{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWykaż, że jeżeli 𝑎= log2 14 oraz 𝑏= log√2 27, to log7 54 = 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 .\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n1.2R) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania (dla sposobów I-IV)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia\nlog√2 27 + 2\n2log2 14 - 2 lub log7 54, lub obydwu tych wyrażeń do\ntakiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu\nlub logarytm ilorazu, lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub wzoru na\nlogarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego\nmożna otrzymać tezę\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie jednego równania z 𝑎, 𝑏 oraz niewiadomą 𝑥, np.\n(𝑎-1)𝑥= 𝑏\n2 + 1 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 2 w postaci 7\n1\n𝑎 - 1\noraz liczby 27 w postaci 2\n𝑏\n2 (dla sposobu IV).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, lub na\nlogarytm ilorazu, np. log7 54 = log254\nlog2 7 , log7 54 =\nlog√254\nlog√2 7 ,\nlog√2 27 + 2 = log√2(27 ⋅2), 2 log2 14 -2 = 2 log2 (14\n2 )\nALBO\n- zapisanie liczb 7 oraz 27 jako potęg liczby 2: 7 = 2𝑎-1 i 27 = 2\n𝑏\n2 oraz\nzapisanie równania 7𝑥= 54 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 2 w postaci 7\n1\n𝑎 - 1\n(dla sposobu IV).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie log7 54, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,\na następnie wzory na logarytm iloczynu oraz logarytm ilorazu:\nlog7 54 = log2 54\nlog2 7 = log2 27 + log2 2\nlog2 14 -log2 2 =\nlog√2 27\nlog√2 2 + 1\n𝑎-1\n𝑏\n2 + 1\n𝑎-1 = 𝑏+ 2\n2𝑎-2\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy wyrażenie 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 , korzystając z założenia oraz ze wzoru zamianę\npodstawy logarytmu:\n𝑏+ 2\n2𝑎-2 =\nlog√2 27 + 2\n2 log2 14 -2 =\nlog2 27\nlog2 √2 + 2\n2 ⋅(log2 14 -1) = 2 ⋅(log2 27 + 1)\n2 ⋅(log2 14 -1) = log2 27 + 1\nlog2 14 -1\nStąd i ze wzorów na sumę logarytmów, różnicę logarytmów oraz wzoru na zamianę\npodstawy logarytmu otrzymujemy dalej\nlog2 27 + 1\nlog2 14 -1 = log2 27 + log2 2\nlog2 14 -log2 2 = log2 54\nlog2 7 = log7 54\nZatem log7 54 = 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 .\nTo należało wykazać.\nSposób III\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 2𝑎= 14 oraz\n(√2)\n𝑏= 27. Stąd 7 = 2𝑎-1 oraz 27 = 2\n𝑏\n2 .\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 7𝑥= 54. Wtedy\n2(𝑎-1)𝑥= 2 ⋅27\n2(𝑎-1)𝑥= 2 ⋅2\n𝑏\n2\n2(𝑎-1)𝑥= 2\n𝑏\n2 + 1\nStąd\n(𝑎-1)𝑥= 𝑏\n2 + 1\n𝑥=\n𝑏+ 2\n2(𝑎-1)\nZatem log7 54 = 𝑥= 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 .\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 2𝑎= 14 oraz\n(√2)\n𝑏= 27. Stąd 7 = 2𝑎-1, czyli 2 = 7\n1\n𝑎-1\n, oraz 27 = 2\n𝑏\n2 . Zatem\n54 = 27 ⋅2 = 2\n𝑏\n2 ⋅7\n1\n𝑎 - 1\n= 7\n𝑏\n2(𝑎 - 1)\n⋅7\n1\n𝑎 - 1\n= 7\n𝑏\n2(𝑎 - 1) +\n1\n𝑎 - 1\n= 7\n𝑏 + 2\n2𝑎 - 2\nczyli log7 54 = 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 .\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wykaż, że jeżeli 𝑎= log2 14 oraz 𝑏= log√2 27, to log7 54 = 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 .

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
1.2R) stosuje w obliczeniach wzór na
logarytm potęgi oraz wzór na zamianę
podstawy logarytmu.
Zasady oceniania (dla sposobów I-IV)
3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
2 pkt - przekształcenie wyrażenia
log√2 27 + 2
2log2 14 - 2 lub log7 54, lub obydwu tych wyrażeń do
takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu
lub logarytm ilorazu, lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub wzoru na
logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego
można otrzymać tezę
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

(𝑎-1)𝑥= 𝑏
2 + 1 (dla sposobu III),
ALBO

\n\n

1
𝑎 - 1
oraz liczby 27 w postaci 2
𝑏
2 (dla sposobu IV).
1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, lub na
logarytm ilorazu, np. log7 54 = log254
log2 7 , log7 54 =
log√254
log√2 7 ,
log√2 27 + 2 = log√2(27 ⋅2), 2 log2 14 -2 = 2 log2 (14
2 )
ALBO

\n\n

𝑏
2 oraz
zapisanie równania 7𝑥= 54 (dla sposobu III),
ALBO

\n\n

1
𝑎 - 1
(dla sposobu IV).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy wyrażenie log7 54, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,
a następnie wzory na logarytm iloczynu oraz logarytm ilorazu:
log7 54 = log2 54
log2 7 = log2 27 + log2 2
log2 14 -log2 2 =
log√2 27
log√2 2 + 1
𝑎-1
𝑏
2 + 1
𝑎-1 = 𝑏+ 2
2𝑎-2
To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy wyrażenie 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 , korzystając z założenia oraz ze wzoru zamianę
podstawy logarytmu:
𝑏+ 2
2𝑎-2 =
log√2 27 + 2
2 log2 14 -2 =
log2 27
log2 √2 + 2
2 ⋅(log2 14 -1) = 2 ⋅(log2 27 + 1)
2 ⋅(log2 14 -1) = log2 27 + 1
log2 14 -1
Stąd i ze wzorów na sumę logarytmów, różnicę logarytmów oraz wzoru na zamianę
podstawy logarytmu otrzymujemy dalej
log2 27 + 1
log2 14 -1 = log2 27 + log2 2
log2 14 -log2 2 = log2 54
log2 7 = log7 54
Zatem log7 54 = 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 .
To należało wykazać.
Sposób III
Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 2𝑎= 14 oraz
(√2)
𝑏= 27. Stąd 7 = 2𝑎-1 oraz 27 = 2
𝑏
2 .
Oznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 7𝑥= 54. Wtedy
2(𝑎-1)𝑥= 2 ⋅27
2(𝑎-1)𝑥= 2 ⋅2
𝑏
2
2(𝑎-1)𝑥= 2
𝑏
2 + 1
Stąd
(𝑎-1)𝑥= 𝑏
2 + 1
𝑥=
𝑏+ 2
2(𝑎-1)
Zatem log7 54 = 𝑥= 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 .
To należało wykazać.
Sposób IV
Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 2𝑎= 14 oraz
(√2)
𝑏= 27. Stąd 7 = 2𝑎-1, czyli 2 = 7
1
𝑎-1
, oraz 27 = 2
𝑏
2 . Zatem
54 = 27 ⋅2 = 2
𝑏
2 ⋅7
1
𝑎 - 1
= 7
𝑏
2(𝑎 - 1)
⋅7
1
𝑎 - 1
= 7
𝑏
2(𝑎 - 1) +
1
𝑎 - 1
= 7
𝑏 + 2
2𝑎 - 2
czyli log7 54 = 𝑏 + 2
2𝑎 - 2 .
To należało wykazać.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}