{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej\nrównym 24√3.\na) Wykaż, że objętość 𝑉 graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy\njest określona wzorem\n𝑉(𝑎) = 6𝑎-1\n8 𝑎3\nb) Objętość 𝑉 graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy jest\nokreślona wzorem\n𝑉(𝑎) = 6𝑎-1\n8 𝑎3\ndla 𝑎∈(0, 4√3).\nWyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego\nobjętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy\ngraniastosłupa, np. 𝐻= 48√3 - 𝑎2 ⋅ √3\n6𝑎\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść b)\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość największą dla 𝑎= 4 oraz\nobliczenie 𝑉(4) = 16.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje\nwartość największą dla 𝑎= 4.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: 𝑎= 4.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(𝑎) = 6 -3\n8 𝑎2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi do części b):\nUwagi:\n1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑉\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑉 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑉 ma maksimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n2. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie\nmiejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz\nobjętości graniastosłupa o największej objętości).\n3. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,\n1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\na)\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy przez 𝐻 jego wysokość.\nPole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe 24√3, więc\n24√3 = 2 ⋅𝑎2 ⋅√3\n4\n+ 3𝑎𝐻\nStąd\n𝐻= 48√3 -𝑎2 ⋅√3\n6𝑎\nZatem objętość 𝑉 graniastosłupa jest równa\n𝑉= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅𝐻= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅48√3 -𝑎2 ⋅√3\n6𝑎\n= 6𝑎-1\n8 𝑎3\nTo należało wykazać.\nb)\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑉 określona wzorem 𝑉(𝑎) = 6𝑎-1\n8 𝑎3 dla\n𝑎∈(0, 4√3) osiąga wartość największą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(𝑎) = 6 -3\n8 𝑎2 dla 𝑎∈(0, 4√3).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(𝑎) = 0\n6 -3\n8 𝑎2 = 0\n𝑎= -4 ∉(0, 4√3) ∨ 𝑎= 4 ∈(0, 4√3)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑉′(𝑎) < 0\n6 -3\n8 𝑎2 < 0 ∧ 𝑎∈(0, 4√3)\n𝑎∈(4, 4√3)\nwięc 𝑉′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(4, 4√3) oraz 𝑉′(ℎ) > 0 dla 𝑎∈(0, 4).\nZatem funkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziale (0, 4] i malejąca w przedziale [4, 4√3).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd funkcja 𝑉 osiąga wartość największą dla 𝑎= 4. Wtedy\n𝑉(4) = 6 ⋅4 -1\n8 ⋅43 = 16","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-6)<br>Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej<br>równym 24√3.<br>a) Wykaż, że objętość 𝑉 graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy<br>jest określona wzorem<br>𝑉(𝑎) = 6𝑎-1<br>8 𝑎3<br>b) Objętość 𝑉 graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy jest<br>określona wzorem<br>𝑉(𝑎) = 6𝑎-1<br>8 𝑎3<br>dla 𝑎∈(0, 4√3).<br>Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego<br>objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-6)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania<br>zagadnień optymalizacyjnych.<br>Zasady oceniania<br>Część a)<br>2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy<br>graniastosłupa, np. 𝐻= 48√3 - 𝑎2 ⋅ √3<br>6𝑎<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Część b)<br>4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość największą dla 𝑎= 4 oraz<br>obliczenie 𝑉(4) = 16.<br>3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje<br>wartość największą dla 𝑎= 4.<br>2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: 𝑎= 4.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(𝑎) = 6 -3<br>8 𝑎2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi do części b):<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla</li></ol>\n<p>wyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy<br>zdający bada znak pochodnej<br>ORAZ:</p>\n<ul><li>opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑉</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑉 ma maksimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jednocześnie jej największa wartość,<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑉 ma maksimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jedyne ekstremum tej funkcji.<br>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres<br>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.<br>znakami „+” i „-”) znak pochodnej.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty</li></ol>\n<p>za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie<br>miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz<br>objętości graniastosłupa o największej objętości).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co</li></ol>\n<p>najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,<br>1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>a)<br>Rozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy przez 𝐻 jego wysokość.<br>Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe 24√3, więc<br>24√3 = 2 ⋅𝑎2 ⋅√3<br>4</p>\n<ul><li>3𝑎𝐻</li></ul>\n<p>Stąd<br>𝐻= 48√3 -𝑎2 ⋅√3<br>6𝑎<br>Zatem objętość 𝑉 graniastosłupa jest równa<br>𝑉= 𝑎2 ⋅√3<br>4<br>⋅𝐻= 𝑎2 ⋅√3<br>4<br>⋅48√3 -𝑎2 ⋅√3<br>6𝑎<br>= 6𝑎-1<br>8 𝑎3<br>To należało wykazać.<br>b)<br>Obliczamy argument, dla którego funkcja 𝑉 określona wzorem 𝑉(𝑎) = 6𝑎-1<br>8 𝑎3 dla<br>𝑎∈(0, 4√3) osiąga wartość największą.<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(𝑎) = 6 -3<br>8 𝑎2 dla 𝑎∈(0, 4√3).<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:<br>𝑉′(𝑎) = 0<br>6 -3<br>8 𝑎2 = 0<br>𝑎= -4 ∉(0, 4√3) ∨ 𝑎= 4 ∈(0, 4√3)<br>Badamy znak pochodnej:<br>𝑉′(𝑎) &lt; 0<br>6 -3<br>8 𝑎2 &lt; 0 ∧ 𝑎∈(0, 4√3)<br>𝑎∈(4, 4√3)<br>więc 𝑉′(𝑎) &lt; 0 dla 𝑎∈(4, 4√3) oraz 𝑉′(ℎ) &gt; 0 dla 𝑎∈(0, 4).<br>Zatem funkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziale (0, 4] i malejąca w przedziale [4, 4√3).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Stąd funkcja 𝑉 osiąga wartość największą dla 𝑎= 4. Wtedy<br>𝑉(4) = 6 ⋅4 -1<br>8 ⋅43 = 16</p>","solutions":[]}