{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\ncos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0\nw przedziale 〈0, 𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.6R) rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 , 5𝜋\n6 .\n3 pkt - rozwiązanie równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze ℝ, np.:\n𝑥= 𝜋\n6 + 𝜋\n3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= -𝜋\n4 + 𝜋\n2 ⋅𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania cos(3𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n6 , 𝜋\n2 , 5𝜋\n6 ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania cos(2𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 3𝜋\n4 ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania 4 cos2 𝑥-2 = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 3𝜋\n4 ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania 2 -4 sin2 𝑥= 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 3𝜋\n4 .\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 do\npostaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest\ncos(3𝑥) = 0, np.:\ncos(3𝑥) = 0 lub 2 cos(2𝑥) cos 𝑥= 0,\ncos(3𝑥) = 0 lub cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0,\ncos(3𝑥) = 0 lub (4 cos2 𝑥-2) cos 𝑥= 0,\nALBO\n- przekształcenie równoważne równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 do\npostaci alternatywy cos(3𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = 0 lub cos 𝑥= 0.\n1 pkt - przekształcenie równoważne równania do postaci 2 cos(3𝑥) cos 𝑥+ 2cos2(3𝑥) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 równoważnie, stosując\nwzory na cosinus sumy oraz cosinus różnicy argumentów:\ncos(3𝑥-𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(3𝑥+ 𝑥) = 0\ncos(3𝑥) cos 𝑥+ sin(3𝑥) sin 𝑥+ 2cos2(3𝑥) + cos(3𝑥) cos 𝑥-sin(3𝑥) sin 𝑥= 0\n2 cos(3𝑥) (cos 𝑥+ cos(3𝑥)) = 0\ncos(3𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0\nRozwiązujemy równanie cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos(3𝑥) = 0\n3𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n6 + 𝜋\n3 ⋅𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋\n6 , 𝜋\n2 , 5𝜋\n6 .\nRozwiązujemy równanie cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0\ncos(3𝑥) = -cos 𝑥\ncos(3𝑥) = cos(𝜋+ 𝑥)\n3𝑥= 𝜋+ 𝑥+ 2𝑘𝜋 ∨ 3𝑥= -𝜋-𝑥+ 2𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -𝜋\n4 + 𝜋\n2 ⋅𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 .\nZatem rozwiązaniami równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋] są\nliczby: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 , 5𝜋\n6 .\nSposób II\nPrzekształcamy równanie cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór\nna sumę cosinusów:\n2 cos (2𝑥+ 4𝑥\n2\n) ⋅cos (2𝑥-4𝑥\n2\n) + 2cos2(3𝑥) = 0\n2 cos(3𝑥) cos(-𝑥) + 2cos2(3𝑥) = 0\n2 cos(3𝑥) (cos 𝑥+ cos(3𝑥)) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncos(3𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0\nRozwiązujemy równanie cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos(3𝑥) = 0\n3𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n6 + 𝜋\n3 ⋅𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋\n6 , 𝜋\n2 , 5𝜋\n6 .\nRozwiązujemy równanie cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0\n2 cos (𝑥+ 3𝑥\n2\n) ⋅cos (𝑥-3𝑥\n2\n) = 0\ncos(2𝑥) ⋅cos(-𝑥) = 0\ncos(2𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥= 0\n2𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n4 + 𝜋\n2 ⋅𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 .\nZatem rozwiązaniami równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋] są\nliczby: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 , 5𝜋\n6 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Rozwiąż równanie
cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0
w przedziale 〈0, 𝜋〉.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
6.6R) rozwiązuje równania i nierówności
trygonometryczne […].
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋
6 , 𝜋
4 , 𝜋
2 , 3𝜋
4 , 5𝜋
6 .
3 pkt - rozwiązanie równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze ℝ, np.:
𝑥= 𝜋
6 + 𝜋
3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= -𝜋
4 + 𝜋
2 ⋅𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ,
ALBO

\n\n

rozwiązanie równania cos(3𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋
6 , 𝜋
2 , 5𝜋
6 ,
ALBO

\n\n

rozwiązanie równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋
4 , 𝜋
2 , 3𝜋
4 ,
ALBO

\n\n

rozwiązanie równania cos(2𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋
4 , 3𝜋
4 ,
ALBO

\n\n

rozwiązanie równania 4 cos2 𝑥-2 = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋
4 , 3𝜋
4 ,
ALBO

\n\n

rozwiązanie równania 2 -4 sin2 𝑥= 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋
4 , 3𝜋
4 .
2 pkt - przekształcenie równoważne równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 do
postaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest
cos(3𝑥) = 0, np.:
cos(3𝑥) = 0 lub 2 cos(2𝑥) cos 𝑥= 0,
cos(3𝑥) = 0 lub cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0,
cos(3𝑥) = 0 lub (4 cos2 𝑥-2) cos 𝑥= 0,
ALBO

\n\n

postaci alternatywy cos(3𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = 0 lub cos 𝑥= 0.
1 pkt - przekształcenie równoważne równania do postaci 2 cos(3𝑥) cos 𝑥+ 2cos2(3𝑥) = 0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy równanie cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 równoważnie, stosując
wzory na cosinus sumy oraz cosinus różnicy argumentów:
cos(3𝑥-𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(3𝑥+ 𝑥) = 0
cos(3𝑥) cos 𝑥+ sin(3𝑥) sin 𝑥+ 2cos2(3𝑥) + cos(3𝑥) cos 𝑥-sin(3𝑥) sin 𝑥= 0
2 cos(3𝑥) (cos 𝑥+ cos(3𝑥)) = 0
cos(3𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0
Rozwiązujemy równanie cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:
cos(3𝑥) = 0
3𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋
𝑥= 𝜋
6 + 𝜋
3 ⋅𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Stąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋
6 , 𝜋
2 , 5𝜋
6 .
Rozwiązujemy równanie cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:
cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0
cos(3𝑥) = -cos 𝑥
cos(3𝑥) = cos(𝜋+ 𝑥)
3𝑥= 𝜋+ 𝑥+ 2𝑘𝜋 ∨ 3𝑥= -𝜋-𝑥+ 2𝑘𝜋
𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -𝜋
4 + 𝜋
2 ⋅𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Stąd otrzymujemy rozwiązania równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋
4 , 𝜋
2 , 3𝜋
4 .
Zatem rozwiązaniami równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋] są
liczby: 𝜋
6 , 𝜋
4 , 𝜋
2 , 3𝜋
4 , 5𝜋
6 .
Sposób II
Przekształcamy równanie cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór
na sumę cosinusów:
2 cos (2𝑥+ 4𝑥
2
) ⋅cos (2𝑥-4𝑥
2
) + 2cos2(3𝑥) = 0
2 cos(3𝑥) cos(-𝑥) + 2cos2(3𝑥) = 0
2 cos(3𝑥) (cos 𝑥+ cos(3𝑥)) = 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
cos(3𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0
Rozwiązujemy równanie cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:
cos(3𝑥) = 0
3𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋
𝑥= 𝜋
6 + 𝜋
3 ⋅𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Stąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋
6 , 𝜋
2 , 5𝜋
6 .
Rozwiązujemy równanie cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:
cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0
2 cos (𝑥+ 3𝑥
2
) ⋅cos (𝑥-3𝑥
2
) = 0
cos(2𝑥) ⋅cos(-𝑥) = 0
cos(2𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥= 0
2𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋
𝑥= 𝜋
4 + 𝜋
2 ⋅𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋
gdzie 𝑘∈ℤ.
Stąd otrzymujemy rozwiązania równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋
4 , 𝜋
2 , 3𝜋
4 .
Zatem rozwiązaniami równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋] są
liczby: 𝜋
6 , 𝜋
4 , 𝜋
2 , 3𝜋
4 , 5𝜋
6 .

","solutions":[]}