{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log3 108 -2log3 2 jest równa\nA. 3\nB. 9\nC. log3 104\nD. 2log3 54\nLiczba log_3 108 - 2log_3 2 jest równa A. 3 B. 9 C. log_3 104 D. 2log_3 54","answer":"A","answer_text":null,"solution":"1. Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które chcemy uprościć:\n$$\\text{Wyrażenie: } \\\\ \\text{ } \\\\ \\\\log_3 108 - 2 \\log_3 2$$\n\n2. Zastosujemy wzór na logarytm potęgi, który mówi, że $a \\log_b c = \\log_b c^a$. Zatem przekształcamy $2 \\log_3 2$:\n$$2 \\log_3 2 = \\log_3 2^2 = \\log_3 4$$\n\n3. Teraz możemy podstawić tę wartość z powrotem do naszego wyrażenia:\n$$\\log_3 108 - \\log_3 4$$\n\n4. Użyjemy wzoru na różnicę logarytmów, który mówi, że $\\log_b a - \\log_b c = \\log_b \\frac{a}{c}$. Zatem:\n$$\\log_3 108 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{108}{4}$$\n\n5. Teraz obliczamy wartość $\\frac{108}{4}$:\n$$\\frac{108}{4} = 27$$\n\n6. Wstawiamy tę wartość do naszego logarytmu:\n$$\\log_3 \\frac{108}{4} = \\log_3 27$$\n\n7. Znamy również, że $27 = 3^3$. Możemy to wykorzystać do przekształcenia logarytmu:\n$$\\log_3 27 = \\log_3 3^3$$\n\n8. Znowu stosujemy wzór na logarytm potęgi:\n$$\\log_3 3^3 = 3$$\n\n9. Podsumowując, otrzymaliśmy:\n$$\\log_3 108 - 2 \\log_3 2 = 3$$\n\n**Odpowiedź:** 3","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba log3 108 -2log3 2 jest równa
A. 3
B. 9
C. log3 104
D. 2log3 54
Liczba log_3 108 - 2log_3 2 jest równa A. 3 B. 9 C. log_3 104 D. 2log_3 54

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które chcemy uprościć:
\n

$$\\text{Wyrażenie: } \\\\ \\text{ } \\\\ \\\\log_3 108 - 2 \\log_3 2$$

\n
  1. Zastosujemy wzór na logarytm potęgi, który mówi, że $a \\log_b c = \\log_b c^a$. Zatem przekształcamy $2 \\log_3 2$:
\n

$$2 \\log_3 2 = \\log_3 2^2 = \\log_3 4$$

\n
  1. Teraz możemy podstawić tę wartość z powrotem do naszego wyrażenia:
\n

$$\\log_3 108 - \\log_3 4$$

\n
  1. Użyjemy wzoru na różnicę logarytmów, który mówi, że $\\log_b a - \\log_b c = \\log_b \\frac{a}{c}$. Zatem:
\n

$$\\log_3 108 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{108}{4}$$

\n
  1. Teraz obliczamy wartość $\\frac{108}{4}$:
\n

$$\\frac{108}{4} = 27$$

\n
  1. Wstawiamy tę wartość do naszego logarytmu:
\n

$$\\log_3 \\frac{108}{4} = \\log_3 27$$

\n
  1. Znamy również, że $27 = 3^3$. Możemy to wykorzystać do przekształcenia logarytmu:
\n

$$\\log_3 27 = \\log_3 3^3$$

\n
  1. Znowu stosujemy wzór na logarytm potęgi:
\n

$$\\log_3 3^3 = 3$$

\n
  1. Podsumowując, otrzymaliśmy:
\n

$$\\log_3 108 - 2 \\log_3 2 = 3$$

\n

Odpowiedź: 3

"}]}