{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nW warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji\npewnego gatunku bakterii. Liczebność 𝑁 populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie\nz zależnością wykładniczą\n𝑁(𝑡) = 𝑁0 ⋅𝑘𝑡 dla 𝑡≥0\ngdzie:\n𝑁0 - liczebność populacji w chwili 𝑡= 0 rozpoczęcia obserwacji,\n𝑘 - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków\nprzeprowadzenia obserwacji,\n𝑡 - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili 𝑡= 0 rozpoczęcia obserwacji.\nW chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10 000, a po dwóch\ngodzinach była równa 15 625.\nOblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny.\nZapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nW warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność N populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą N(t) = N_0⋅k^t dla t≥0 gdzie: N_0 - liczebność populacji w chwili t=0 rozpoczęcia obserwacji, k - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, t - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili t=0 rozpoczęcia obserwacji. W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10000, a po dwóch godzinach była równa 15624. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.14) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną […] do opisu i interpretacji\nzagadnień związanych z zastosowaniami\npraktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 25%.\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, np. 15 625 = 10 000 ⋅𝑘2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający odgadnie wynik i sprawdzi, że wartość 25% spełnia warunki zadania oraz\nuzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie (np. powołując się na to, że funkcja wykładnicza jest\nrosnąca), to otrzymuje 2 punkty; natomiast jeżeli takiego uzasadnienia nie przedstawi, to\notrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunków zadania 𝑁(0) = 10 000, więc 10 000 = 𝑁0 ⋅𝑘0 i stąd 𝑁0 = 10 000.\nPonieważ 𝑁(2) = 15 625, więc 15 625 = 10 000 ⋅𝑘2 i stąd 𝑘= 1,25. Zatem\n𝑁(𝑡+ 1)\n𝑁(𝑡)\n= 𝑁0 ⋅𝑘𝑡+1\n𝑁0 ⋅𝑘𝑡= 𝑘= 1,25\ndla każdego 𝑡≥0. To oznacza, że w ciągu każdej godziny liczebność populacji zwiększała\nsię o 25% .\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: Wzrost o **25%** w ciągu każdej godziny ($k = 1{,}25$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nW modelu $N(t) = N_0 \\cdot k^t$ stała $k$ to mnożnik godzinny — każda godzina mnoży liczebność przez $k$. Wzrost procentowy to $(k - 1) \\cdot 100\\%$.\n\nZ warunku po dwóch godzinach wyznaczymy $k^2$, potem $k$ (przez pierwiastek).\n\nZapisz warunek $N(2) = 15\\,625$:\n\n$$10\\,000 \\cdot k^2 = 15\\,625$$\n\n$$k^2 = \\frac{15\\,625}{10\\,000} = \\frac{15625}{10000} = 1{,}5625$$\n\nOblicz $k$. Skoro $k$ jest dodatnia (z założeń modelu):\n\n$$k = \\sqrt{1{,}5625} = 1{,}25$$\n\n(bo $1{,}25^2 = 1{,}5625$).\n\nPrzelicz na wzrost procentowy.\n\n$$k - 1 = 1{,}25 - 1 = 0{,}25 = 25\\%$$\n\nSprawdzenie\n\nStart: $10\\,000$.\n\n- Po 1 h: $10\\,000 \\cdot 1{,}25 = 12\\,500$\n- Po 2 h: $12\\,500 \\cdot 1{,}25 = 15\\,625$ ✓\n\nIdealne dopasowanie.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — obliczenie $k^2 = 1{,}5625$ ALBO $k = 1{,}25$.\n- 2 pkt — pełna metoda + wynik $25\\%$.\n\nKlucz — modele wykładnicze na rozszerzonej\n\nW zadaniach typu „wzrost wykładniczy ze stałym mnożnikiem\":\n\n1. Zapisz model: $N(t) = N_0 \\cdot k^t$.\n2. Wyznacz $k^T$ z warunku w czasie $T$ (zwykle 2, 5, 10 godzin).\n3. Pierwiastek $T$-ego stopnia daje $k$ — mnożnik za jednostkę czasu.\n4. Procent wzrostu to $(k - 1) \\cdot 100\\%$.\n\nCzas trwania, w jakim podany jest warunek, ma znaczenie. Pisz wszystkie podstawienia explicite, żeby nie zgubić indeksu.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to obliczenie $k^2 = 1{,}5625$ i wpisanie \"wzrost o 56,25%\" (czyli $k^2 - 1$ jako procent). To wzrost przez **dwie godziny**, nie przez jedną. Trzeba wziąć $\\sqrt{k^2} = k$ i obliczyć $k - 1 = 0{,}25$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcja wykładnicza, procent składany, wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-2)
W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji
pewnego gatunku bakterii. Liczebność 𝑁 populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie
z zależnością wykładniczą
𝑁(𝑡) = 𝑁0 ⋅𝑘𝑡 dla 𝑡≥0
gdzie:
𝑁0 - liczebność populacji w chwili 𝑡= 0 rozpoczęcia obserwacji,
𝑘 - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków
przeprowadzenia obserwacji,
𝑡 - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili 𝑡= 0 rozpoczęcia obserwacji.
W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10 000, a po dwóch
godzinach była równa 15 625.
Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny.
Zapisz obliczenia.
1.
0-1-2

\n

MMAP-R0_100
W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność N populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą N(t) = N_0⋅k^t dla t≥0 gdzie: N_0 - liczebność populacji w chwili t=0 rozpoczęcia obserwacji, k - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, t - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili t=0 rozpoczęcia obserwacji. W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10000, a po dwóch godzinach była równa 15624. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-2)
Wymagania określone w podstawie programowej1
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.14) posługuje się funkcjami wykładniczą
i logarytmiczną […] do opisu i interpretacji
zagadnień związanych z zastosowaniami
praktycznymi.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 25%.
1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, np. 15 625 = 10 000 ⋅𝑘2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający odgadnie wynik i sprawdzi, że wartość 25% spełnia warunki zadania oraz
uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie (np. powołując się na to, że funkcja wykładnicza jest
rosnąca), to otrzymuje 2 punkty; natomiast jeżeli takiego uzasadnienia nie przedstawi, to
otrzymuje 1 punkt.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Z warunków zadania 𝑁(0) = 10 000, więc 10 000 = 𝑁0 ⋅𝑘0 i stąd 𝑁0 = 10 000.
Ponieważ 𝑁(2) = 15 625, więc 15 625 = 10 000 ⋅𝑘2 i stąd 𝑘= 1,25. Zatem
𝑁(𝑡+ 1)
𝑁(𝑡)
= 𝑁0 ⋅𝑘𝑡+1
𝑁0 ⋅𝑘𝑡= 𝑘= 1,25
dla każdego 𝑡≥0. To oznacza, że w ciągu każdej godziny liczebność populacji zwiększała
się o 25% .
1Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy
programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia
(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Wzrost o 25% w ciągu każdej godziny ($k = 1{,}25$).

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Strategia

\n

W modelu $N(t) = N_0 \\cdot k^t$ stała $k$ to mnożnik godzinny — każda godzina mnoży liczebność przez $k$. Wzrost procentowy to $(k - 1) \\cdot 100\\%$.

\n

Z warunku po dwóch godzinach wyznaczymy $k^2$, potem $k$ (przez pierwiastek).

\n

Zapisz warunek $N(2) = 15\\,625$:

\n

$$10\\,000 \\cdot k^2 = 15\\,625$$

\n

$$k^2 = \\frac{15\\,625}{10\\,000} = \\frac{15625}{10000} = 1{,}5625$$

\n

Oblicz $k$. Skoro $k$ jest dodatnia (z założeń modelu):

\n

$$k = \\sqrt{1{,}5625} = 1{,}25$$

\n

(bo $1{,}25^2 = 1{,}5625$).

\n

Przelicz na wzrost procentowy.

\n

$$k - 1 = 1{,}25 - 1 = 0{,}25 = 25\\%$$

\n

Sprawdzenie

\n

Start: $10\\,000$.

\n\n

Idealne dopasowanie.

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz — modele wykładnicze na rozszerzonej

\n

W zadaniach typu „wzrost wykładniczy ze stałym mnożnikiem":

\n
  1. Zapisz model: $N(t) = N_0 \\cdot k^t$.
  2. Wyznacz $k^T$ z warunku w czasie $T$ (zwykle 2, 5, 10 godzin).
  3. Pierwiastek $T$-ego stopnia daje $k$ — mnożnik za jednostkę czasu.
  4. Procent wzrostu to $(k - 1) \\cdot 100\\%$.
\n

Czas trwania, w jakim podany jest warunek, ma znaczenie. Pisz wszystkie podstawienia explicite, żeby nie zgubić indeksu.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to obliczenie $k^2 = 1{,}5625$ i wpisanie "wzrost o 56,25%" (czyli $k^2 - 1$ jako procent). To wzrost przez dwie godziny, nie przez jedną. Trzeba wziąć $\\sqrt{k^2} = k$ i obliczyć $k - 1 = 0{,}25$.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 25%

\n

Liczebność populacji wzrastała o 25% w ciągu każdej godziny.

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie stałej k z równania

\n

Krok 1: Podstawiamy dane do wzoru.

\n

Wiemy, że \\(N_0 = 10\\,000\\) oraz \\(N(2) = 15\\,625\\). Podstawiamy do wzoru \\(N(t) = N_0 \\cdot k^t\\):

\n

\\[N(2) = 10\\,000 \\cdot k^2 = 15\\,625\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy \\(k^2\\).

\n

\\[k^2 = \\frac{15\\,625}{10\\,000} = \\frac{15625}{10000}\\]

\n

Upraszczamy ułamek. Zauważamy, że \\(15\\,625 = 5^6\\) i \\(10\\,000 = 10^4 = 2^4 \\cdot 5^4\\), więc:

\n

\\[k^2 = \\frac{5^6}{2^4 \\cdot 5^4} = \\frac{5^2}{2^4} = \\frac{25}{16}\\]

\n

Krok 3: Wyznaczamy \\(k\\).

\n

Ponieważ \\(k > 0\\) (stała dodatnia):

\n

\\[k = \\sqrt{\\frac{25}{16}} = \\frac{5}{4} = 1{,}25\\]

\n

Krok 4: Interpretacja wyniku.

\n

Wzór \\(N(t) = N_0 \\cdot k^t = N_0 \\cdot (1{,}25)^t\\) oznacza, że co godzinę liczebność jest mnożona przez \\(1{,}25\\), czyli rośnie o:

\n

\\[(1{,}25 - 1) \\cdot 100\\% = 0{,}25 \\cdot 100\\% = \\mathbf{25\\%}\\]

\n

Sposób 2 - Przez procent składany (wzór na wzrost wykładniczy)

\n

Wzrost wykładniczy można interpretować jak procent składany: jeśli co godzinę liczebność wzrasta o \\(p\\%\\), to po \\(t\\) godzinach:

\n

\\[N(t) = N_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^t\\]

\n

Porównując ze wzorem \\(N(t) = N_0 \\cdot k^t\\), widzimy że \\(k = 1 + \\frac{p}{100}\\).

\n

Podstawiamy warunek po 2 godzinach:

\n

\\[N_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^2 = 15\\,625\\]
\\[10\\,000 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^2 = 15\\,625\\]
\\[\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^2 = \\frac{15\\,625}{10\\,000} = \\frac{25}{16}\\]
\\[1 + \\frac{p}{100} = \\frac{5}{4}\\]
\\[\\frac{p}{100} = \\frac{5}{4} - 1 = \\frac{1}{4}\\]
\\[\\mathbf{p = 25}\\]

\n

Populacja wzrastała o 25% na godzinę.

\n

Weryfikacja: \\(N(2) = 10\\,000 \\cdot (1{,}25)^2 = 10\\,000 \\cdot \\frac{25}{16} \\cdot \\frac{25}{16}\\) Poczekaj, sprawdzamy inaczej:

\n

\\[(1{,}25)^2 = 1{,}5625\\]
\\[N(2) = 10\\,000 \\cdot 1{,}5625 = 15\\,625 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - procent składany:
\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]
Wzór ten opisuje dokładnie ten sam mechanizm co \\(N(t) = N_0 \\cdot k^t\\) - wzrost wykładniczy z mnożnikiem \\(k = 1 + \\frac{p}{100}\\). Użyliśmy go w Sposobie 2 do bezpośredniego wyznaczenia \\(p\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - pierwiastek z ułamka:
\\[\\sqrt{\\frac{a}{b}} = \\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 przy obliczaniu \\(k = \\sqrt{\\frac{25}{16}} = \\frac{5}{4}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o procent wzrostu na godzinę - odpowiedzią jest \\(25\\%\\), nie \\(k = 1{,}25\\). Uczeń musi odjąć 1 (lub 100%) od wartości \\(k\\), żeby otrzymać procentowy przyrost.
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\(\\frac{15\\,625}{10\\,000}\\) łatwo się pomylić w obliczeniach. Warto zapisać \\(15\\,625 = 125^2 = (5^3)^2 = 5^6\\) i \\(10\\,000 = 100^2 = (10^2)^2\\), co ułatwia wyciąganie pierwiastka.
\n
⚠️ Uwaga: Ponieważ \\(k > 0\\) (warunek zadania), przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego bierzemy tylko rozwiązanie dodatnie: \\(k = \\frac{5}{4}\\), nie \\(k = -\\frac{5}{4}\\).
\n
Sposób I (bezpośredni z definicji wzrostu wykładniczego)
\n

Krok 1: Wyznaczenie \\(N_{0}\\) i \\(k\\).
Z warunku \\(N(0)=10\\,000\\) mamy \\(N_{0}\\cdot k^{0}=N_{0}=10\\,000\\).
Z warunku \\(N(2)=15\\,625\\) mamy: \\(10\\,000\\cdot k^{2}=15\\,625\\), stąd \\(k^{2}=\\dfrac{15\\,625}{10\\,000}=1{,}5625\\), więc \\(k=\\sqrt{1{,}5625}=1{,}25\\) (bierzemy wartość dodatnią, bo \\(k>0\\)).

\n

Krok 2: Procentowy wzrost w ciągu jednej godziny.
Badamy stosunek kolejnych wartości:
\\[\\frac{N(t+1)}{N(t)}=\\frac{N_{0}\\cdot k^{t+1}}{N_{0}\\cdot k^{t}}=k=1{,}25\\]
dla każdego \\(t\\geq 0\\). Oznacza to, że liczebność w ciągu każdej godziny jest mnożona przez \\(1{,}25\\), czyli zwiększa się o \\(25\\%\\).

\n
Sposób II (przez różnicę względną)
\n

Procentowy wzrost w godzinie \\(t\\to t+1\\) to:
\\[p=\\frac{N(t+1)-N(t)}{N(t)}\\cdot 100\\% = \\frac{N_{0}k^{t}(k-1)}{N_{0}k^{t}}\\cdot 100\\% = (k-1)\\cdot 100\\%\\]
Podstawiając \\(k=1{,}25\\) otrzymujemy \\(p=0{,}25\\cdot 100\\%=25\\%\\). Wzrost w ciągu każdej godziny jest taki sam, bo funkcja wykładnicza ma stały procentowy przyrost.

\n
Karta wzorów CKE
\n

Zadanie wykorzystuje: funkcja wykładnicza \\(a^{t}\\) oraz pierwiastek kwadratowy. W karcie wzorów EM2023 - potęgi i pierwiastki (str. 4).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Dla funkcji \\(N(t)=N_{0}k^{t}\\) procentowy wzrost w każdej jednostce czasu to zawsze \\((k-1)\\cdot 100\\%\\). Wystarczy obliczyć \\(k\\) - i gotowe, bez rozwiązywania dla konkretnego \\(t\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$25\\%$

"}]}