{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"18","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (0-2)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nVIII. Kąty. Uczeń:\n6) rozpoznaje kąty wierzchołkowe i przyległe\noraz korzysta z ich własności.\nIX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:\n3) stosuje twierdzenie o sumie kątów\nwewnętrznych trójkąta;\n5) zna najważniejsze własności […]\nrównoległoboku i trapezu […].\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n3) korzysta z własności prostych\nrównoległych, w szczególności stosuje\nrówność kątów odpowiadających\ni naprzemianległych.\n28\n28\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia miar trzech kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz zapisanie prawidłowych\nwartości liczbowych (|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°,|∡𝐶𝐷𝐴| = 105°).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia miar dwóch kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷\nLUB\n• ustalenie miar dwóch kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 bez podania sposobu ich obliczenia, np.\nzapisanie na rysunku.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐵𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Wykorzystamy własność, że\nsuma miar kątów wewnętrznych przy jednym ramieniu trapezu jest równa 180°.\n180° -48° = 132°\nObliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐸𝐶𝐷 równoległoboku 𝐴𝐸𝐶𝐷:\n132° -57° = 75°\nKąt wewnętrzny 𝐷𝐴𝐸 (𝐷𝐴𝐵) ma także miarę równą 75°.\nObliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐶𝐷𝐴 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n180° -75° = 105°\nOdpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:\n|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n48°\n57°\n75°\n75°\n105°\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nSuma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, zatem:\n|∡𝐶𝐸𝐵| = 180° -48° -57° = 75°\nSkoro\n|∡𝐶𝐸𝐵| + |∡𝐴𝐸𝐶| = 180°, to |∡𝐴𝐸𝐶| = 180° -75° = 105°\nKąty 𝐴𝐸𝐶 i 𝐶𝐷𝐴 są równe, więc |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.\nSkoro\n|∡𝐶𝐷𝐴| + |∡𝐷𝐴𝐸| = 180°, to |∡𝐷𝐴𝐸| = 180° -105° = 75°.\nKąty 𝐷𝐴𝐸 i 𝐸𝐶𝐷 są równe, więc |∡𝐵𝐶𝐷| = 75° + 57° = 132°.\nOdpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:\n|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.\nIII sposób\nSuma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, zatem:\n|∡𝐶𝐸𝐵| = 180° -48° -57° = 75°\nKąty 𝐶𝐸𝐵 i 𝐸𝐶𝐷 są naprzemianległe, zatem:\n|∡𝐶𝐸𝐵| = |∡𝐸𝐶𝐷| = 75°\nPonadto:\nkąty 𝐸𝐶𝐷 i 𝐷𝐴𝐸 (𝐷𝐴𝐵) są równe, więc\n|∡𝐸𝐶𝐷| = |∡𝐷𝐴𝐸| = 75°\nObliczymy miarę kąta 𝐵𝐶𝐷:\n|∡𝐵𝐶𝐷| = 57° + 75° = 132°\nSkoro\n|∡𝐴𝐸𝐶| + |∡𝐸𝐶𝐷| = 180°, to |∡𝐴𝐸𝐶| = 180° -75° = 105°.\nKąty 𝐴𝐸𝐶 i 𝐶𝐷𝐴 są równe, więc\n|∡𝐶𝐷𝐴| = 105°\nOdpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:\n|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n48°\n57°\n75°\n75°\n105°\n75°\n105°\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.","solution":"W trójkącie EBC :\n\n∠ BEC=180^°-48^°-57^°=75^°\n\nKąty AEC i BEC są przyległe, więc:\n\n∠ AEC=180^°-75^°=105^°\n\nW równoległoboku AECD kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do 180^° .\n\n∠ CDA=105^°, ∠ DAB=180^°-105^°=75^°\n\nW trapezie kąty przy ramieniu BC są dopełniające do 180^° :\n\n∠ BCD=180^°-48^°=132^°\n\nOdpowiedź: 75^°, 132^°, 105^° .","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Własności kątów","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-2)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Używanie prostych, dobrze znanych</li></ol>\n<p>obiektów matematycznych,<br>interpretowanie pojęć matematycznych<br>i operowanie obiektami matematycznymi.<br>KLASY IV-VI<br>VIII. Kąty. Uczeń:</p>\n<ol><li>rozpoznaje kąty wierzchołkowe i przyległe</li></ol>\n<p>oraz korzysta z ich własności.<br>IX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:</p>\n<ol><li>stosuje twierdzenie o sumie kątów</li></ol>\n<p>wewnętrznych trójkąta;</p>\n<ol><li>zna najważniejsze własności […]</li></ol>\n<p>równoległoboku i trapezu […].<br>KLASY VII i VIII<br>VIII. Własności figur geometrycznych na<br>płaszczyźnie. Uczeń:</p>\n<ol><li>korzysta z własności prostych</li></ol>\n<p>równoległych, w szczególności stosuje<br>równość kątów odpowiadających<br>i naprzemianległych.<br>28<br>28<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.<br>Zasady oceniania<br>2 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia miar trzech kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz zapisanie prawidłowych<br>wartości liczbowych (|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°,|∡𝐶𝐷𝐴| = 105°).<br>1 punkt<br>• poprawny sposób obliczenia miar dwóch kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷<br>LUB<br>• ustalenie miar dwóch kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 bez podania sposobu ich obliczenia, np.<br>zapisanie na rysunku.<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty<br>I sposób<br>Obliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐵𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Wykorzystamy własność, że<br>suma miar kątów wewnętrznych przy jednym ramieniu trapezu jest równa 180°.<br>180° -48° = 132°<br>Obliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐸𝐶𝐷 równoległoboku 𝐴𝐸𝐶𝐷:<br>132° -57° = 75°<br>Kąt wewnętrzny 𝐷𝐴𝐸 (𝐷𝐴𝐵) ma także miarę równą 75°.<br>Obliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐶𝐷𝐴 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:<br>180° -75° = 105°<br>Odpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:<br>|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>48°<br>57°<br>75°<br>75°<br>105°<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>II sposób<br>Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, zatem:<br>|∡𝐶𝐸𝐵| = 180° -48° -57° = 75°<br>Skoro<br>|∡𝐶𝐸𝐵| + |∡𝐴𝐸𝐶| = 180°, to |∡𝐴𝐸𝐶| = 180° -75° = 105°<br>Kąty 𝐴𝐸𝐶 i 𝐶𝐷𝐴 są równe, więc |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.<br>Skoro<br>|∡𝐶𝐷𝐴| + |∡𝐷𝐴𝐸| = 180°, to |∡𝐷𝐴𝐸| = 180° -105° = 75°.<br>Kąty 𝐷𝐴𝐸 i 𝐸𝐶𝐷 są równe, więc |∡𝐵𝐶𝐷| = 75° + 57° = 132°.<br>Odpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:<br>|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.<br>III sposób<br>Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, zatem:<br>|∡𝐶𝐸𝐵| = 180° -48° -57° = 75°<br>Kąty 𝐶𝐸𝐵 i 𝐸𝐶𝐷 są naprzemianległe, zatem:<br>|∡𝐶𝐸𝐵| = |∡𝐸𝐶𝐷| = 75°<br>Ponadto:<br>kąty 𝐸𝐶𝐷 i 𝐷𝐴𝐸 (𝐷𝐴𝐵) są równe, więc<br>|∡𝐸𝐶𝐷| = |∡𝐷𝐴𝐸| = 75°<br>Obliczymy miarę kąta 𝐵𝐶𝐷:<br>|∡𝐵𝐶𝐷| = 57° + 75° = 132°<br>Skoro<br>|∡𝐴𝐸𝐶| + |∡𝐸𝐶𝐷| = 180°, to |∡𝐴𝐸𝐶| = 180° -75° = 105°.<br>Kąty 𝐴𝐸𝐶 i 𝐶𝐷𝐴 są równe, więc<br>|∡𝐶𝐷𝐴| = 105°<br>Odpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:<br>|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>48°<br>57°<br>75°<br>75°<br>105°<br>75°<br>105°<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W trójkącie EBC :</p>\n<p>∠ BEC=180^°-48^°-57^°=75^°</p>\n<p>Kąty AEC i BEC są przyległe, więc:</p>\n<p>∠ AEC=180^°-75^°=105^°</p>\n<p>W równoległoboku AECD kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do 180^° .</p>\n<p>∠ CDA=105^°, ∠ DAB=180^°-105^°=75^°</p>\n<p>W trapezie kąty przy ramieniu BC są dopełniające do 180^° :</p>\n<p>∠ BCD=180^°-48^°=132^°</p>\n<p>Odpowiedź: 75^°, 132^°, 105^° .</p>"}]}