{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"19","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-2)","answer":"6 razy","answer_text":"Zadanie 19. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n3) oblicza pola: […] kwadratu, prostokąta, […]\nw sytuacjach praktycznych […].\nXII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n8) oblicza rzeczywistą długość odcinka, gdy\ndana jest jego długość w skali oraz długość\nodcinka w skali, gdy dana jest jego\nrzeczywista długość.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (6 razy)\nLUB\n• ustalenie poprawnych zależności między długościami boków prostokąta a długością boku\nkwadratu oraz ustalenie (na podstawie odpowiednio zwymiarowanych względem siebie\nfigur na rysunku lub na podstawie prawidłowego działania arytmetycznego), że pole dużej\ntablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości\noraz poprawny sposób obliczenia pola dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości\noraz poprawny sposób obliczenia pola małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku\nw skali 1 : 20 oraz poprawny sposób obliczenia pola małej kwadratowej tablicy\nnarysowanej w skali 1 : 20,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku\nw skali 1 : 20 oraz poprawny sposób obliczenia pola dużej prostokątnej tablicy\nnarysowanej w skali 1 : 20,\nLUB\n• poprawny sposób ustalenia zależności między długościami boków prostokąta a długością\nboku kwadratu, np. zapisanie:\n240 ∶60 oraz 90 ∶60\nalbo\n12 ∶3 oraz 4,5 ∶3\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nnarysowanie odpowiednio zwymiarowanych względem siebie figur: kwadratu oraz\nprostokąta, którego długość krótszego boku stanowi 1,5 długości boku kwadratu,\na długość drugiego boku prostokąta jest 4 razy większa od długości boku kwadratu.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Nie ocenia się stosowania jednostki.\n2. Jeżeli uczeń poprawnie obliczy pola obu tablic w wymiarach rzeczywistych albo w skali\n1: 20, a następnie proporcjonalnie zmniejszy lub zwiększy te pola oraz obliczy ich iloraz\nbez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy długość boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:\n3 cm ⋅20 = 60 cm\nObliczymy pole małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:\n𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 60 cm ⋅60 cm = 3 600 cm2\nObliczymy pole dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości:\n𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 240 cm ⋅90 cm = 21 600 cm2\nObliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej\ntablicy:\n𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n= 21 600 cm2\n3 600 cm2 = 6\nOdpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.\nII sposób\nObliczymy długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:\n240 cm ∶20 = 12 cm\n90 cm ∶20 = 4,5 cm\nObliczymy pole dużej prostokątnej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:\n𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 12 cm ⋅4,5 cm = 54 cm2\nObliczymy pole małej kwadratowej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:\n𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 3 cm ⋅3 cm = 9 cm2\nObliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej\ntablicy:\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\n𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n= 𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n= 54 cm2\n9 cm2 = 6\nOdpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.\nIII sposób\nObliczymy długość boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:\n3 cm ⋅20 = 60 cm\nObliczymy stosunek długości boków prostokątnej tablicy do długości boku kwadratowej tablicy:\n240 cm ∶60 cm = 4\n90 cm ∶60 cm = 1,5\nObliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej\ntablicy:\n4 ⋅1,5 = 6\nOdpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.\nIV sposób\nSposób graficzny:\nOdpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.","solution":"1. Zaczynamy od ustalenia wymiarów dużej tablicy. Załóżmy, że ma ona wymiary $10\\text{cm} \\times 5\\text{cm}$.\\n\\n2. Obliczamy pole dużej tablicy. Używamy wzoru na pole prostokąta: $$P = a \\times b$$, gdzie $a$ i $b$ to długości boków. Zatem: $$P_{dużej} = 10\\text{cm} \\times 5\\text{cm} = 50\\text{cm}^2$$.\\n\\n3. Następnie ustalamy wymiary małej tablicy. Przyjmujemy, że ma ona wymiary $5\\text{cm} \\times 2\\text{cm}$.\\n\\n4. Obliczamy pole małej tablicy używając tego samego wzoru: $$P_{małej} = 5\\text{cm} \\times 2\\text{cm} = 10\\text{cm}^2$$.\\n\\n5. Teraz musimy znaleźć stosunek pól dużej tablicy do małej tablicy. Robimy to przy pomocy wzoru: $$\\frac{P_{dużej}}{P_{małej}}$$.\\n\\n6. Podstawiamy obliczone wartości: $$\\frac{P_{dużej}}{P_{małej}} = \\frac{50\\text{cm}^2}{10\\text{cm}^2}$$.\\n\\n7. Upraszczamy to wyrażenie: $$\\frac{50\\text{cm}^2}{10\\text{cm}^2} = 5$$.\\n\\n8. Ostatecznie znajdujemy, że pole dużej tablicy jest 5 razy większe od pola małej tablicy.\\n\\n**Odpowiedź:** 5 razy.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria, Skala","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-2)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie modelu matematycznego</li></ol>\n<p>do prostej sytuacji oraz budowanie go<br>w różnych kontekstach, także<br>w kontekście praktycznym.<br>KLASY IV-VI<br>XI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:</p>\n<ol><li>oblicza pola: […] kwadratu, prostokąta, […]</li></ol>\n<p>w sytuacjach praktycznych […].<br>XII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:</p>\n<ol><li>oblicza rzeczywistą długość odcinka, gdy</li></ol>\n<p>dana jest jego długość w skali oraz długość<br>odcinka w skali, gdy dana jest jego<br>rzeczywista długość.<br>Zasady oceniania<br>2 punkty - pełne rozwiązanie<br>• poprawny sposób obliczenia, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy,<br>prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (6 razy)<br>LUB<br>• ustalenie poprawnych zależności między długościami boków prostokąta a długością boku<br>kwadratu oraz ustalenie (na podstawie odpowiednio zwymiarowanych względem siebie<br>figur na rysunku lub na podstawie prawidłowego działania arytmetycznego), że pole dużej<br>tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.<br>1 punkt<br>• poprawny sposób obliczenia długości boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości<br>oraz poprawny sposób obliczenia pola dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości<br>LUB<br>• poprawny sposób obliczenia długości boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości<br>oraz poprawny sposób obliczenia pola małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości,<br>LUB<br>• poprawny sposób obliczenia długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku<br>w skali 1 : 20 oraz poprawny sposób obliczenia pola małej kwadratowej tablicy<br>narysowanej w skali 1 : 20,<br>LUB<br>• poprawny sposób obliczenia długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku<br>w skali 1 : 20 oraz poprawny sposób obliczenia pola dużej prostokątnej tablicy<br>narysowanej w skali 1 : 20,<br>LUB<br>• poprawny sposób ustalenia zależności między długościami boków prostokąta a długością<br>boku kwadratu, np. zapisanie:<br>240 ∶60 oraz 90 ∶60<br>albo<br>12 ∶3 oraz 4,5 ∶3<br>LUB<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>narysowanie odpowiednio zwymiarowanych względem siebie figur: kwadratu oraz<br>prostokąta, którego długość krótszego boku stanowi 1,5 długości boku kwadratu,<br>a długość drugiego boku prostokąta jest 4 razy większa od długości boku kwadratu.<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Nie ocenia się stosowania jednostki.</li><li>Jeżeli uczeń poprawnie obliczy pola obu tablic w wymiarach rzeczywistych albo w skali</li></ol>\n<p>1: 20, a następnie proporcjonalnie zmniejszy lub zwiększy te pola oraz obliczy ich iloraz<br>bez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty<br>I sposób<br>Obliczymy długość boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:<br>3 cm ⋅20 = 60 cm<br>Obliczymy pole małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:<br>𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 60 cm ⋅60 cm = 3 600 cm2<br>Obliczymy pole dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości:<br>𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 240 cm ⋅90 cm = 21 600 cm2<br>Obliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej<br>tablicy:<br>𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦<br>𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦<br>= 21 600 cm2<br>3 600 cm2 = 6<br>Odpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.<br>II sposób<br>Obliczymy długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:<br>240 cm ∶20 = 12 cm<br>90 cm ∶20 = 4,5 cm<br>Obliczymy pole dużej prostokątnej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:<br>𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 12 cm ⋅4,5 cm = 54 cm2<br>Obliczymy pole małej kwadratowej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:<br>𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 3 cm ⋅3 cm = 9 cm2<br>Obliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej<br>tablicy:<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.<br>𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦<br>𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦<br>= 𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦<br>𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦<br>= 54 cm2<br>9 cm2 = 6<br>Odpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.<br>III sposób<br>Obliczymy długość boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:<br>3 cm ⋅20 = 60 cm<br>Obliczymy stosunek długości boków prostokątnej tablicy do długości boku kwadratowej tablicy:<br>240 cm ∶60 cm = 4<br>90 cm ∶60 cm = 1,5<br>Obliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej<br>tablicy:<br>4 ⋅1,5 = 6<br>Odpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.<br>IV sposób<br>Sposób graficzny:<br>Odpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.</p>","solutions":[{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od ustalenia wymiarów dużej tablicy. Załóżmy, że ma ona wymiary $10\\text{cm} \\times 5\\text{cm}$.\\n\\n2. Obliczamy pole dużej tablicy. Używamy wzoru na pole prostokąta: $$P = a \\times b$$, gdzie $a$ i $b$ to długości boków. Zatem: $$P_{dużej} = 10\\text{cm} \\times 5\\text{cm} = 50\\text{cm}^2$$.\\n\\n3. Następnie ustalamy wymiary małej tablicy. Przyjmujemy, że ma ona wymiary $5\\text{cm} \\times 2\\text{cm}$.\\n\\n4. Obliczamy pole małej tablicy używając tego samego wzoru: $$P_{małej} = 5\\text{cm} \\times 2\\text{cm} = 10\\text{cm}^2$$.\\n\\n5. Teraz musimy znaleźć stosunek pól dużej tablicy do małej tablicy. Robimy to przy pomocy wzoru: $$\\frac{P_{dużej}}{P_{małej}}$$.\\n\\n6. Podstawiamy obliczone wartości: $$\\frac{P_{dużej}}{P_{małej}} = \\frac{50\\text{cm}^2}{10\\text{cm}^2}$$.\\n\\n7. Upraszczamy to wyrażenie: $$\\frac{50\\text{cm}^2}{10\\text{cm}^2} = 5$$.\\n\\n8. Ostatecznie znajdujemy, że pole dużej tablicy jest 5 razy większe od pola małej tablicy.\\n\\n<strong>Odpowiedź:</strong> 5 razy.</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rzeczywisty bok małej tablicy:</p>\n<p>3·20=60 cm</p>\n<p>Pole małej tablicy:</p>\n<p>60^2=3600 cm^2</p>\n<p>Pole dużej tablicy:</p>\n<p>240·90=21600 cm^2</p>\n<p>21600:3600=6</p>\n<p>Odpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe.</p>"}]}