{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach\n𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (-9\n2 , 1). Okrąg 𝒪 przechodzi\nprzez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 tego\nrównoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu 𝒪 jest liczbą ujemną.\nWyznacz równanie okręgu 𝒪.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.5R) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2 […];\n8.6R) wyznacza punkty wspólne prostej\ni okręgu.\nZasady oceniania (dla sposobów I-III)\n6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.\n5 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą - pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝑆,\nnp.:\n[𝑥𝑆-(3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5)]\n2\n+ [-𝑥𝑆-3 -(-6\n5 𝑥𝑆-11\n5 )]\n2\n= 𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2\n(ze związków 𝑟= |𝑆𝑇| oraz 𝑟= |𝑆𝑂|),\n(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆-3 -(-7))\n2 =\n= (3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5 -4)\n2\n+ (-6\n5 𝑥𝑆-11\n5 -(-7))\n2\n+ 𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2\n(ze związków |𝐵𝑆|2 = |𝐵𝑇|2 + 𝑟2 oraz 𝑟= |𝑆𝑂|).\n4 pkt - wyznaczenie równania dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku: 𝑦= -𝑥-3\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 za pomocą jednej niewiadomej, np.\n𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐸: 𝐸= (-2, 5)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych takich punktów 𝑃1 oraz 𝑃2 , że 𝑃1 leży na półprostej 𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑\noraz 𝑃2 leży na półprostej 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ oraz |𝐵𝑃1| = |𝐵𝑃2|,\nALBO\n- obliczenie tangensa kąta 𝛼: tg 𝛼= 1\n3 (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie związku\n|1\n2 𝑥𝑆 + 𝑦𝑆 + 5|\n√(1\n2)\n2\n+12\n= |2𝑥𝑠 + 𝑦𝑆 - 1|\n√22+12\n(dla sposobu III).\n2 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵:\n𝑦= -2𝑥+ 1 oraz |𝐴𝐵| = √180\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 oraz obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶:\n𝑦= -1\n2 𝑥-5 oraz |𝐵𝐶| = √75,\nALBO\n- obliczenie współczynników kierunkowych prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶: 𝑎𝐴𝐵= -1\n2 oraz\n𝑎𝐵𝐶= -2 (dla sposobu II),\nALBO\n- wyznaczenie równań prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶, np. 𝑦= -1\n2 𝑥-5 oraz 𝑦= -2𝑥+ 1\n(dla sposobu III).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐵: 𝐵= (4, -7)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐶: 𝐶= (-1, 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez trójkąt równoramienny)\nŚrodek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.\nZatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory\nna współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:\n𝑥𝐵+ (-13)\n2\n= -9\n2 ∧ 𝑦𝐵+ 9\n2\n= 1\n𝐵= (4, -7)\nStosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:\n-8 + 𝑥𝐶\n2\n= -9\n2 ∧ -1 + 𝑦𝐶\n2\n= 1\n𝐶= (-1, 3)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy |𝐴𝐵|: |𝐴𝐵| = √(4 -(-8))\n2 + (-7 -(-1))\n2 = √180.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3-(-7)\n-1-4 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -2𝑥+ 1.\nNiech 𝐸 będzie punktem na boku 𝐵𝐶 równoległoboku (lub na przedłużeniu tego boku\nw stronę 𝐶) takim, że |𝐵𝐸| = |𝐵𝐴|. Obliczamy współrzędne punktu 𝐸:\n(𝑥-4)2 + (𝑦+ 7)2 = 180 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n(𝑥-4)2 + (-2𝑥+ 7 + 1)2 = 180 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n5𝑥2 -40𝑥-100 = 0 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n(𝑥, 𝑦) = (-2, 5) ∨ (𝑥, 𝑦) = (10, -19)\nPunkt (10, -19) nie spełnia warunku narzuconego na 𝐸 (bowiem 10 > 𝑥𝐵),\nwięc 𝐸= (-2, 5).\nOkrąg 𝒪 jest styczny do prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶, więc jego środek 𝑆 leży na dwusiecznej\nkąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐸 jest równoramienny, więc środek\n𝐹 odcinka 𝐴𝐸 leży na prostej 𝐵𝑆 i odcinek 𝐴𝐸 jest prostopadły do prostej 𝐵𝑆.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐹:\n𝑥𝐹= 𝑥𝐴 + 𝑥𝐸\n2\n= -8 - 2\n2\n= -5 ∧ 𝑦𝐹= 𝑦𝐴 + 𝑦𝐸\n2\n= -1 + 5\n2\n= 2\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n0\n𝑀\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝑆: 𝑦= -7-2\n4-(-5) ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -𝑥-3.\nZatem 𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).\nNiech 𝑇 będzie punktem styczności okręgu 𝒪 z prostą 𝐵𝐶.\nWyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑇: 𝑦= 1\n2 ⋅(𝑥-𝑥𝑆) + (-𝑥𝑆-3).\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝑇:\n𝑦= 1\n2 ⋅(𝑥-𝑥𝑆) + (-𝑥𝑆-3) ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n-2𝑥+ 1 = 1\n2 𝑥-3\n2 𝑥𝑆-3 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n𝑥= 3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5 ∧ 𝑦= -6\n5 𝑥𝑆-11\n5\nczyli 𝑇= (3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5 , -6\n5 𝑥𝑆-11\n5 ).\nOznaczmy przez 𝑟 promień okręgu 𝒪. Ponieważ okrąg przechodzi przez początek układu\nwspółrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2. Jednocześnie\n𝑟= |𝑆𝑇| = √[𝑥𝑆-(3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5)]\n2\n+ [-𝑥𝑆-3 -(-6\n5 𝑥𝑆-11\n5 )]\n2\n= √(2\n5 𝑥𝑆-8\n5)\n2\n+ (1\n5 𝑥𝑆-4\n5)\n2\nwięc\n𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2 = (2\n5 𝑥𝑆-8\n5)\n2\n+ (1\n5 𝑥𝑆-4\n5)\n2\nStąd otrzymujemy\n𝑥𝑆\n2 + (𝑥𝑆+ 3)2 = 4\n25 (𝑥𝑆-4)2 + 1\n25 (𝑥𝑆-4)2\n2𝑥𝑆\n2 + 6𝑥𝑆+ 9 = 1\n5 (𝑥𝑆-4)2\n9𝑥𝑆\n2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0\n𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29\n9\nPonieważ -29\n9 < -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli\n𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.\nOkrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II (poprzez współczynniki kierunkowe)\nŚrodek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.\nZatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory\nna współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:\n𝑥𝐵+ (-13)\n2\n= -9\n2 ∧ 𝑦𝐵+ 9\n2\n= 1\n𝐵= (4, -7)\nStosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:\n-8 + 𝑥𝐶\n2\n= -9\n2 ∧ -1 + 𝑦𝐶\n2\n= 1\n𝐶= (-1, 3)\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -7-(-1)\n4-(-8) = -1\n2 .\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐵𝐶 prostej 𝐵𝐶: 𝑎𝐵𝐶= 3-(-7)\n-1-4 = -2.\nOznaczmy miarę kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku przez 2𝛼. Obliczamy tangens tego kąta,\nkorzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego prostej oraz wzoru na\ntangens różnicy kątów:\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n0\n𝑀\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\ntg(2𝛼) =\n𝑎𝐴𝐵-𝑎𝐵𝐶\n1 + 𝑎𝐴𝐵⋅𝑎𝐵𝐶\ntg(2𝛼) =\n1\n2 -(-2)\n1 + (-\n1\n2) ⋅(-2)\n= 3\n4\nKorzystamy ze wzoru na tangens podwojonego kąta i otrzymujemy\n3\n4 =\n2 tg 𝛼\n1 -tg2 𝛼\n3tg2 𝛼+ 8 tg 𝛼-3 = 0\ntg 𝛼= -8 -10\n6\n= -3 ∨ tg 𝛼= -8 + 10\n6\n= 1\n3\nPonieważ kąt 𝐴𝐵𝐶 równoległobku jest ostry, więc tg 𝛼= 1\n3 .\nOznaczmy środek okręgu 𝒪 przez 𝑆. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐵𝑆 prostej\n𝐵𝑆, korzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego prostej oraz\nwzoru na tangens sumy kątów:\n𝑎𝐵𝑆=\n𝑎𝐵𝐶+ tg 𝛼\n1 -𝑎𝐵𝐶⋅tg 𝛼\n𝑎𝐵𝑆=\n-2 +\n1\n3\n1 -(-2) ⋅\n1\n3\n= -1\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝑆: 𝑦= -1 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -𝑥-3. Zatem\n𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).\nNiech 𝑟 będzie długością promienia okręgu 𝒪. Ponieważ okrąg przechodzi przez początek\nukładu współrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2. Ponadto\n𝑟\n|𝐵𝑆| = sin 𝛼\nwięc\n𝑟\n|𝐵𝑆| =\n1\n√10\n|𝐵𝑆|2 = 𝑟2 ⋅10\n(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆-3 -(-7))\n2 = 𝑟2 ⋅10\n(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆+ 4)2 = [𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2] ⋅10\n18𝑥𝑆\n2 + 76𝑥𝑆+ 58 = 0\n9𝑥𝑆\n2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29\n9\nPonieważ -29\n9 < -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli\n𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.\nOkrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.\nSposób III (z własności dwusiecznej)\nŚrodek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.\nZatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory\nna współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:\n𝑥𝐵+ (-13)\n2\n= -9\n2 ∧ 𝑦𝐵+ 9\n2\n= 1\n𝐵= (4, -7)\nStosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:\n-8 + 𝑥𝐶\n2\n= -9\n2 ∧ -1 + 𝑦𝐶\n2\n= 1\n𝐶= (-1, 3)\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n0\n𝑀\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= -7-(-1)\n4-(-8) ⋅(𝑥+ 8) + (-1), czyli 𝑦= -1\n2 𝑥-5.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3-(-7)\n-1-4 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -2𝑥+ 1.\nNiech 𝑆= (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) będzie środkiem okręgu 𝒪, a 𝑟 - długością promienia okręgu 𝒪.\nPunkt 𝑆 leży na dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷, więc odległość punktu 𝑆\nod prostej 𝐴𝐵 jest równa odległości punktu 𝑆 od prostej 𝐵𝐶. Zatem\n1\n2 𝑥𝑆+ 𝑦𝑆+ 5|\n√(\n1\n2)\n2\n+ 12\n|2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|\n√22 + 12\n|𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10| = |2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|\n𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10 = 2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1 ∨ 𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10 = -2𝑥𝑆-𝑦𝑠+ 1\n𝑦𝑆= 𝑥𝑆-11 ∨ 𝑦𝑆= -𝑥𝑆-3\nPonieważ punkt (0, 0) leży w równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷, a prosta 𝑦= 𝑥-11 ma tylko jeden\npunkt wspólny z równoległobokiem, więc dwusieczna kąta 𝐴𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= -𝑥-3.\nStąd 𝑦𝑆= -𝑥𝑆-3 oraz\n𝑟=\n|2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|\n√22 + 12\n|2𝑥𝑆-𝑥𝑆-3 -1|\n√5\n|𝑥𝑆-4|\n√5\nOkrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2.\nWobec powyższego otrzymujemy\n√𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2 =\n|𝑥𝑆-4|\n√5\n𝑥𝑆\n2 + (𝑥𝑠+ 3)2 =\n(𝑥𝑆-4)2\n5\n9𝑥𝑆\n2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0\n𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29\n9\nPonieważ -29\n9 < -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli\n𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.\nOkrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-6)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach<br>𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (-9<br>2 , 1). Okrąg 𝒪 przechodzi<br>przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 tego<br>równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu 𝒪 jest liczbą ujemną.<br>Wyznacz równanie okręgu 𝒪.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-6)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.5R) posługuje się równaniem okręgu<br>(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2 […];<br>8.6R) wyznacza punkty wspólne prostej<br>i okręgu.<br>Zasady oceniania (dla sposobów I-III)<br>6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.<br>5 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą - pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝑆,<br>np.:<br>[𝑥𝑆-(3<br>5 𝑥𝑆+ 8<br>5)]<br>2</p>\n<ul><li>[-𝑥𝑆-3 -(-6</li></ul>\n<p>5 𝑥𝑆-11<br>5 )]<br>2<br>= 𝑥𝑆<br>2 + (-𝑥𝑆-3)2<br>(ze związków 𝑟= |𝑆𝑇| oraz 𝑟= |𝑆𝑂|),<br>(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆-3 -(-7))<br>2 =<br>= (3<br>5 𝑥𝑆+ 8<br>5 -4)<br>2</p>\n<ul><li>(-6</li></ul>\n<p>5 𝑥𝑆-11<br>5 -(-7))<br>2</p>\n<ul><li>𝑥𝑆</li></ul>\n<p>2 + (-𝑥𝑆-3)2<br>(ze związków |𝐵𝑆|2 = |𝐵𝑇|2 + 𝑟2 oraz 𝑟= |𝑆𝑂|).<br>4 pkt - wyznaczenie równania dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku: 𝑦= -𝑥-3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑆 za pomocą jednej niewiadomej, np.</li></ul>\n<p>𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).<br>3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐸: 𝐸= (-2, 5)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych takich punktów 𝑃1 oraz 𝑃2 , że 𝑃1 leży na półprostej 𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑</li></ul>\n<p>oraz 𝑃2 leży na półprostej 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ oraz |𝐵𝑃1| = |𝐵𝑃2|,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie tangensa kąta 𝛼: tg 𝛼= 1</li></ul>\n<p>3 (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związku</li></ul>\n<p>|1<br>2 𝑥𝑆 + 𝑦𝑆 + 5|<br>√(1<br>2)<br>2<br>+12<br>= |2𝑥𝑠 + 𝑦𝑆 - 1|<br>√22+12<br>(dla sposobu III).<br>2 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑦= -2𝑥+ 1 oraz |𝐴𝐵| = √180<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 oraz obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶:</li></ul>\n<p>𝑦= -1<br>2 𝑥-5 oraz |𝐵𝐶| = √75,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współczynników kierunkowych prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶: 𝑎𝐴𝐵= -1</li></ul>\n<p>2 oraz<br>𝑎𝐵𝐶= -2 (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie równań prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶, np. 𝑦= -1</li></ul>\n<p>2 𝑥-5 oraz 𝑦= -2𝑥+ 1<br>(dla sposobu III).<br>1 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐵: 𝐵= (4, -7)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐶: 𝐶= (-1, 3).</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I (poprzez trójkąt równoramienny)<br>Środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.<br>Zatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory<br>na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:<br>𝑥𝐵+ (-13)<br>2<br>= -9<br>2 ∧ 𝑦𝐵+ 9<br>2<br>= 1<br>𝐵= (4, -7)<br>Stosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:<br>-8 + 𝑥𝐶<br>2<br>= -9<br>2 ∧ -1 + 𝑦𝐶<br>2<br>= 1<br>𝐶= (-1, 3)<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Obliczamy |𝐴𝐵|: |𝐴𝐵| = √(4 -(-8))<br>2 + (-7 -(-1))<br>2 = √180.<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3-(-7)<br>-1-4 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -2𝑥+ 1.<br>Niech 𝐸 będzie punktem na boku 𝐵𝐶 równoległoboku (lub na przedłużeniu tego boku<br>w stronę 𝐶) takim, że |𝐵𝐸| = |𝐵𝐴|. Obliczamy współrzędne punktu 𝐸:<br>(𝑥-4)2 + (𝑦+ 7)2 = 180 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1<br>(𝑥-4)2 + (-2𝑥+ 7 + 1)2 = 180 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1<br>5𝑥2 -40𝑥-100 = 0 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1<br>(𝑥, 𝑦) = (-2, 5) ∨ (𝑥, 𝑦) = (10, -19)<br>Punkt (10, -19) nie spełnia warunku narzuconego na 𝐸 (bowiem 10 &gt; 𝑥𝐵),<br>więc 𝐸= (-2, 5).<br>Okrąg 𝒪 jest styczny do prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶, więc jego środek 𝑆 leży na dwusiecznej<br>kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐸 jest równoramienny, więc środek<br>𝐹 odcinka 𝐴𝐸 leży na prostej 𝐵𝑆 i odcinek 𝐴𝐸 jest prostopadły do prostej 𝐵𝑆.<br>Obliczamy współrzędne punktu 𝐹:<br>𝑥𝐹= 𝑥𝐴 + 𝑥𝐸<br>2<br>= -8 - 2<br>2<br>= -5 ∧ 𝑦𝐹= 𝑦𝐴 + 𝑦𝐸<br>2<br>= -1 + 5<br>2<br>= 2<br>𝑦<br>𝑥<br>1<br>1<br>0<br>𝑀<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝑆: 𝑦= -7-2<br>4-(-5) ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -𝑥-3.<br>Zatem 𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).<br>Niech 𝑇 będzie punktem styczności okręgu 𝒪 z prostą 𝐵𝐶.<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑇: 𝑦= 1<br>2 ⋅(𝑥-𝑥𝑆) + (-𝑥𝑆-3).<br>Wyznaczamy współrzędne punktu 𝑇:<br>𝑦= 1<br>2 ⋅(𝑥-𝑥𝑆) + (-𝑥𝑆-3) ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1<br>-2𝑥+ 1 = 1<br>2 𝑥-3<br>2 𝑥𝑆-3 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1<br>𝑥= 3<br>5 𝑥𝑆+ 8<br>5 ∧ 𝑦= -6<br>5 𝑥𝑆-11<br>5<br>czyli 𝑇= (3<br>5 𝑥𝑆+ 8<br>5 , -6<br>5 𝑥𝑆-11<br>5 ).<br>Oznaczmy przez 𝑟 promień okręgu 𝒪. Ponieważ okrąg przechodzi przez początek układu<br>współrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆<br>2 + (-𝑥𝑆-3)2. Jednocześnie<br>𝑟= |𝑆𝑇| = √[𝑥𝑆-(3<br>5 𝑥𝑆+ 8<br>5)]<br>2</p>\n<ul><li>[-𝑥𝑆-3 -(-6</li></ul>\n<p>5 𝑥𝑆-11<br>5 )]<br>2<br>= √(2<br>5 𝑥𝑆-8<br>5)<br>2</p>\n<ul><li>(1</li></ul>\n<p>5 𝑥𝑆-4<br>5)<br>2<br>więc<br>𝑥𝑆<br>2 + (-𝑥𝑆-3)2 = (2<br>5 𝑥𝑆-8<br>5)<br>2</p>\n<ul><li>(1</li></ul>\n<p>5 𝑥𝑆-4<br>5)<br>2<br>Stąd otrzymujemy<br>𝑥𝑆<br>2 + (𝑥𝑆+ 3)2 = 4<br>25 (𝑥𝑆-4)2 + 1<br>25 (𝑥𝑆-4)2<br>2𝑥𝑆<br>2 + 6𝑥𝑆+ 9 = 1<br>5 (𝑥𝑆-4)2<br>9𝑥𝑆<br>2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0<br>𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29<br>9<br>Ponieważ -29<br>9 &lt; -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli<br>𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.<br>Okrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II (poprzez współczynniki kierunkowe)<br>Środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.<br>Zatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory<br>na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:<br>𝑥𝐵+ (-13)<br>2<br>= -9<br>2 ∧ 𝑦𝐵+ 9<br>2<br>= 1<br>𝐵= (4, -7)<br>Stosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:<br>-8 + 𝑥𝐶<br>2<br>= -9<br>2 ∧ -1 + 𝑦𝐶<br>2<br>= 1<br>𝐶= (-1, 3)<br>Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -7-(-1)<br>4-(-8) = -1<br>2 .<br>Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐵𝐶 prostej 𝐵𝐶: 𝑎𝐵𝐶= 3-(-7)<br>-1-4 = -2.<br>Oznaczmy miarę kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku przez 2𝛼. Obliczamy tangens tego kąta,<br>korzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego prostej oraz wzoru na<br>tangens różnicy kątów:<br>𝑦<br>𝑥<br>1<br>1<br>0<br>𝑀<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>tg(2𝛼) =<br>𝑎𝐴𝐵-𝑎𝐵𝐶<br>1 + 𝑎𝐴𝐵⋅𝑎𝐵𝐶<br>tg(2𝛼) =<br>1<br>2 -(-2)<br>1 + (-<br>1</p>\n<ol><li>⋅(-2)</li></ol>\n<p>= 3<br>4<br>Korzystamy ze wzoru na tangens podwojonego kąta i otrzymujemy<br>3<br>4 =<br>2 tg 𝛼<br>1 -tg2 𝛼<br>3tg2 𝛼+ 8 tg 𝛼-3 = 0<br>tg 𝛼= -8 -10<br>6<br>= -3 ∨ tg 𝛼= -8 + 10<br>6<br>= 1<br>3<br>Ponieważ kąt 𝐴𝐵𝐶 równoległobku jest ostry, więc tg 𝛼= 1<br>3 .<br>Oznaczmy środek okręgu 𝒪 przez 𝑆. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐵𝑆 prostej<br>𝐵𝑆, korzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego prostej oraz<br>wzoru na tangens sumy kątów:<br>𝑎𝐵𝑆=<br>𝑎𝐵𝐶+ tg 𝛼<br>1 -𝑎𝐵𝐶⋅tg 𝛼<br>𝑎𝐵𝑆=<br>-2 +<br>1<br>3<br>1 -(-2) ⋅<br>1<br>3<br>= -1<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝑆: 𝑦= -1 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -𝑥-3. Zatem<br>𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).<br>Niech 𝑟 będzie długością promienia okręgu 𝒪. Ponieważ okrąg przechodzi przez początek<br>układu współrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆<br>2 + (-𝑥𝑆-3)2. Ponadto<br>𝑟<br>|𝐵𝑆| = sin 𝛼<br>więc<br>𝑟<br>|𝐵𝑆| =<br>1<br>√10<br>|𝐵𝑆|2 = 𝑟2 ⋅10<br>(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆-3 -(-7))<br>2 = 𝑟2 ⋅10<br>(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆+ 4)2 = [𝑥𝑆<br>2 + (-𝑥𝑆-3)2] ⋅10<br>18𝑥𝑆<br>2 + 76𝑥𝑆+ 58 = 0<br>9𝑥𝑆<br>2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29<br>9<br>Ponieważ -29<br>9 &lt; -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli<br>𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.<br>Okrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.<br>Sposób III (z własności dwusiecznej)<br>Środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.<br>Zatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory<br>na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:<br>𝑥𝐵+ (-13)<br>2<br>= -9<br>2 ∧ 𝑦𝐵+ 9<br>2<br>= 1<br>𝐵= (4, -7)<br>Stosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:<br>-8 + 𝑥𝐶<br>2<br>= -9<br>2 ∧ -1 + 𝑦𝐶<br>2<br>= 1<br>𝐶= (-1, 3)<br>𝑦<br>𝑥<br>1<br>1<br>0<br>𝑀<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= -7-(-1)<br>4-(-8) ⋅(𝑥+ 8) + (-1), czyli 𝑦= -1<br>2 𝑥-5.<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3-(-7)<br>-1-4 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -2𝑥+ 1.<br>Niech 𝑆= (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) będzie środkiem okręgu 𝒪, a 𝑟 - długością promienia okręgu 𝒪.<br>Punkt 𝑆 leży na dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷, więc odległość punktu 𝑆<br>od prostej 𝐴𝐵 jest równa odległości punktu 𝑆 od prostej 𝐵𝐶. Zatem<br>1<br>2 𝑥𝑆+ 𝑦𝑆+ 5|<br>√(<br>1<br>2)<br>2</p>\n<ul><li>12</li></ul>\n<p>|2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|<br>√22 + 12<br>|𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10| = |2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|<br>𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10 = 2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1 ∨ 𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10 = -2𝑥𝑆-𝑦𝑠+ 1<br>𝑦𝑆= 𝑥𝑆-11 ∨ 𝑦𝑆= -𝑥𝑆-3<br>Ponieważ punkt (0, 0) leży w równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷, a prosta 𝑦= 𝑥-11 ma tylko jeden<br>punkt wspólny z równoległobokiem, więc dwusieczna kąta 𝐴𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= -𝑥-3.<br>Stąd 𝑦𝑆= -𝑥𝑆-3 oraz<br>𝑟=<br>|2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|<br>√22 + 12<br>|2𝑥𝑆-𝑥𝑆-3 -1|<br>√5<br>|𝑥𝑆-4|<br>√5<br>Okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆<br>2 + (-𝑥𝑆-3)2.<br>Wobec powyższego otrzymujemy<br>√𝑥𝑆<br>2 + (-𝑥𝑆-3)2 =<br>|𝑥𝑆-4|<br>√5<br>𝑥𝑆<br>2 + (𝑥𝑠+ 3)2 =<br>(𝑥𝑆-4)2<br>5<br>9𝑥𝑆<br>2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0<br>𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29<br>9<br>Ponieważ -29<br>9 &lt; -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli<br>𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.<br>Okrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}