(-2) -𝑔′(-2) = 0. Zatem liczba (-2) jest pierwiastkiem podwójnym
wielomianu ℎ, czyli ℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2 przy pewnym 𝑘∈ℝ.
Punkt 𝑃 leży na wykresach funkcji 𝑓 oraz 𝑔, więc 𝑓(1) = 9 i 𝑔(1) = 9. Stąd
ℎ(1) = 𝑓(1) -𝑔(1) = 0. Zatem
ℎ(1) = (1 + 𝑘)(1 + 2)2
0 = (1 + 𝑘) ⋅9
𝑘= -1
czyli ℎ(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥+ 2)2.
Styczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).
Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=
9 - 0
1 - (-2) = 3. Zatem
𝑔(𝑥) = 3(𝑥+ 2).
Wyznaczamy wzór funkcji 𝑓:
𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥+ 2)2 + 3(𝑥+ 2) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 2𝑥-𝑥-2 + 3) =
= (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}