{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełniające warunek\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.1R) stosuje wzory Viète’a;\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\n4 pkt - spełnienie następujących trzech warunków:\n1) poprawne rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,\n2) poprawne rozwiązanie warunku Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1}\nLUB\nwyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠𝑥2: 𝑚≠1,\nLUB\nsprawdzenie, że dla 𝑚= 2 są spełnione warunki zadania,\n3) zapisanie poprawnej odpowiedzi: 𝑚= 2.\n3 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz zapisanie równania\nz jedną niewiadomą 𝑚, np. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\nALBO\n- rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,\nALBO\n- zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚,\nnp. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2.\n2 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz przekształcenie warunku\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a, np. 𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\nALBO\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1): (-1) oraz 1 -2𝑚,\noraz zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1.\n1 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1}\nALBO\n- przekształcenie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej\nna bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\nALBO\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1): (-1) oraz 1 -2𝑚.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający przyjmie, że 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 jest równe (𝑥1 + 𝑥2)2 oraz doprowadzi rozwiązanie\nkonsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nRównanie 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko\nwówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1) jest dodatni.\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n(2𝑚)2 -4 ⋅(2𝑚-1) > 0\n4𝑚2 -8𝑚+ 4 > 0\n4(𝑚-1)2 > 0\n𝑚∈(-∞, 1) ∪(1, +∞)\nPrzekształcamy warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskane równanie\nz niewiadomą 𝑚:\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\n4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0\n4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0\n4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0\n(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0\n𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0\n𝑚= 2\nPonieważ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 3𝑚2 + (𝑚-1)2 > 0, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie\nma rozwiązań rzeczywistych.\nZatem warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.\nPonieważ 2 ∈(-∞, 1) ∪(1, +∞), więc warunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.\nSposób II\nZauważamy, że liczba (-1) jest rozwiązaniem równania 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0.\nKorzystając ze wzorów Viète’a, mamy 𝑥1 + 𝑥2 = -2𝑚, czyli -1 + 𝑥2 = -2𝑚, więc\n𝑥2 = 1 -2𝑚. Zatem 𝑥1 ≠𝑥2 gdy 𝑚≠1.\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2:\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(-1)2 + (1 -2𝑚)2] = 3𝑚⋅(-1) ⋅(1 -2𝑚) + 2\n𝑚⋅(1 + 1 -4𝑚+ 4𝑚2) = 6𝑚2 -3𝑚+ 2\n4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0\n4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0\n4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0\n(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0\n𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0\n𝑚= 2\nWyróżnik trójmianu 4𝑚2 -2𝑚+ 1 jest ujemny, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie\nma rozwiązań rzeczywistych.\nZatem warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.\nWarunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-4)<br>Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie<br>𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0<br>ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełniające warunek<br>𝑚(𝑥1<br>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2</li></ol>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>3.1R) stosuje wzory Viète’a;<br>3.2R) rozwiązuje równania i nierówności<br>liniowe i kwadratowe z parametrem.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - spełnienie następujących trzech warunków:</p>\n<ol><li>poprawne rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1</li></ol>\n<p>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,</li><li>poprawne rozwiązanie warunku Δ &gt; 0: 𝑚∈ℝ\\{1}</li></ol>\n<p>LUB<br>wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠𝑥2: 𝑚≠1,<br>LUB<br>sprawdzenie, że dla 𝑚= 2 są spełnione warunki zadania,</p>\n<ol><li>zapisanie poprawnej odpowiedzi: 𝑚= 2.</li></ol>\n<p>3 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ &gt; 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz zapisanie równania<br>z jedną niewiadomą 𝑚, np. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1</li></ul>\n<p>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,</li></ol>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚,</li></ul>\n<p>np. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2.<br>2 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ &gt; 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz przekształcenie warunku<br>𝑚(𝑥1<br>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na bezpośrednie</li></ol>\n<p>zastosowanie wzorów Viète’a, np. 𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.</li></ul>\n<p>𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie pierwiastków trójmianu 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1): (-1) oraz 1 -2𝑚,</li></ul>\n<p>oraz zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1.<br>1 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ &gt; 0: 𝑚∈ℝ\\{1}<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie warunku 𝑚(𝑥1</li></ul>\n<p>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej</li></ol>\n<p>na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.<br>𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie pierwiastków trójmianu 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1): (-1) oraz 1 -2𝑚.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający przyjmie, że 𝑥1<br>2 + 𝑥2<br>2 jest równe (𝑥1 + 𝑥2)2 oraz doprowadzi rozwiązanie<br>konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Równanie 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko<br>wówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1) jest dodatni.<br>Rozwiązujemy warunek Δ &gt; 0:<br>(2𝑚)2 -4 ⋅(2𝑚-1) &gt; 0<br>4𝑚2 -8𝑚+ 4 &gt; 0<br>4(𝑚-1)2 &gt; 0<br>𝑚∈(-∞, 1) ∪(1, +∞)<br>Przekształcamy warunek 𝑚(𝑥1<br>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na</li></ol>\n<p>bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskane równanie<br>z niewiadomą 𝑚:<br>𝑚(𝑥1<br>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2</li></ol>\n<p>𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2<br>𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2<br>4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0<br>4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0<br>4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0<br>(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0<br>𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0<br>𝑚= 2<br>Ponieważ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 3𝑚2 + (𝑚-1)2 &gt; 0, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie<br>ma rozwiązań rzeczywistych.<br>Zatem warunek 𝑚(𝑥1<br>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.</li></ol>\n<p>Ponieważ 2 ∈(-∞, 1) ∪(1, +∞), więc warunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.<br>Sposób II<br>Zauważamy, że liczba (-1) jest rozwiązaniem równania 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0.<br>Korzystając ze wzorów Viète’a, mamy 𝑥1 + 𝑥2 = -2𝑚, czyli -1 + 𝑥2 = -2𝑚, więc<br>𝑥2 = 1 -2𝑚. Zatem 𝑥1 ≠𝑥2 gdy 𝑚≠1.<br>Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek<br>𝑚(𝑥1<br>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2:</li></ol>\n<p>𝑚(𝑥1<br>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2</li></ol>\n<p>𝑚⋅[(-1)2 + (1 -2𝑚)2] = 3𝑚⋅(-1) ⋅(1 -2𝑚) + 2<br>𝑚⋅(1 + 1 -4𝑚+ 4𝑚2) = 6𝑚2 -3𝑚+ 2<br>4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0<br>4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0<br>4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0<br>(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0<br>𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0<br>𝑚= 2<br>Wyróżnik trójmianu 4𝑚2 -2𝑚+ 1 jest ujemny, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie<br>ma rozwiązań rzeczywistych.<br>Zatem warunek 𝑚(𝑥1<br>2 + 𝑥2</p>\n<ol><li>= 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.</li></ol>\n<p>Warunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}