{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-6)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥, gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą różną od 2.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa\nmiejsca zerowe 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐 tego samego znaku, które spełniają warunek\n(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐≤𝟏𝟖𝟎\nZapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5-6\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = (2-m)x² - 2(2m+1)x + m + 8 dla każdej liczby rzeczywistej x, gdzie m jest liczbą rzeczywistą różną od 2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe x_1 oraz x_2 tego samego znaku, które spełniają warunek (x_1-x_2)² ≤ 180. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami\n[…].\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których miejsca zerowe\nfunkcji 𝑓 są tego samego znaku. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n1 punkt.\n1 pkt - zapisanie i poprawne rozwiązanie nierówności 𝑚 + 8\n2 - 𝑚> 0: 𝑚∈(-8, 2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za trzeci etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180: 𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, np.\n[2(2𝑚 + 1)\n2 - 𝑚\n]\n2\n-4 ⋅𝑚 + 8\n2 - 𝑚≤180\n1 pkt - przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1𝑥2 ≤180\nALBO\n- przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci Δ\n𝑎2 ≤180 (lub\n𝑏2- 4𝑎𝑐\n𝑎2\n≤180).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzwarty etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki: 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2) oraz\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞):\n𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2)\noraz 𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞): 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-III popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,\nto za IV etap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I-III nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-III\ni warunku 𝑚≠2, to za IV etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory\nrozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb\nrzeczywistych, to za IV etap otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w III etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚 + 8\n2 - 𝑚 lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 2(2𝑚 + 1)\n2 - 𝑚\n, lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za III etap może\notrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów\nViète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap\notrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co\nnajwyżej 1 punkt za I etap, co najwyżej 1 punkt za II etap i co najwyżej 3 punkty za III\netap).\n5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem\nrachunkowym, ale otrzyma nierówność postaci (𝑥1 + 𝑥2)2 + 𝑘⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180, gdzie\n𝑘≠-4, to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne\nzastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do\nkońca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wówczas, gdy 2 -𝑚≠0 i wyróżnik Δ\ntrójmianu (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8 jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:\n[-2(2𝑚+ 1)]2 -4 ⋅(2 -𝑚)(𝑚+ 8) > 0\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 > 0\n20𝑚2 + 40𝑚-60 > 0\n20(𝑚-1)(𝑚+ 3) > 0\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\nMiejsca zerowe funkcji 𝑓 mają ten sam znak tylko wtedy, gdy 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0. Rozwiązujemy tę\nnierówność, korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑚+ 8\n2 -𝑚> 0\n(𝑚+ 8)(2 -𝑚) > 0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-8, 2)\nPrzekształcamy warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność z niewiadomą 𝑚:\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -4 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180\n[-2(2𝑚+ 1)\n2 -𝑚\n]\n2\n-4 ⋅𝑚+ 8\n2 -𝑚≤180\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4\n(𝑚-2)2\n+ 4 ⋅\n(𝑚+ 8)(𝑚-2)\n(𝑚-2)2\n-180(𝑚-2)2\n(𝑚-2)2\n≤0\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 -180𝑚2 + 720𝑚-720\n(𝑚-2)2\n≤0\n-160𝑚2 + 760𝑚-780\n(𝑚-2)2\n≤0\n-160𝑚2 + 760𝑚-780 ≤0 ∧ 𝑚≠2\n8𝑚2 -38𝑚+ 39 ≥0 ∧ 𝑚≠2\nΔ𝑚= (-38)2 -4 ⋅8 ⋅39 = 196\n𝑚= 38 -14\n16\n= 3\n2 ∨ 𝑚= 38 + 14\n16\n= 13\n4\n8 (𝑚-3\n2) (𝑚-13\n4 ) ≥0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki:\n𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\n𝑚∈(-8, 2)\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞):\n𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2]\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które\nspełniają warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, tylko wtedy, gdy 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].","solution":"Odpowiedź: $m \\in (-8, -3) \\cup (1, \\tfrac{3}{2}\\rangle$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — trzy warunki\n\nZadanie wymaga trzech etapów:\n\n1. Δ > 0 — funkcja ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe.\n2. $x_1 \\cdot x_2 > 0$ — miejsca tego samego znaku (Viète).\n3. $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$ — dodatkowy warunek na różnicę miejsc.\n\nNa końcu — część wspólna wszystkich trzech zbiorów wartości $m$.\n\nKlucz: funkcja jest kwadratowa (warunek $a = 2 - m \\neq 0$, czyli $m \\neq 2$ — z treści).\n\nWzory Viète'a\n\nDla równania $(2 - m) x^2 - 2(2m + 1) x + (m + 8) = 0$:\n\n$$x_1 + x_2 = \\frac{2(2m + 1)}{2 - m}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{m + 8}{2 - m}$$\n\nEtap 1 — Δ > 0\n\nOblicz wyróżnik.\n\n$$\\Delta = [2(2m+1)]^2 - 4 \\cdot (2-m) \\cdot (m+8)$$\n\n$$\\Delta = 4 \\left[ (2m+1)^2 - (2-m)(m+8) \\right]$$\n\nRozwiń kolejno:\n\n$(2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$\n\n$(2-m)(m+8) = 2m + 16 - m^2 - 8m = -m^2 - 6m + 16$\n\nRóżnica:\n\n$$4m^2 + 4m + 1 - (-m^2 - 6m + 16) = 5m^2 + 10m - 15 = 5(m^2 + 2m - 3)$$\n\nRozłóż na czynniki: $m^2 + 2m - 3 = (m + 3)(m - 1)$.\n\n$$\\Delta = 20 (m + 3)(m - 1)$$\n\nWarunek $\\Delta > 0$:\n\n$$(m + 3)(m - 1) > 0$$\n\n$$m \\in (-\\infty,\\ -3) \\cup (1,\\ +\\infty)$$\n\nEtap 2 — $x_1 \\cdot x_2 > 0$\n\n$$x_1 \\cdot x_2 = \\frac{m + 8}{2 - m} > 0$$\n\nIloraz dodatni gdy licznik i mianownik mają ten sam znak:\n\n- Oba dodatnie: $m + 8 > 0$ i $2 - m > 0$, czyli $m > -8$ i $m < 2$ → $m \\in (-8, 2)$.\n- Oba ujemne: $m < -8$ i $m > 2$ — sprzeczne, brak rozwiązań.\n\nStąd: $m \\in (-8, 2)$.\n\nEtap 3 — $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$\n\nTożsamość: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2$.\n\nPodstaw Viète'a:\n\n$$(x_1 - x_2)^2 = \\left[ \\frac{2(2m+1)}{2-m} \\right]^2 - 4 \\cdot \\frac{m+8}{2-m}$$\n\nSprowadź do wspólnego mianownika $(2 - m)^2$:\n\n$$(x_1 - x_2)^2 = \\frac{4(2m+1)^2 - 4(m+8)(2-m)}{(2-m)^2}$$\n\nLicznik upraszcza się jak w Etapie 1:\n\n$$4 (2m+1)^2 - 4(m+8)(2-m) = 4 \\cdot 5(m^2 + 2m - 3) = 20(m^2 + 2m - 3)$$\n\nStąd:\n\n$$(x_1 - x_2)^2 = \\frac{20(m^2 + 2m - 3)}{(2-m)^2}$$\n\nWarunek $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$:\n\n$$\\frac{20(m^2 + 2m - 3)}{(2-m)^2} \\leq 180$$\n\nPomnóż obie strony przez $(2-m)^2 > 0$ (mnożnik dodatni, nierówność bez zmian):\n\n$$20(m^2 + 2m - 3) \\leq 180 (2-m)^2$$\n\n$$m^2 + 2m - 3 \\leq 9 (2-m)^2$$\n\nRozwiń prawą stronę: $(2-m)^2 = 4 - 4m + m^2$, więc $9(2-m)^2 = 9m^2 - 36m + 36$.\n\n$$m^2 + 2m - 3 \\leq 9m^2 - 36m + 36$$\n\n$$0 \\leq 8m^2 - 38m + 39$$\n\nRozwiąż nierówność $8m^2 - 38m + 39 \\geq 0$.\n\n$$\\Delta' = 38^2 - 4 \\cdot 8 \\cdot 39 = 1444 - 1248 = 196$$\n\n$$\\sqrt{\\Delta'} = 14$$\n\n$$m_{1,2} = \\frac{38 \\pm 14}{16}$$\n\n$$m_1 = \\frac{24}{16} = \\frac{3}{2}, \\quad m_2 = \\frac{52}{16} = \\frac{13}{4}$$\n\nParabola $8m^2 - 38m + 39$ otwiera się w górę ($a = 8 > 0$), więc $\\geq 0$ poza pierwiastkami:\n\n$$m \\in \\left( -\\infty,\\ \\tfrac{3}{2} \\right\\rangle \\cup \\left\\langle \\tfrac{13}{4},\\ +\\infty \\right)$$\n\nEtap 4 — część wspólna wszystkich trzech warunków\n\nZ etapów 1, 2, 3:\n\n- (1) $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)$\n- (2) $m \\in (-8, 2)$\n- (3) $m \\in (-\\infty, \\tfrac{3}{2}\\rangle \\cup \\langle\\tfrac{13}{4}, +\\infty)$\n\nNajpierw (1) ∩ (2):\n\n$$\\left[ (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty) \\right] \\cap (-8, 2) = (-8, -3) \\cup (1, 2)$$\n\nTeraz [(1) ∩ (2)] ∩ (3):\n\n- $(-8, -3) \\cap (-\\infty, \\tfrac{3}{2}\\rangle = (-8, -3)$ ✓ (cały lewy fragment się mieści, bo $-3 < \\tfrac{3}{2}$)\n- $(-8, -3) \\cap \\langle\\tfrac{13}{4}, +\\infty) = \\emptyset$ (bo $-3 < \\tfrac{13}{4}$)\n- $(1, 2) \\cap (-\\infty, \\tfrac{3}{2}\\rangle = (1, \\tfrac{3}{2}\\rangle$\n- $(1, 2) \\cap \\langle\\tfrac{13}{4}, +\\infty) = \\emptyset$ (bo $2 < \\tfrac{13}{4} = 3{,}25$)\n\nSuma:\n\n$$m \\in (-8, -3) \\cup \\left( 1, \\tfrac{3}{2} \\right\\rangle$$\n\nSprawdzenie\n\nDla $m = -5$ (w $(-8, -3)$):\n\n- $a = 7$, $b = 18$, $c = 3$\n- $\\Delta = 324 - 84 = 240 > 0$ ✓\n- $x_1 x_2 = 3/7 > 0$ ✓\n- $(x_1 - x_2)^2 = (18/7)^2 - 12/7 = 324/49 - 84/49 = 240/49 \\approx 4{,}9 \\leq 180$ ✓\n\nDla $m = \\tfrac{3}{2}$ (graniczne):\n\n- $a = 1/2$, $b = -8$, $c = 19/2$\n- $\\Delta = 64 - 19 = 45 > 0$ ✓\n- $x_1 x_2 = (19/2)/(1/2) = 19 > 0$ ✓\n- $(x_1 - x_2)^2 = 16^2 - 4 \\cdot 19 = 256 - 76 = 180$ ✓ (dokładnie równa)\n\nWszystko pasuje.\n\nPunktacja CKE (zwykle 3 etapy)\n\nEtap 1 ($\\Delta > 0$): 1 pkt.\n\nEtap 2 ($x_1 x_2 > 0$): 1 pkt (lub kontekst dodatkowy w innych klasyfikacjach).\n\nEtap 3 (nierówność z $(x_1 - x_2)^2$): 3-4 pkt zależnie od dokładności.\n\nEtap 4 (część wspólna): 1 pkt za końcowy zbiór.\n\nRazem 6 pkt.\n\nKlucz uniwersalny\n\nStandardowy schemat dla zadań „parametr $m$ + warunki na miejsca zerowe\":\n\n1. Wyznacz dziedzinę istnienia dwóch miejsc zerowych ($\\Delta > 0$ lub $\\geq 0$).\n2. Zapisz Viète'a dla $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$.\n3. Każdy dodatkowy warunek (znak, suma, różnica, kwadrat) → przekształć przez Viète'a do nierówności tylko w $m$.\n4. Część wspólna wszystkich zbiorów rozwiązań.\n\nCzęsto najtrudniejszy element to algebra przekształcania $(x_1 - x_2)^2$ przez Viète'a — pamiętaj tożsamość $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2$.\n\nTypowy błąd: Trzy warunki, każdy daje przedział. Klucz: precyzyjnie POŁĄCZ wszystkie trzy. Pułapka 1: pominięcie $\\Delta > 0$ (dwa różne miejsca zerowe → ostry znak). Pułapka 2: pomyłka znaku przy $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$ — to po przekształceniu daje $8m^2 - 38m + 39 \\geq 0$, NIE $\\leq 0$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"funkcja kwadratowa z parametrem, wzory Viète'a, parametr","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-6)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem
𝑓(𝑥) = (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8
dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥, gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą różną od 2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa
miejsca zerowe 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐 tego samego znaku, które spełniają warunek
(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐≤𝟏𝟖𝟎
Zapisz obliczenia.
11.
0-1-
2-3-
4-5-6

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (2-m)x² - 2(2m+1)x + m + 8 dla każdej liczby rzeczywistej x, gdzie m jest liczbą rzeczywistą różną od 2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe x_1 oraz x_2 tego samego znaku, które spełniają warunek (x_1-x_2)² ≤ 180. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-6)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

\n
  1. Tworzenie pomocniczych obiektów
\n

matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Zdający:
III.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań
kwadratowych;
III.R5) analizuje równania i nierówności
liniowe z parametrami oraz równania
i nierówności kwadratowe z parametrami
[…].
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których miejsca zerowe
funkcji 𝑓 są tego samego znaku. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje
1 punkt.
1 pkt - zapisanie i poprawne rozwiązanie nierówności 𝑚 + 8
2 - 𝑚> 0: 𝑚∈(-8, 2).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje
3 punkty.
Podział punktów za trzeci etap rozwiązania:
3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180: 𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞).
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, np.
[2(2𝑚 + 1)
2 - 𝑚
]
2
-4 ⋅𝑚 + 8
2 - 𝑚≤180
1 pkt - przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1𝑥2 ≤180
ALBO

\n\n

𝑎2 ≤180 (lub
𝑏2- 4𝑎𝑐
𝑎2
≤180).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Czwarty etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki: 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2) oraz
𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞):
𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3
2].
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2)
oraz 𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞): 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3
2].
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-III popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,
\n

to za IV etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w etapach I-III nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory
\n

rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,
a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-III
i warunku 𝑚≠2, to za IV etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory
rozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb
rzeczywistych, to za IV etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w III etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że
\n

𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚 + 8
2 - 𝑚 lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 2(2𝑚 + 1)
2 - 𝑚
, lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏
2𝑎 , to za III etap może
otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów
Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap
otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania
\n

(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co
najwyżej 1 punkt za I etap, co najwyżej 1 punkt za II etap i co najwyżej 3 punkty za III
etap).

\n
  1. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci
\n

pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem
rachunkowym, ale otrzyma nierówność postaci (𝑥1 + 𝑥2)2 + 𝑘⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180, gdzie
𝑘≠-4, to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne
zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do
końca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wówczas, gdy 2 -𝑚≠0 i wyróżnik Δ
trójmianu (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8 jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:
[-2(2𝑚+ 1)]2 -4 ⋅(2 -𝑚)(𝑚+ 8) > 0
16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 > 0
20𝑚2 + 40𝑚-60 > 0
20(𝑚-1)(𝑚+ 3) > 0
𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)
Miejsca zerowe funkcji 𝑓 mają ten sam znak tylko wtedy, gdy 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0. Rozwiązujemy tę
nierówność, korzystając ze wzorów Viète’a:
𝑚+ 8
2 -𝑚> 0
(𝑚+ 8)(2 -𝑚) > 0 ∧ 𝑚≠2
𝑚∈(-8, 2)
Przekształcamy warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie
zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność z niewiadomą 𝑚:
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180
(𝑥1 + 𝑥2)2 -4 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180
[-2(2𝑚+ 1)
2 -𝑚
]
2
-4 ⋅𝑚+ 8
2 -𝑚≤180
16𝑚2 + 16𝑚+ 4
(𝑚-2)2

\n\n

(𝑚+ 8)(𝑚-2)
(𝑚-2)2
-180(𝑚-2)2
(𝑚-2)2
≤0
16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 -180𝑚2 + 720𝑚-720
(𝑚-2)2
≤0
-160𝑚2 + 760𝑚-780
(𝑚-2)2
≤0
-160𝑚2 + 760𝑚-780 ≤0 ∧ 𝑚≠2
8𝑚2 -38𝑚+ 39 ≥0 ∧ 𝑚≠2
Δ𝑚= (-38)2 -4 ⋅8 ⋅39 = 196
𝑚= 38 -14
16
= 3
2 ∨ 𝑚= 38 + 14
16
= 13
4
8 (𝑚-3

\n
  1. (𝑚-13
\n

4 ) ≥0 ∧ 𝑚≠2
𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞)
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki:
𝑚≠2
𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)
𝑚∈(-8, 2)
𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞):
𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3
2]
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które
spełniają warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, tylko wtedy, gdy 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3
2].

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $m \\in (-8, -3) \\cup (1, \\tfrac{3}{2}\\rangle$

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Strategia — trzy warunki

\n

Zadanie wymaga trzech etapów:

\n
  1. Δ &gt; 0 — funkcja ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe.
  2. $x_1 \\cdot x_2 > 0$ — miejsca tego samego znaku (Viète).
  3. $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$ — dodatkowy warunek na różnicę miejsc.
\n

Na końcu — część wspólna wszystkich trzech zbiorów wartości $m$.

\n

Klucz: funkcja jest kwadratowa (warunek $a = 2 - m \\neq 0$, czyli $m \\neq 2$ — z treści).

\n

Wzory Viète'a

\n

Dla równania $(2 - m) x^2 - 2(2m + 1) x + (m + 8) = 0$:

\n

$$x_1 + x_2 = \\frac{2(2m + 1)}{2 - m}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{m + 8}{2 - m}$$

\n

Etap 1 — Δ &gt; 0

\n

Oblicz wyróżnik.

\n

$$\\Delta = [2(2m+1)]^2 - 4 \\cdot (2-m) \\cdot (m+8)$$

\n

$$\\Delta = 4 \\left[ (2m+1)^2 - (2-m)(m+8) \\right]$$

\n

Rozwiń kolejno:

\n

$(2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$

\n

$(2-m)(m+8) = 2m + 16 - m^2 - 8m = -m^2 - 6m + 16$

\n

Różnica:

\n

$$4m^2 + 4m + 1 - (-m^2 - 6m + 16) = 5m^2 + 10m - 15 = 5(m^2 + 2m - 3)$$

\n

Rozłóż na czynniki: $m^2 + 2m - 3 = (m + 3)(m - 1)$.

\n

$$\\Delta = 20 (m + 3)(m - 1)$$

\n

Warunek $\\Delta > 0$:

\n

$$(m + 3)(m - 1) > 0$$

\n

$$m \\in (-\\infty,\\ -3) \\cup (1,\\ +\\infty)$$

\n

Etap 2 — $x_1 \\cdot x_2 > 0$

\n

$$x_1 \\cdot x_2 = \\frac{m + 8}{2 - m} > 0$$

\n

Iloraz dodatni gdy licznik i mianownik mają ten sam znak:

\n\n

Stąd: $m \\in (-8, 2)$.

\n

Etap 3 — $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$

\n

Tożsamość: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2$.

\n

Podstaw Viète'a:

\n

$$(x_1 - x_2)^2 = \\left[ \\frac{2(2m+1)}{2-m} \\right]^2 - 4 \\cdot \\frac{m+8}{2-m}$$

\n

Sprowadź do wspólnego mianownika $(2 - m)^2$:

\n

$$(x_1 - x_2)^2 = \\frac{4(2m+1)^2 - 4(m+8)(2-m)}{(2-m)^2}$$

\n

Licznik upraszcza się jak w Etapie 1:

\n

$$4 (2m+1)^2 - 4(m+8)(2-m) = 4 \\cdot 5(m^2 + 2m - 3) = 20(m^2 + 2m - 3)$$

\n

Stąd:

\n

$$(x_1 - x_2)^2 = \\frac{20(m^2 + 2m - 3)}{(2-m)^2}$$

\n

Warunek $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$:

\n

$$\\frac{20(m^2 + 2m - 3)}{(2-m)^2} \\leq 180$$

\n

Pomnóż obie strony przez $(2-m)^2 > 0$ (mnożnik dodatni, nierówność bez zmian):

\n

$$20(m^2 + 2m - 3) \\leq 180 (2-m)^2$$

\n

$$m^2 + 2m - 3 \\leq 9 (2-m)^2$$

\n

Rozwiń prawą stronę: $(2-m)^2 = 4 - 4m + m^2$, więc $9(2-m)^2 = 9m^2 - 36m + 36$.

\n

$$m^2 + 2m - 3 \\leq 9m^2 - 36m + 36$$

\n

$$0 \\leq 8m^2 - 38m + 39$$

\n

Rozwiąż nierówność $8m^2 - 38m + 39 \\geq 0$.

\n

$$\\Delta' = 38^2 - 4 \\cdot 8 \\cdot 39 = 1444 - 1248 = 196$$

\n

$$\\sqrt{\\Delta'} = 14$$

\n

$$m_{1,2} = \\frac{38 \\pm 14}{16}$$

\n

$$m_1 = \\frac{24}{16} = \\frac{3}{2}, \\quad m_2 = \\frac{52}{16} = \\frac{13}{4}$$

\n

Parabola $8m^2 - 38m + 39$ otwiera się w górę ($a = 8 > 0$), więc $\\geq 0$ poza pierwiastkami:

\n

$$m \\in \\left( -\\infty,\\ \\tfrac{3}{2} \\right\\rangle \\cup \\left\\langle \\tfrac{13}{4},\\ +\\infty \\right)$$

\n

Etap 4 — część wspólna wszystkich trzech warunków

\n

Z etapów 1, 2, 3:

\n\n

Najpierw (1) ∩ (2):

\n

$$\\left[ (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty) \\right] \\cap (-8, 2) = (-8, -3) \\cup (1, 2)$$

\n

Teraz [(1) ∩ (2)] ∩ (3):

\n\n

Suma:

\n

$$m \\in (-8, -3) \\cup \\left( 1, \\tfrac{3}{2} \\right\\rangle$$

\n

Sprawdzenie

\n

Dla $m = -5$ (w $(-8, -3)$):

\n\n

Dla $m = \\tfrac{3}{2}$ (graniczne):

\n\n

Wszystko pasuje.

\n

Punktacja CKE (zwykle 3 etapy)

\n

Etap 1 ($\\Delta > 0$): 1 pkt.

\n

Etap 2 ($x_1 x_2 > 0$): 1 pkt (lub kontekst dodatkowy w innych klasyfikacjach).

\n

Etap 3 (nierówność z $(x_1 - x_2)^2$): 3-4 pkt zależnie od dokładności.

\n

Etap 4 (część wspólna): 1 pkt za końcowy zbiór.

\n

Razem 6 pkt.

\n

Klucz uniwersalny

\n

Standardowy schemat dla zadań „parametr $m$ + warunki na miejsca zerowe":

\n
  1. Wyznacz dziedzinę istnienia dwóch miejsc zerowych ($\\Delta > 0$ lub $\\geq 0$).
  2. Zapisz Viète'a dla $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$.
  3. Każdy dodatkowy warunek (znak, suma, różnica, kwadrat) → przekształć przez Viète'a do nierówności tylko w $m$.
  4. Część wspólna wszystkich zbiorów rozwiązań.
\n

Często najtrudniejszy element to algebra przekształcania $(x_1 - x_2)^2$ przez Viète'a — pamiętaj tożsamość $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2$.

\n

Typowy błąd: Trzy warunki, każdy daje przedział. Klucz: precyzyjnie POŁĄCZ wszystkie trzy. Pułapka 1: pominięcie $\\Delta > 0$ (dwa różne miejsca zerowe → ostry znak). Pułapka 2: pomyłka znaku przy $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$ — to po przekształceniu daje $8m^2 - 38m + 39 \\geq 0$, NIE $\\leq 0$.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-8,\\,-3) \\cup \\left(1,\\, \\frac{3}{2}\\right]\\)

\n

Sposób 1 - Wzory Viète'a i trzy warunki łącznie

\n

Mamy funkcję kwadratową (bo \\(m \\neq 2\\)) z:
\\[a = 2-m, \\quad b = -2(2m+1), \\quad c = m+8\\]

\n

Potrzebujemy jednocześnie spełnić trzy warunki.

\n
Krok 1 - Warunek: dokładnie dwa różne miejsca zerowe \\((\\Delta > 0)\\)
\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4(2m+1)^2 - 4(2-m)(m+8)\\]

\n

Rozwijam każdy czynnik:
\\[(2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1\\]
\\[(2-m)(m+8) = 2m + 16 - m^2 - 8m = -m^2 - 6m + 16\\]

\n

Zatem:
\\[\\Delta = 4\\bigl[(4m^2+4m+1) - (-m^2-6m+16)\\bigr] = 4(5m^2+10m-15) = 20(m^2+2m-3)\\]
\\[\\boxed{\\Delta = 20(m+3)(m-1)}\\]

\n

\\(\\Delta > 0\\) zachodzi gdy: \\(m < -3\\) lub \\(m > 1\\)

\n
Krok 2 - Warunek: oba miejsca zerowe tego samego znaku \\((x_1 x_2 > 0)\\)
\n

Ze wzorów Viète'a:
\\[x_1 x_2 = \\frac{c}{a} = \\frac{m+8}{2-m}\\]

\n

Oba zera mają ten sam znak \\(\\iff x_1 x_2 > 0\\). Iloraz jest dodatni, gdy licznik i mianownik mają ten sam znak:

\n\n

\\(x_1 x_2 > 0\\) zachodzi gdy: \\(-8 < m < 2\\)

\n
Krok 3 - Warunek \\((x_1 - x_2)^2 \\leq 180\\)
\n

Kluczowa zależność:
\\[(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = \\frac{\\Delta}{a^2} = \\frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2}\\]

\n

Warunek \\((x_1 - x_2)^2 \\leq 180\\):
\\[\\frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2} \\leq 180\\]

\n

Dzielę przez \\(20\\) i mnożę przez \\((2-m)^2 > 0\\):
\\[(m+3)(m-1) \\leq 9(2-m)^2\\]
\\[m^2 + 2m - 3 \\leq 9(4 - 4m + m^2)\\]
\\[m^2 + 2m - 3 \\leq 36 - 36m + 9m^2\\]
\\[0 \\leq 8m^2 - 38m + 39\\]

\n

Wyróżnik: \\(\\Delta' = 38^2 - 4 \\cdot 8 \\cdot 39 = 1444 - 1248 = 196 = 14^2\\)

\n

\\[m_{1,2} = \\frac{38 \\pm 14}{16} \\implies m_1 = \\frac{24}{16} = \\frac{3}{2}, \\quad m_2 = \\frac{52}{16} = \\frac{13}{4}\\]

\n

Parabola (ramiona w górę) jest nieujemna dla:
\\[m \\leq \\frac{3}{2} \\quad \\text{lub} \\quad m \\geq \\frac{13}{4}\\]

\n
Krok 4 - Przecięcie wszystkich warunków
\n

| Warunek | Zbiór |
| \\(\\Delta > 0\\) | \\((-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\) |
| \\(x_1 x_2 > 0\\) | \\((-8,\\, 2)\\) |
| \\((x_1-x_2)^2 \\leq 180\\) | \\(\\left(-\\infty,\\,\\frac{3}{2}\\right] \\cup \\left[\\frac{13}{4},\\,+\\infty\\right)\\) |

\n

Warunki 1 i 2 łącznie: \\((-8,\\,-3)\\cup(1,\\,2)\\)

\n

Teraz nakładam warunek 3:

\n\n

\\[\\boxed{m \\in (-8,\\,-3) \\cup \\left(1,\\, \\frac{3}{2}\\right]}\\]

\n

Sposób 2 - Analiza przypadków: obie dodatnie / obie ujemne

\n

Rozkładam warunek „tego samego znaku" na dwa odrębne przypadki.

\n
Przypadek A - oba miejsca zerowe dodatnie
\n

Potrzebuję: \\(\\Delta > 0\\) ORAZ \\(x_1 + x_2 > 0\\) ORAZ \\(x_1 x_2 > 0\\).

\n

\\[x_1 + x_2 = \\frac{-b}{a} = \\frac{2(2m+1)}{2-m} > 0\\]

\n

Znak ilorazu (licznik i mianownik):

\n\n

Łącząc \\(\\Delta > 0\\), \\(x_1+x_2 > 0\\), \\(x_1x_2 > 0\\):
\\[\\underbrace{(m<-3 \\text{ lub } m>1)}{\\Delta>0} \\;\\cap\\; \\underbrace{\\left(-\\tfrac{1}{2},2\\right)}{x_1+x_2>0} \\;\\cap\\; \\underbrace{(-8,2)}_{x_1x_2>0} = (1,\\,2)\\]

\n

(Lewa gałąź \\(m < -3\\) nie przecina \\((-\\frac{1}{2}, 2)\\).)

\n
Przypadek B - oba miejsca zerowe ujemne
\n

Potrzebuję: \\(\\Delta > 0\\) ORAZ \\(x_1 + x_2 < 0\\) ORAZ \\(x_1 x_2 > 0\\).

\n

\\[x_1 + x_2 < 0 \\iff m < -\\frac{1}{2} \\text{ lub } m > 2\\]

\n

Łącząc:
\\[(m<-3 \\text{ lub } m>1) \\;\\cap\\; \\left(m < -\\tfrac{1}{2} \\text{ lub } m > 2\\right) \\;\\cap\\; (-8,2) = (-8,\\,-3)\\]

\n

(Prawa gałąź \\(m > 1\\): z \\(x_1+x_2 < 0\\) wymagałoby \\(m > 2\\), ale \\(x_1x_2 > 0\\) wymaga \\(m < 2\\) - sprzeczność.)

\n

Razem: \\(m \\in (-8,-3) \\cup (1,2)\\) - identycznie jak w Sposobie 1.

\n

Teraz nakładam warunek \\((x_1-x_2)^2 \\leq 180\\) (ten sam rachunek co w Sposobie 1):

\n

\\[\\frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2} \\leq 180 \\implies 8m^2 - 38m + 39 \\geq 0 \\implies m \\leq \\frac{3}{2} \\text{ lub } m \\geq \\frac{13}{4}\\]

\n

Przecięcie z \\((-8,-3)\\cup(1,2)\\):
\\[m \\in (-8,-3) \\cup \\left(1,\\frac{3}{2}\\right]\\]

\n

Sprawdzenie granicy \\(m = \\frac{3}{2}\\):
\\[(x_1-x_2)^2 = \\frac{20 \\cdot \\frac{9}{2} \\cdot \\frac{1}{2}}{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\frac{20 \\cdot \\frac{9}{4}}{\\frac{1}{4}} = 20 \\cdot 9 = 180 \\leq 180 \\;\\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Warunek dwóch różnych miejsc zerowych: \\(\\Delta > 0\\).

\n

Wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w krokach 2 i 3 do wyrażenia warunków znaku i odległości bez wyznaczania konkretnych zer.

\n

Tożsamość algebraiczna (z podstawowych własności):
\\[(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = \\frac{\\Delta}{a^2}\\]
Dzięki temu w kroku 3 unikamy pierwiastkowania i rachujemy bezpośrednio na \\(\\Delta\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Warunek „tego samego znaku" to \\(x_1 x_2 > 0\\) - nie wystarczy sama różnica znaków iloczynu. Uczniowie często sprawdzają tylko \\(\\Delta > 0\\) i zapominają o produkcie zer.
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\((x_1-x_2)^2 \\leq 180\\) mnożysz przez \\((2-m)^2 > 0\\) - tutaj znak nierówności nie zmienia się, bo kwadrat jest zawsze dodatni. Pułapka czai się przy mnożeniu przez wyrażenie nieznanego znaku.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pominąć sprawdzenie krańca \\(m = \\frac{3}{2}\\) - bo nierówność jest niestroga (\\(\\leq 180\\)), kraniec należy do zbioru rozwiązań. Sprawdzenie podstawieniem jest obowiązkowe!
\n
Sposób I (wzory Viete'a i 4 etapy)
\n

Założenie bazowe: \\(2-m\\neq 0\\), czyli \\(m\\neq 2\\).

\n

Etap I: Dokładnie dwa miejsca zerowe (\\(\\Delta>0\\)).
\\[\\Delta=[-2(2m+1)]^{2}-4(2-m)(m+8)>0\\]
\\[4(2m+1)^{2}-4(2-m)(m+8)>0\\quad/:4\\]
\\[(4m^{2}+4m+1)-(16+2m-m^{2}-8m)>0\\]
\\[4m^{2}+4m+1-16-2m+m^{2}+8m>0\\]
\\[5m^{2}+10m-15>0\\quad /:5\\]
\\[m^{2}+2m-3>0\\Rightarrow (m+3)(m-1)>0\\]
\\[m\\in(-\\infty,-3)\\cup(1,+\\infty)\\]

\n

Etap II: Miejsca zerowe tego samego znaku (\\(x_{1}\\cdot x_{2}>0\\)).
Ze wzorów Viete'a: \\(x_{1}\\cdot x_{2}=\\dfrac{c}{a}=\\dfrac{m+8}{2-m}\\).
\\[\\dfrac{m+8}{2-m}>0\\Leftrightarrow (m+8)(2-m)>0\\Leftrightarrow -(m+8)(m-2)>0\\Leftrightarrow (m+8)(m-2)<0\\]
\\[m\\in(-8,2)\\]

\n

Etap III: Warunek \\((x_{1}-x_{2})^{2}\\leq 180\\).
Korzystamy z \\((x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}\\):
\\[x_{1}+x_{2}=\\dfrac{-b}{a}=\\dfrac{2(2m+1)}{2-m},\\quad x_{1}x_{2}=\\dfrac{m+8}{2-m}\\]
\\[\\left[\\dfrac{2(2m+1)}{2-m}\\right]^{2}-4\\cdot\\dfrac{m+8}{2-m}\\leq 180\\]
Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\((2-m)^{2}\\) (dodatniego):
\\[4(2m+1)^{2}-4(m+8)(2-m)\\leq 180(2-m)^{2}\\]
\\[4(4m^{2}+4m+1)-4(16+2m-m^{2}-8m)\\leq 180(m^{2}-4m+4)\\]
\\[16m^{2}+16m+4-64-8m+4m^{2}+32m\\leq 180m^{2}-720m+720\\]
\\[20m^{2}+40m-60\\leq 180m^{2}-720m+720\\]
\\[-160m^{2}+760m-780\\leq 0\\quad /:(-20),\\;\\text{zmiana znaku:}\\]
\\[8m^{2}-38m+39\\geq 0\\]
\\[\\Delta_{m}=38^{2}-4\\cdot 8\\cdot 39=1444-1248=196,\\;\\sqrt{\\Delta_{m}}=14\\]
\\[m=\\tfrac{38-14}{16}=\\tfrac{24}{16}=\\tfrac{3}{2}\\quad\\lor\\quad m=\\tfrac{38+14}{16}=\\tfrac{52}{16}=\\tfrac{13}{4}\\]
Nierówność \\(8m^{2}-38m+39\\geq 0\\) spełniona dla \\(m\\in\\left(-\\infty,\\tfrac{3}{2}\\right]\\cup\\left[\\tfrac{13}{4},+\\infty\\right)\\).

\n

Etap IV: Część wspólna wszystkich warunków.
\\(m\\neq 2\\) ORAZ \\(m\\in(-\\infty,-3)\\cup(1,+\\infty)\\) ORAZ \\(m\\in(-8,2)\\) ORAZ \\(m\\in\\left(-\\infty,\\tfrac{3}{2}\\right]\\cup\\left[\\tfrac{13}{4},+\\infty\\right)\\).

\n

Część wspólna 3 pierwszych: \\(m\\in(-8,-3)\\cup(1,2)\\).
Po przecięciu z czwartym: \\(m\\in(-8,-3)\\cup\\left(1,\\tfrac{3}{2}\\right]\\) (bo \\((1,2)\\cap\\left(-\\infty,\\tfrac{3}{2}\\right]=\\left(1,\\tfrac{3}{2}\\right]\\); \\(\\tfrac{13}{4}=3{,}25\\) poza \\((1,2)\\)).

\n

Odpowiedź: \\(m\\in(-8,-3)\\cup\\left(1,\\tfrac{3}{2}\\right]\\).

\n
Sposób II (szkic weryfikacji)
\n

Sprawdzenie dla \\(m=0\\): \\(f(x)=2x^{2}-2x+8\\), \\(\\Delta=4-64<0\\) - brak miejsc zerowych, \\(m=0\\notin(-8,-3)\\cup(1,\\tfrac{3}{2}]\\) - spójne. Sprawdzenie dla \\(m=-4\\in(-8,-3)\\): \\(f(x)=6x^{2}+14x+4\\), \\(\\Delta=196-96=100>0\\), \\(x_{1}x_{2}=\\tfrac{4}{6}>0\\), \\(x_{1,2}=\\tfrac{-14\\pm 10}{12}\\), czyli \\(-\\tfrac{1}{3},-2\\), różnica \\(=\\tfrac{5}{3}\\), kwadrat \\(=\\tfrac{25}{9}\\leq 180\\) - OK.

\n
Karta wzorów CKE
\n\n
Uwagi o punktacji
\n

Rozwiązanie składa się z 4 etapów:

\n\n

Trik: Zamiast wyliczać \\(x_{1},x_{2}\\) jawnie, użyj \\((x_{1}-x_{2})^{2}=\\tfrac{\\Delta}{a^{2}}\\) - wtedy warunek staje się \\(\\tfrac{\\Delta}{a^{2}}\\leq 180\\), co jest często szybsze niż rozbijanie przez Viete'a. Pamiętaj o kolejności: \\(\\Delta>0\\) (dwa pierwiastki), \\(\\tfrac{c}{a}>0\\) (ten sam znak), dopiero później warunek na różnicę.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m \\in (-8, -3) \\cup \\left(1, \\dfrac{3}{2}\\right]$

"}]}