{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"12.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWyznacz wz贸r funkcji 饾拠 w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.\n12.1.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":"1. Rozpoczynamy od og贸lnej postaci funkcji kwadratowej, kt贸r膮 mo偶emy zapisa膰 jako:\n$$ f(x) = a(x - p)^2 + q $$\ngdzie $(p, q)$ to wierzcho艂ek paraboli.\n\n2. Znamy wierzcho艂ek naszej funkcji, kt贸ry jest dany przez punkt $(3, 6)$, wi臋c wpisujemy to do wzoru:\n$$ f(x) = a(x - 3)^2 + 6 $$\n\n3. Musimy teraz znale藕膰 warto艣膰 parametru $a$. Wiemy, 偶e punkt $(0, 3)$ le偶y na wykresie funkcji, wi臋c:\n$$ f(0) = 3 $$\nPodstawiamy $x = 0$ do wzoru funkcji:\n$$ f(0) = a(0 - 3)^2 + 6 $$\n\n4. Uproszczamy r贸wnanie:\n$$ 3 = a(9) + 6 $$\n$$ 3 = 9a + 6 $$\n\n5. Teraz izolujemy $a$ poprzez odj臋cie $6$ od obu stron r贸wnania:\n$$ 3 - 6 = 9a $$\n$$ -3 = 9a $$\n\n6. Dzielimy przez $9$:\n$$ a = -\\frac{3}{9} $$\n$$ a = -\\frac{1}{3} $$\n\n7. Mamy ju偶 warto艣膰 $a$, wi臋c mo偶emy zapisa膰 nasz膮 funkcj臋 w postaci kanonicznej:\n$$ f(x) = -\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 $$\n\n**Odpowied藕:** $$ f(x) = -\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 $$","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka 路 Matura 路 maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.1. (0-2)
Wyznacz wz贸r funkcji 饾拠 w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
12.1.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100

","solutions":[{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Rozpoczynamy od og贸lnej postaci funkcji kwadratowej, kt贸r膮 mo偶emy zapisa膰 jako:
\n

$$ f(x) = a(x - p)^2 + q $$
gdzie $(p, q)$ to wierzcho艂ek paraboli.

\n
  1. Znamy wierzcho艂ek naszej funkcji, kt贸ry jest dany przez punkt $(3, 6)$, wi臋c wpisujemy to do wzoru:
\n

$$ f(x) = a(x - 3)^2 + 6 $$

\n
  1. Musimy teraz znale藕膰 warto艣膰 parametru $a$. Wiemy, 偶e punkt $(0, 3)$ le偶y na wykresie funkcji, wi臋c:
\n

$$ f(0) = 3 $$
Podstawiamy $x = 0$ do wzoru funkcji:
$$ f(0) = a(0 - 3)^2 + 6 $$

\n
  1. Uproszczamy r贸wnanie:
\n

$$ 3 = a(9) + 6 $$
$$ 3 = 9a + 6 $$

\n
  1. Teraz izolujemy $a$ poprzez odj臋cie $6$ od obu stron r贸wnania:
\n

$$ 3 - 6 = 9a $$
$$ -3 = 9a $$

\n
  1. Dzielimy przez $9$:
\n

$$ a = -\\frac{3}{9} $$
$$ a = -\\frac{1}{3} $$

\n
  1. Mamy ju偶 warto艣膰 $a$, wi臋c mo偶emy zapisa膰 nasz膮 funkcj臋 w postaci kanonicznej:
\n

$$ f(x) = -\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 $$

\n

Odpowied藕: $$ f(x) = -\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 $$

"}]}