{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY VII i VIII\nVI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia liczby plakatów Basi, Marka i Andrzeja, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowe wyniki liczbowe (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów trzech liczb, wśród których jest prawidłowy zestaw\nliczb plakatów (42, 14, 70), prawidłowe obliczenia oraz wskazanie spośród nich\nrozwiązania (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70),\nLUB\n• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,\nMarka i Andrzeja oraz między łączną liczbą plakatów Marka i Andrzeja a liczbą plakatów\nBasi oraz prawidłowy wynik liczbowy (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70).\n2 punkty\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nplakatów Basi lub Marka, lub Andrzeja, np.\n𝑏+ 28 + 𝑏\n3 = 2𝑏 (lub zapisy równoważne)\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,\nMarka i Andrzeja oraz poprawnych zależności między łączną liczbą plakatów Marka\ni Andrzeja a liczbą plakatów Basi.\n1 punkt\n• zapisanie poprawnych wyrażeń algebraicznych tej samej zmiennej, opisujących liczbę\nplakatów Basi, Marka i Andrzeja zgodnie z warunkami zadania, np.\n𝑏 - liczba plakatów Basi\noraz\n𝑏+ 28 - liczba plakatów Andrzeja\noraz\n𝑏\n3 - liczba plakatów Marka (lub zapisy równoważne)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów trzech liczb plakatów (Basi, Marka i Andrzeja),\nwśród których nie ma prawidłowego zestawu liczb plakatów (42, 14, 70),\nLUB\n• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,\nMarka i Andrzeja.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Jeżeli uczeń sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu trzech liczb\nplakatów (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70) oraz\na) nie popełnia błędów rachunkowych, to otrzymuje 1 punkt.\nb) popełnia błędy rachunkowe, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli uczeń w całym rozwiązaniu zadania posługuje się wyłącznie przybliżeniami\nułamków zwykłych, to za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli uczeń zapisuje poprawne wyrażenia algebraiczne tej samej zmiennej opisujące\nliczbę plakatów, ale zamienia ze sobą imiona przyjaciół, doprowadza rozwiązanie zadania\ndo końca\na) bez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.\nb) z błędami rachunkowymi, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\n𝑏 - liczba plakatów Basi\n𝑏+ 28 - liczba plakatów Andrzeja\n𝑏\n3 - liczba plakatów Marka\nZapiszemy równanie wynikające z warunków zadania i obliczymy liczbę plakatów Basi:\n𝑏+ 28 + 𝑏\n3 = 2𝑏\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\n2\n3 𝑏= 28\n𝑏= 42\nObliczymy liczbę plakatów Marka:\n𝑏\n3 = 42\n3 = 14\nObliczymy liczbę plakatów Andrzeja:\n𝑏+ 28 = 42 + 28 = 70\nOdpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.\nII sposób\n𝑎 - liczba plakatów Andrzeja\n𝑎-28 - liczba plakatów Basi\n𝑎-28\n3\n- liczba plakatów Marka\nZapiszemy równanie i obliczymy liczbę plakatów Andrzeja:\n𝑎+ 𝑎-28\n3\n= 2(𝑎-28)\n3𝑎+ 𝑎-28 = 6𝑎-168\n𝑎= 70\nObliczymy liczbę plakatów Basi, a następnie obliczymy liczbę plakatów Marka:\n𝑎-28 = 70 -28 = 42\n𝑎-28\n3\n= 70 -28\n3\n= 14\nOdpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.\nIII sposób\n𝑚 - liczba plakatów Marka\n3𝑚 - liczba plakatów Basi\n3𝑚+ 28 - liczba plakatów Andrzeja\nZapiszemy równanie i obliczymy liczbę plakatów Marka, a następnie liczbę plakatów Basi\ni Andrzeja:\n3𝑚+ 28 + 𝑚= 6𝑚\n2𝑚= 28\n𝑚= 14\n3𝑚= 42\n3𝑚+ 28 = 42 + 28 = 70\nOdpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nIV sposób\nMetoda prób i błędów.\nLiczba plakatów\nBasia\nAndrzej o 28\nwięcej niż\nBasia\nMarek 3\nrazy mniej\nniż Basia\nMarek\ni Andrzej\nłącznie\n2 razy więcej\nniż Basia\nSprawdzenie\n30\n58\n10\n68\n60\n68 ≠60\n36\n64\n12\n76\n72\n76 ≠72\n48\n76\n16\n92\n96\n92 ≠96\n𝟒𝟐\n𝟕𝟎\n𝟏𝟒\n𝟖𝟒\n𝟖𝟒\n𝟖𝟒= 𝟖𝟒\nOdpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.\nV sposób\nSposób graficzny:\nMarek ma 1 część:\nBasia ma 3 części:\nAndrzej ma o 28 plakatów więcej od Basi:\nAndrzej i Marek mają łącznie 2 razy więcej plakatów od Basi:\nStąd wynika, że 28 plakatów stanowią 2 części, czyli 1 część stanowi 14 plakatów.\nZatem Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.","solution":"Niech x oznacza liczbę plakatów Basi. Wtedy Andrzej ma x+28 , a Marek (x)/(3) plakatów.\n\nx+28+(x)/(3)=2x\n\n3x+84+x=6x\n\n84=2x x=42\n\nBasia ma 42 plakaty, Andrzej:\n\n42+28=70\n\nMarek:\n\n42:3=14\n\nOdpowiedź: Andrzej - 70, Basia - 42, Marek - 14 plakatów.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-3)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie modelu matematycznego</li></ol>\n<p>do prostej sytuacji oraz budowanie go<br>w różnych kontekstach, także<br>w kontekście praktycznym.<br>KLASY VII i VIII<br>VI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:</p>\n<ol><li>rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą</li></ol>\n<p>równań pierwszego stopnia z jedną<br>niewiadomą […].<br>Zasady oceniania<br>3 punkty - pełne rozwiązanie<br>• poprawny sposób obliczenia liczby plakatów Basi, Marka i Andrzeja, prawidłowe<br>obliczenia oraz prawidłowe wyniki liczbowe (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70)<br>LUB<br>• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla<br>co najmniej dwóch różnych zestawów trzech liczb, wśród których jest prawidłowy zestaw<br>liczb plakatów (42, 14, 70), prawidłowe obliczenia oraz wskazanie spośród nich<br>rozwiązania (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70),<br>LUB<br>• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,<br>Marka i Andrzeja oraz między łączną liczbą plakatów Marka i Andrzeja a liczbą plakatów<br>Basi oraz prawidłowy wynik liczbowy (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70).<br>2 punkty<br>• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby<br>plakatów Basi lub Marka, lub Andrzeja, np.<br>𝑏+ 28 + 𝑏<br>3 = 2𝑏 (lub zapisy równoważne)<br>LUB<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,<br>Marka i Andrzeja oraz poprawnych zależności między łączną liczbą plakatów Marka<br>i Andrzeja a liczbą plakatów Basi.<br>1 punkt<br>• zapisanie poprawnych wyrażeń algebraicznych tej samej zmiennej, opisujących liczbę<br>plakatów Basi, Marka i Andrzeja zgodnie z warunkami zadania, np.<br>𝑏 - liczba plakatów Basi<br>oraz<br>𝑏+ 28 - liczba plakatów Andrzeja<br>oraz<br>𝑏<br>3 - liczba plakatów Marka (lub zapisy równoważne)<br>LUB<br>• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla<br>co najmniej dwóch różnych zestawów trzech liczb plakatów (Basi, Marka i Andrzeja),<br>wśród których nie ma prawidłowego zestawu liczb plakatów (42, 14, 70),<br>LUB<br>• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,<br>Marka i Andrzeja.<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Jeżeli uczeń sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu trzech liczb</li></ol>\n<p>plakatów (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70) oraz<br>a) nie popełnia błędów rachunkowych, to otrzymuje 1 punkt.<br>b) popełnia błędy rachunkowe, to otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli uczeń w całym rozwiązaniu zadania posługuje się wyłącznie przybliżeniami</li></ol>\n<p>ułamków zwykłych, to za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli uczeń zapisuje poprawne wyrażenia algebraiczne tej samej zmiennej opisujące</li></ol>\n<p>liczbę plakatów, ale zamienia ze sobą imiona przyjaciół, doprowadza rozwiązanie zadania<br>do końca<br>a) bez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.<br>b) z błędami rachunkowymi, to otrzymuje 1 punkt.<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty<br>I sposób<br>𝑏 - liczba plakatów Basi<br>𝑏+ 28 - liczba plakatów Andrzeja<br>𝑏<br>3 - liczba plakatów Marka<br>Zapiszemy równanie wynikające z warunków zadania i obliczymy liczbę plakatów Basi:<br>𝑏+ 28 + 𝑏<br>3 = 2𝑏<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.<br>2<br>3 𝑏= 28<br>𝑏= 42<br>Obliczymy liczbę plakatów Marka:<br>𝑏<br>3 = 42<br>3 = 14<br>Obliczymy liczbę plakatów Andrzeja:<br>𝑏+ 28 = 42 + 28 = 70<br>Odpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.<br>II sposób<br>𝑎 - liczba plakatów Andrzeja<br>𝑎-28 - liczba plakatów Basi<br>𝑎-28<br>3</p>\n<ul><li>liczba plakatów Marka</li></ul>\n<p>Zapiszemy równanie i obliczymy liczbę plakatów Andrzeja:<br>𝑎+ 𝑎-28<br>3<br>= 2(𝑎-28)<br>3𝑎+ 𝑎-28 = 6𝑎-168<br>𝑎= 70<br>Obliczymy liczbę plakatów Basi, a następnie obliczymy liczbę plakatów Marka:<br>𝑎-28 = 70 -28 = 42<br>𝑎-28<br>3<br>= 70 -28<br>3<br>= 14<br>Odpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.<br>III sposób<br>𝑚 - liczba plakatów Marka<br>3𝑚 - liczba plakatów Basi<br>3𝑚+ 28 - liczba plakatów Andrzeja<br>Zapiszemy równanie i obliczymy liczbę plakatów Marka, a następnie liczbę plakatów Basi<br>i Andrzeja:<br>3𝑚+ 28 + 𝑚= 6𝑚<br>2𝑚= 28<br>𝑚= 14<br>3𝑚= 42<br>3𝑚+ 28 = 42 + 28 = 70<br>Odpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>IV sposób<br>Metoda prób i błędów.<br>Liczba plakatów<br>Basia<br>Andrzej o 28<br>więcej niż<br>Basia<br>Marek 3<br>razy mniej<br>niż Basia<br>Marek<br>i Andrzej<br>łącznie<br>2 razy więcej<br>niż Basia<br>Sprawdzenie<br>30<br>58<br>10<br>68<br>60<br>68 ≠60<br>36<br>64<br>12<br>76<br>72<br>76 ≠72<br>48<br>76<br>16<br>92<br>96<br>92 ≠96<br>𝟒𝟐<br>𝟕𝟎<br>𝟏𝟒<br>𝟖𝟒<br>𝟖𝟒<br>𝟖𝟒= 𝟖𝟒<br>Odpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.<br>V sposób<br>Sposób graficzny:<br>Marek ma 1 część:<br>Basia ma 3 części:<br>Andrzej ma o 28 plakatów więcej od Basi:<br>Andrzej i Marek mają łącznie 2 razy więcej plakatów od Basi:<br>Stąd wynika, że 28 plakatów stanowią 2 części, czyli 1 część stanowi 14 plakatów.<br>Zatem Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech x oznacza liczbę plakatów Basi. Wtedy Andrzej ma x+28 , a Marek (x)/(3) plakatów.</p>\n<p>x+28+(x)/(3)=2x</p>\n<p>3x+84+x=6x</p>\n<p>84=2x x=42</p>\n<p>Basia ma 42 plakaty, Andrzej:</p>\n<p>42+28=70</p>\n<p>Marek:</p>\n<p>42:3=14</p>\n<p>Odpowiedź: Andrzej - 70, Basia - 42, Marek - 14 plakatów.</p>"}]}