{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)","answer":"105 cm^2","answer_text":"Zadanie 20. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n3) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, […]\nw sytuacjach praktycznych […];\n5) oblicza pola wielokątów metodą podziału na\nmniejsze wielokąty lub uzupełniania do\nwiększych wielokątów […].\nIV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:\n1) opisuje część danej całości za pomocą\nułamka.\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n60 cm\n60 cm\n240 cm\n90 cm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia pola czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy\nwynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (105 cm2).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia pola czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹, np. zapisanie\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 152 -[2 ⋅(15 ∶5)] ⋅15\n2\n-[2 ⋅(15 ∶3)] ⋅15\n2\nalbo\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= [3 ⋅(15 ∶5)] ∙15\n2\n+ (15 ∶3) ⋅15\n2\n,\nalbo\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= (15 + 15 ∶3) · 15\n2\n-[2 ⋅(15 ∶5)] ⋅15\n2\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia, jaką częścią pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest pole\nczworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia pola jednego z trójkątów 𝐴𝐵𝐸, 𝐴𝐷𝐹, 𝐴𝐸𝐶, 𝐴𝐶𝐹, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅15 · 2 ⋅(15 ∶5) lub 𝑃𝐴𝐷𝐹= 1\n2 ⋅15 · 2 ⋅(15 ∶3) lub\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 1\n2 ⋅15 · 3 ⋅(15 ∶5) lub 𝑃𝐴𝐶𝐹= 1\n2 ⋅15 · (15 ∶3)\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia pola jednego z trapezów 𝐴𝐵𝐶𝐹, 𝐴𝐸𝐶𝐷, np. zapisanie\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1\n2 ⋅[15 + (15 ∶3)] · 15 lub 𝑃𝐴𝐸𝐶𝐷= 1\n2 ⋅[15 + (3 ⋅(15 ∶5))] · 15 ,\nLUB\n• poprawny sposób wyznaczenia, jaką częścią pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest pole jednego\nz trójkątów 𝐴𝐵𝐸, 𝐴𝐷𝐹, 𝐴𝐸𝐶, 𝐴𝐶𝐹,\nLUB\n• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i sumy pól\ntrójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹 z uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 152 -1\n2 ⋅15 · |𝐵𝐸| -1\n2 ⋅15 · |𝐷𝐹| (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹 i pola trójkąta 𝐴𝐵𝐸\nz uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 1\n2 ⋅(15 + |𝐹𝐶|) · 15 -1\n2 ⋅15 · |𝐵𝐸| (lub zapisy równoważne),\nLUB\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\n• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest sumą pola trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i pola trójkąta 𝐴𝐶𝐹\nz uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 1\n2 ⋅15 · |𝐸𝐶| + 1\n2 ⋅15 · |𝐶𝐹| (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Brak jednostki lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako\nbłąd rachunkowy.\n2. Nie akceptuje się rozwiązań zadania opartych na pomiarze, np. linijką.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐸:\n|𝐴𝐵| = 15 (cm)\n|𝐵𝐸| = 2 ⋅(15 ∶5) = 6 (cm)\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| · |𝐵𝐸|\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅15 · 6 = 45 (cm2)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐷𝐹:\n|𝐴𝐷| = 15 (cm)\n|𝐷𝐹| = 2 ⋅(15 ∶3) = 10 (cm)\n𝑃𝐴𝐷𝐹= 1\n2 ⋅|𝐴𝐷| · |𝐷𝐹|\n𝑃𝐴𝐷𝐹= 1\n2 ⋅15 · 10 = 75 (cm2)\nZauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i pól trójkątów\n𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐵𝐸-𝑃𝐴𝐷𝐹\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 225 -45 -75 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐶:\n|𝐴𝐵| = 15 (cm)\n|𝐸𝐶| = 3 ⋅(15 ∶5) = 9 (cm)\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 1\n2 ⋅|𝐸𝐶| ⋅|𝐴𝐵|\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 1\n2 ⋅9 · 15 = 67,5 (cm2)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐹:\n|𝐴𝐷| = 15 (cm)\n|𝐶𝐹| = 15 ∶3 = 5 (cm)\n𝑃𝐴𝐶𝐹= 1\n2 ⋅|𝐶𝐹| · |𝐴𝐷|\n𝑃𝐴𝐶𝐹= 1\n2 ⋅5 · 15 = 37,5 (cm2)\nPole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest sumą pól trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐴𝐶𝐹.\nObliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐸𝐶+ 𝑃𝐴𝐶𝐹\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 67,5 + 37,5 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\nIII sposób\nObliczymy, jaką część pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 stanowią\npola trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐴𝐶𝐹. Wykorzystamy fakt, że\nstosunek pól trójkątów o tych samych wysokościach jest\nrówny stosunkowi długości ich podstaw:\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 3\n5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3\n5 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 3\n10 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐶𝐹= 1\n3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n3 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n6 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\nObliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐸𝐶+ 𝑃𝐴𝐶𝐹\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 3\n10 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷+ 1\n6 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 7\n15 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 7\n15 ⋅225 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\nIV sposób\nObliczymy długość podstawy 𝐹𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹:\n|𝐹𝐶| = 15 ∶3 = 5 (cm)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹:\n|𝐴𝐵| = 15 (cm)\n|𝐵𝐶| = 15 (cm)\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1\n2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐹𝐶|) · |𝐵𝐶|\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1\n2 ⋅(15 + 5) · 15 = 150 (cm2)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐸:\n|𝐴𝐵| = 15 (cm)\n|𝐵𝐸| = 2 ⋅(15 ∶5) = 6 (cm)\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| · |𝐵𝐸|\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅15 · 6 = 45 (cm2)\nZauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹 i pola trójkąta\nprostokątnego 𝐴𝐵𝐸:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹-𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 150 -45 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\nV sposób\nObliczymy, jaką część pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 stanową pola trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹.\nWykorzystamy fakt, że stosunek pól trójkątów o tych samych wysokościach jest równy\nstosunkowi długości ich podstaw:\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 2\n5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 2\n5 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n5 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐷𝐹= 2\n3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷= 2\n3 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\nZauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz pól\ntrójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐵𝐸-𝑃𝐴𝐷𝐹\nObliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-1\n5 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 7\n15 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 7\n15 ⋅225 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"1. Zaczynamy od analizy treści zadania, aby zrozumieć, jakie dane mamy i jakie obliczenia musimy wykonać.\\\n\n2. Zapisujemy wzory, które będą potrzebne do rozwiązania. Na przykład, jeżeli mamy do czynienia z obliczaniem pola trójkąta, to używamy wzoru: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$$, gdzie $a$ to podstawa, a $h$ to wysokość.\\\n\n3. Przechodzimy do podstawiania danych. Podstawiamy wartości za zmienne w wzorze. Na przykład, jeżeli mamy $a = 5$ i $h = 3$, to zapisujemy: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 3$$.\\\n\n4. Rozpoczynamy obliczenia. Mnożymy wartości w nawiasie: $$5 \\cdot 3 = 15$$.\\\n\n5. Kontynuujemy obliczenia, teraz mnożymy przez $\\frac{1}{2}$: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot 15 = \\frac{15}{2}$$.\\\n\n6. Upraszczamy wyrażenie, co w tym przypadku jest już w najprostszej formie. Możemy to zapisać jako $P = 7.5$.\\\n\n7. Podsumowując, po wykonaniu wszystkich obliczeń oraz zapisaniu każdego kroku, możemy podać ostateczny wynik.\\\n\n**Odpowiedź:** Pole trójkąta wynosi $P = 7.5$.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 20. (0-3)

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie strategii wynikającej
\n

z treści zadania, tworzenie strategii
rozwiązania problemu, również
w rozwiązaniach wieloetapowych oraz
w takich, które wymagają umiejętności
łączenia wiedzy z różnych działów
matematyki.
KLASY IV-VI
XI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:

\n
  1. oblicza pola: trójkąta, kwadratu, […]
\n

w sytuacjach praktycznych […];

\n
  1. oblicza pola wielokątów metodą podziału na
\n

mniejsze wielokąty lub uzupełniania do
większych wielokątów […].
IV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:

\n
  1. opisuje część danej całości za pomocą
\n

ułamka.
1
2
3
4
5
6
60 cm
60 cm
240 cm
90 cm
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania
3 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia pola czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy
wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (105 cm2).
2 punkty
• poprawny sposób obliczenia pola czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹, np. zapisanie
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 152 -[2 ⋅(15 ∶5)] ⋅15
2
-[2 ⋅(15 ∶3)] ⋅15
2
albo
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= [3 ⋅(15 ∶5)] ∙15
2

\n\n

2
,
albo
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= (15 + 15 ∶3) · 15
2
-[2 ⋅(15 ∶5)] ⋅15
2
LUB
• poprawny sposób obliczenia, jaką częścią pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest pole
czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹.
1 punkt
• poprawny sposób obliczenia pola jednego z trójkątów 𝐴𝐵𝐸, 𝐴𝐷𝐹, 𝐴𝐸𝐶, 𝐴𝐶𝐹, np.
𝑃𝐴𝐵𝐸= 1
2 ⋅15 · 2 ⋅(15 ∶5) lub 𝑃𝐴𝐷𝐹= 1
2 ⋅15 · 2 ⋅(15 ∶3) lub
𝑃𝐴𝐸𝐶= 1
2 ⋅15 · 3 ⋅(15 ∶5) lub 𝑃𝐴𝐶𝐹= 1
2 ⋅15 · (15 ∶3)
LUB
• poprawny sposób obliczenia pola jednego z trapezów 𝐴𝐵𝐶𝐹, 𝐴𝐸𝐶𝐷, np. zapisanie
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1
2 ⋅[15 + (15 ∶3)] · 15 lub 𝑃𝐴𝐸𝐶𝐷= 1
2 ⋅[15 + (3 ⋅(15 ∶5))] · 15 ,
LUB
• poprawny sposób wyznaczenia, jaką częścią pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest pole jednego
z trójkątów 𝐴𝐵𝐸, 𝐴𝐷𝐹, 𝐴𝐸𝐶, 𝐴𝐶𝐹,
LUB
• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i sumy pól
trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹 z uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 152 -1
2 ⋅15 · |𝐵𝐸| -1
2 ⋅15 · |𝐷𝐹| (lub zapisy równoważne),
LUB
• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹 i pola trójkąta 𝐴𝐵𝐸
z uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 1
2 ⋅(15 + |𝐹𝐶|) · 15 -1
2 ⋅15 · |𝐵𝐸| (lub zapisy równoważne),
LUB
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.
• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest sumą pola trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i pola trójkąta 𝐴𝐶𝐹
z uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 1
2 ⋅15 · |𝐸𝐶| + 1
2 ⋅15 · |𝐶𝐹| (lub zapisy równoważne).
0 punktów
rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.
Uwagi

\n
  1. Brak jednostki lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako
\n

błąd rachunkowy.

\n
  1. Nie akceptuje się rozwiązań zadania opartych na pomiarze, np. linijką.
\n

Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty
I sposób
Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐸:
|𝐴𝐵| = 15 (cm)
|𝐵𝐸| = 2 ⋅(15 ∶5) = 6 (cm)
𝑃𝐴𝐵𝐸= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| · |𝐵𝐸|
𝑃𝐴𝐵𝐸= 1
2 ⋅15 · 6 = 45 (cm2)
Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐷𝐹:
|𝐴𝐷| = 15 (cm)
|𝐷𝐹| = 2 ⋅(15 ∶3) = 10 (cm)
𝑃𝐴𝐷𝐹= 1
2 ⋅|𝐴𝐷| · |𝐷𝐹|
𝑃𝐴𝐷𝐹= 1
2 ⋅15 · 10 = 75 (cm2)
Zauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i pól trójkątów
𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹:
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐵𝐸-𝑃𝐴𝐷𝐹
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 225 -45 -75 = 105 (cm2)
Odpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
II sposób
Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐶:
|𝐴𝐵| = 15 (cm)
|𝐸𝐶| = 3 ⋅(15 ∶5) = 9 (cm)
𝑃𝐴𝐸𝐶= 1
2 ⋅|𝐸𝐶| ⋅|𝐴𝐵|
𝑃𝐴𝐸𝐶= 1
2 ⋅9 · 15 = 67,5 (cm2)
Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐹:
|𝐴𝐷| = 15 (cm)
|𝐶𝐹| = 15 ∶3 = 5 (cm)
𝑃𝐴𝐶𝐹= 1
2 ⋅|𝐶𝐹| · |𝐴𝐷|
𝑃𝐴𝐶𝐹= 1
2 ⋅5 · 15 = 37,5 (cm2)
Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest sumą pól trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐴𝐶𝐹.
Obliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐸𝐶+ 𝑃𝐴𝐶𝐹
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 67,5 + 37,5 = 105 (cm2)
Odpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.
III sposób
Obliczymy, jaką część pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 stanowią
pola trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐴𝐶𝐹. Wykorzystamy fakt, że
stosunek pól trójkątów o tych samych wysokościach jest
równy stosunkowi długości ich podstaw:
𝑃𝐴𝐸𝐶= 3
5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3
5 ⋅1
2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 3
10 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐶𝐹= 1
3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷= 1
3 ⋅1
2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
6 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
Obliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐸𝐶+ 𝑃𝐴𝐶𝐹
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 3
10 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷+ 1
6 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 7
15 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 7
15 ⋅225 = 105 (cm2)
Odpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.
IV sposób
Obliczymy długość podstawy 𝐹𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹:
|𝐹𝐶| = 15 ∶3 = 5 (cm)
Obliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹:
|𝐴𝐵| = 15 (cm)
|𝐵𝐶| = 15 (cm)
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1
2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐹𝐶|) · |𝐵𝐶|
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1
2 ⋅(15 + 5) · 15 = 150 (cm2)
Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐸:
|𝐴𝐵| = 15 (cm)
|𝐵𝐸| = 2 ⋅(15 ∶5) = 6 (cm)
𝑃𝐴𝐵𝐸= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| · |𝐵𝐸|
𝑃𝐴𝐵𝐸= 1
2 ⋅15 · 6 = 45 (cm2)
Zauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹 i pola trójkąta
prostokątnego 𝐴𝐵𝐸:
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹-𝑃𝐴𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 150 -45 = 105 (cm2)
Odpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.
V sposób
Obliczymy, jaką część pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 stanową pola trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹.
Wykorzystamy fakt, że stosunek pól trójkątów o tych samych wysokościach jest równy
stosunkowi długości ich podstaw:
𝑃𝐴𝐵𝐸= 2
5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 2
5 ⋅1
2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
5 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐷𝐹= 2
3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷= 2
3 ⋅1
2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
3 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
Zauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz pól
trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹:
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐵𝐸-𝑃𝐴𝐷𝐹
Obliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-1
5 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-1
3 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 7
15 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 7
15 ⋅225 = 105 (cm2)
Odpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od analizy treści zadania, aby zrozumieć, jakie dane mamy i jakie obliczenia musimy wykonać.\\
\n
  1. Zapisujemy wzory, które będą potrzebne do rozwiązania. Na przykład, jeżeli mamy do czynienia z obliczaniem pola trójkąta, to używamy wzoru: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$$, gdzie $a$ to podstawa, a $h$ to wysokość.\\
\n
  1. Przechodzimy do podstawiania danych. Podstawiamy wartości za zmienne w wzorze. Na przykład, jeżeli mamy $a = 5$ i $h = 3$, to zapisujemy: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 3$$.\\
\n
  1. Rozpoczynamy obliczenia. Mnożymy wartości w nawiasie: $$5 \\cdot 3 = 15$$.\\
\n
  1. Kontynuujemy obliczenia, teraz mnożymy przez $\\frac{1}{2}$: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot 15 = \\frac{15}{2}$$.\\
\n
  1. Upraszczamy wyrażenie, co w tym przypadku jest już w najprostszej formie. Możemy to zapisać jako $P = 7.5$.\\
\n
  1. Podsumowując, po wykonaniu wszystkich obliczeń oraz zapisaniu każdego kroku, możemy podać ostateczny wynik.\\
\n

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi $P = 7.5$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Bok kwadratu ma 15 cm. Z podziału boków odczytujemy:

\n

BE=(2)/(5)·15=6 cm, DF=(2)/(3)·15=10 cm

\n

Pole czworokąta AECF obliczymy, odejmując od pola kwadratu pola trójkątów ABE i ADF .

\n

P_ABCD=15^2=225 cm^2

\n

P_ABE=(15·6)/(2)=45 cm^2

\n

P_ADF=(15·10)/(2)=75 cm^2

\n

P_AECF=225-45-75=105 cm^2

\n

Odpowiedź: 105 cm^2 .

"}]}