{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym\nciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6).\nCiąg (𝑏𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i 𝑏1 = 𝑎11 oraz\n𝑏2 = 𝑎6.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (𝑏𝑛).\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3R) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 245\n4 .\n4 pkt - obliczenie 𝑏1 oraz 𝑞: 𝑏1 = 35 oraz 𝑞= 3\n7 .\n3 pkt - obliczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛): 𝑟= 4 oraz odrzucenie przypadku 𝑟= -5.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟 (albo 𝑎1), np.\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6),\n𝑎1 + 14 ⋅15 - 𝑎1\n5\n= (𝑎1 + 2 ⋅15 - 𝑎1\n5\n) ⋅(𝑎1 + 7 ⋅15 - 𝑎1\n5\n-6).\n1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑟, np.\n𝑎1 + 14𝑟= (𝑎1 + 2𝑟) ⋅(𝑎1 + 7𝑟-6) i 𝑎1 + 5𝑟= 15.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość 𝑟= -5 bez komentarza.\n2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= -3\n2 i zastosuje wzór na sumę szeregu\ngeometrycznego dla 𝑞= -3\n2 , to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną\nniewiadomą, 1 punkt za obliczenie 𝑞= 3\n7 oraz sumy dla 𝑞= 3\n7 ).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑟 różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), natomiast przez 𝑞 - iloraz ciągu\ngeometrycznego (𝑏𝑛).\nPonieważ 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6), więc stąd i z własności ciągu arytmetycznego\notrzymujemy\n𝑎6 + 9𝑟= (𝑎6 -3𝑟) ⋅(𝑎6 + 2𝑟-6)\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6)\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(2𝑟+ 9)\n6𝑟2 + 6𝑟-120 = 0\n𝑟2 + 𝑟-20 = 0\n𝑟= -5 ∨ 𝑟= 4\nCiąg (𝑎𝑛) jest rosnący, więc 𝑟= 4.\nZatem 𝑏1 = 𝑎6 + 5𝑟= 15 + 5 ⋅4 = 35, 𝑏2 = 15 oraz 𝑞= 𝑏2\n𝑏1\n= 3\n7 .\nPonieważ |3\n7| < 1, więc suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑏𝑛) istnieje i jest równa\n𝑆=\n𝑏1\n1 -𝑞= 35\n1 -\n3\n7\n= 245\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym<br>ciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6).<br>Ciąg (𝑏𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i 𝑏1 = 𝑎11 oraz<br>𝑏2 = 𝑎6.<br>Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (𝑏𝑛).</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>5.3R) rozpoznaje zbieżne szeregi<br>geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 245<br>4 .<br>4 pkt - obliczenie 𝑏1 oraz 𝑞: 𝑏1 = 35 oraz 𝑞= 3<br>7 .<br>3 pkt - obliczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛): 𝑟= 4 oraz odrzucenie przypadku 𝑟= -5.<br>2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟 (albo 𝑎1), np.<br>15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6),<br>𝑎1 + 14 ⋅15 - 𝑎1<br>5<br>= (𝑎1 + 2 ⋅15 - 𝑎1<br>5<br>) ⋅(𝑎1 + 7 ⋅15 - 𝑎1<br>5<br>-6).<br>1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑟, np.<br>𝑎1 + 14𝑟= (𝑎1 + 2𝑟) ⋅(𝑎1 + 7𝑟-6) i 𝑎1 + 5𝑟= 15.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Zdający może odrzucić otrzymaną wartość 𝑟= -5 bez komentarza.</li><li>Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= -3</li></ol>\n<p>2 i zastosuje wzór na sumę szeregu<br>geometrycznego dla 𝑞= -3<br>2 , to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe<br>rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną<br>niewiadomą, 1 punkt za obliczenie 𝑞= 3<br>7 oraz sumy dla 𝑞= 3<br>7 ).<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Oznaczmy przez 𝑟 różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), natomiast przez 𝑞 - iloraz ciągu<br>geometrycznego (𝑏𝑛).<br>Ponieważ 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6), więc stąd i z własności ciągu arytmetycznego<br>otrzymujemy<br>𝑎6 + 9𝑟= (𝑎6 -3𝑟) ⋅(𝑎6 + 2𝑟-6)<br>15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6)<br>15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(2𝑟+ 9)<br>6𝑟2 + 6𝑟-120 = 0<br>𝑟2 + 𝑟-20 = 0<br>𝑟= -5 ∨ 𝑟= 4<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest rosnący, więc 𝑟= 4.<br>Zatem 𝑏1 = 𝑎6 + 5𝑟= 15 + 5 ⋅4 = 35, 𝑏2 = 15 oraz 𝑞= 𝑏2<br>𝑏1<br>= 3<br>7 .<br>Ponieważ |3<br>7| &lt; 1, więc suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑏𝑛) istnieje i jest równa<br>𝑆=<br>𝑏1<br>1 -𝑞= 35<br>1 -<br>3<br>7<br>= 245<br>4<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}