{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.\nRozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka\npodstawy od tworzącej jest równa 5.\nRozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5. Wykaż, że objętość V stożka, jako funkcja wysokości h stożka, wyraża się wzorem V(h) = π/3 ⋅ 25h^3 / h^2-25.","answer":null,"answer_text":"12","solution":"Odpowiedź: 12.2: $h = 5\\sqrt{3}$, $V_{\\min} = \\dfrac{125\\sqrt{3}}{2} \\pi$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKonfiguracja\n\nStożek z podstawą o promieniu $r$, wysokością $h$, tworzącą $l$. Z Pitagorasa:\n\n$$l = \\sqrt{r^2 + h^2}$$\n\nOdległość środka podstawy $O$ od tworzącej: rozpatrujemy trójkąt prostokątny utworzony przez wierzchołek stożka $S$ (góra), środek podstawy $O$ (dół) i dowolny punkt $P$ na obwodzie podstawy. Trójkąt $SOP$ jest prostokątny przy $O$ (wysokość prostopadła do promienia).\n\nOdległość $O$ od przeciwprostokątnej $SP$ (czyli tworzącej) to klasyczna wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. Wzór:\n\n$$d = \\frac{r \\cdot h}{l} = \\frac{r h}{\\sqrt{r^2 + h^2}}$$\n\nZ warunku zadania: $d = 5$.\n\n12.1 — wykaż wzór $V(h)$ (2 pkt)\n\nZapisz warunek $d = 5$:\n\n$$\\frac{r h}{\\sqrt{r^2 + h^2}} = 5$$\n\nPodnieś obie strony do kwadratu:\n\n$$\\frac{r^2 h^2}{r^2 + h^2} = 25$$\n\n$$r^2 h^2 = 25 (r^2 + h^2) = 25 r^2 + 25 h^2$$\n\nWyznacz $r^2$.\n\n$$r^2 h^2 - 25 r^2 = 25 h^2$$\n\n$$r^2 (h^2 - 25) = 25 h^2$$\n\n$$r^2 = \\frac{25 h^2}{h^2 - 25}$$\n\n(dla $h^2 > 25$, czyli $h > 5$ — zgodnie z treścią).\n\nWstaw do wzoru na objętość stożka $V = \\tfrac{1}{3} \\pi r^2 h$:\n\n$$V(h) = \\frac{1}{3} \\pi \\cdot \\frac{25 h^2}{h^2 - 25} \\cdot h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25 h^3}{h^2 - 25}$$\n\nTo należało wykazać. $\\blacksquare$\n\n12.2 — minimum $V(h)$ dla $h \\in (5, +\\infty)$ (4 pkt)\n\nOblicz pochodną $V'(h)$. Wygodne uproszczenie: niech $C = \\tfrac{25 \\pi}{3}$ (stała). Wtedy:\n\n$$V(h) = C \\cdot \\frac{h^3}{h^2 - 25}$$\n\nPochodna ilorazu $\\left(\\tfrac{u}{v}\\right)' = \\tfrac{u'v - uv'}{v^2}$:\n\n$$V'(h) = C \\cdot \\frac{3 h^2 (h^2 - 25) - h^3 \\cdot 2h}{(h^2 - 25)^2}$$\n\nUprość licznik.\n\n$$3 h^2 (h^2 - 25) - 2 h^4 = 3 h^4 - 75 h^2 - 2 h^4 = h^4 - 75 h^2 = h^2 (h^2 - 75)$$\n\nStąd:\n\n$$V'(h) = C \\cdot \\frac{h^2 (h^2 - 75)}{(h^2 - 25)^2}$$\n\nWyznacz miejsca zerowe pochodnej. Licznik = 0:\n\n$$h^2 (h^2 - 75) = 0$$\n\n- $h = 0$: poza dziedziną ($h > 5$)\n- $h^2 = 75$: $h = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3} \\approx 8{,}66$ — w dziedzinie ✓\n\nZbadaj znak $V'(h)$ w dziedzinie $(5, +\\infty)$.\n\nW mianowniku $(h^2 - 25)^2 > 0$ zawsze. Licznik $h^2 (h^2 - 75)$:\n\n- dla $h \\in (5, 5\\sqrt{3})$: $h^2 < 75$ → $h^2 - 75 < 0$, czyli $V'(h) < 0$ — funkcja malejąca\n- dla $h = 5\\sqrt{3}$: $V'(h) = 0$ — punkt ekstremalny\n- dla $h > 5\\sqrt{3}$: $h^2 > 75$ → $V'(h) > 0$ — funkcja rosnąca\n\nZatem $h = 5\\sqrt{3}$ to minimum globalne $V$ w dziedzinie $(5, +\\infty)$.\n\nOblicz $V(5\\sqrt{3})$.\n\n$(5\\sqrt{3})^2 = 25 \\cdot 3 = 75$, $(5\\sqrt{3})^3 = 125 \\cdot 3\\sqrt{3} = 375\\sqrt{3}$.\n\n$$V(5\\sqrt{3}) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25 \\cdot 375 \\sqrt{3}}{75 - 25} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{9375 \\sqrt{3}}{50}$$\n\nUprość: $\\dfrac{9375}{150} = \\dfrac{9375}{150} = 62{,}5 = \\dfrac{125}{2}$:\n\n$$V(5\\sqrt{3}) = \\frac{125 \\sqrt{3}}{2} \\pi$$\n\nPunktacja CKE\n\n12.1 (2 pkt):\n- 1 pkt — wyznaczenie $r^2 = \\dfrac{25 h^2}{h^2 - 25}$ (lub równoważne).\n- 2 pkt — pełne wyprowadzenie wzoru $V(h) = \\tfrac{\\pi}{3} \\cdot \\tfrac{25 h^3}{h^2 - 25}$.\n\n12.2 (4 pkt):\n- 1 pkt — obliczenie pochodnej $V'(h)$.\n- 2 pkt — znalezienie miejsca zerowego $h = 5\\sqrt{3}$ w dziedzinie.\n- 3 pkt — uzasadnienie, że to minimum (badanie znaku pochodnej).\n- 4 pkt — obliczenie $V_{\\min} = \\tfrac{125\\sqrt{3}}{2} \\pi$.\n\nKlucz uniwersalny — optymalizacja brył obrotowych\n\nSchemat dla zadań „wśród stożków/walców/ostrosłupów o ustalonym warunku znajdź ten o ekstremalnej V/P\":\n\n1. Wyraź jeden wymiar przez drugi używając warunku z treści (najczęściej Pitagoras lub trygonometria).\n2. Zapisz funkcję celu (V albo P) jako funkcję jednej zmiennej.\n3. Wyznacz dziedzinę — gdy występują ograniczenia (np. $h > 5$ żeby $r$ było rzeczywiste).\n4. Pochodna i miejsca zerowe — kandydaci na ekstremum.\n5. Zbadaj znak pochodnej — minimum/maksimum lokalne.\n6. Sprawdź zachowanie na końcach dziedziny — czy ekstremum globalne jest tam, czy nie.\n7. Oblicz wartość w punkcie ekstremum.\n\nTen schemat działa dla każdej bryły, której parametry są związane jednym warunkiem geometrycznym.\n\nTypowy błąd: Klucz dla 12.1: \"odległość środka podstawy od tworzącej\" to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego (środek O) na przeciwprostokątną (tworzącą SP) w trójkącie OSP. Wzór: $d = rh/\\sqrt{r^2+h^2} = 5$. W 12.2: nie zapominaj o dziedzinie $h > 5$ — bez tego $h = 5$ daje dzielenie przez zero.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"stereometria, stożek, optymalizacja z pochodną","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka
podstawy od tworzącej jest równa 5.
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5. Wykaż, że objętość V stożka, jako funkcja wysokości h stożka, wyraża się wzorem V(h) = π/3 ⋅ 25h^3 / h^2-25.

","answer_text_html":"

12

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: 12.2: $h = 5\\sqrt{3}$, $V_{\\min} = \\dfrac{125\\sqrt{3}}{2} \\pi$

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Konfiguracja

\n

Stożek z podstawą o promieniu $r$, wysokością $h$, tworzącą $l$. Z Pitagorasa:

\n

$$l = \\sqrt{r^2 + h^2}$$

\n

Odległość środka podstawy $O$ od tworzącej: rozpatrujemy trójkąt prostokątny utworzony przez wierzchołek stożka $S$ (góra), środek podstawy $O$ (dół) i dowolny punkt $P$ na obwodzie podstawy. Trójkąt $SOP$ jest prostokątny przy $O$ (wysokość prostopadła do promienia).

\n

Odległość $O$ od przeciwprostokątnej $SP$ (czyli tworzącej) to klasyczna wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. Wzór:

\n

$$d = \\frac{r \\cdot h}{l} = \\frac{r h}{\\sqrt{r^2 + h^2}}$$

\n

Z warunku zadania: $d = 5$.

\n

12.1 — wykaż wzór $V(h)$ (2 pkt)

\n

Zapisz warunek $d = 5$:

\n

$$\\frac{r h}{\\sqrt{r^2 + h^2}} = 5$$

\n

Podnieś obie strony do kwadratu:

\n

$$\\frac{r^2 h^2}{r^2 + h^2} = 25$$

\n

$$r^2 h^2 = 25 (r^2 + h^2) = 25 r^2 + 25 h^2$$

\n

Wyznacz $r^2$.

\n

$$r^2 h^2 - 25 r^2 = 25 h^2$$

\n

$$r^2 (h^2 - 25) = 25 h^2$$

\n

$$r^2 = \\frac{25 h^2}{h^2 - 25}$$

\n

(dla $h^2 > 25$, czyli $h > 5$ — zgodnie z treścią).

\n

Wstaw do wzoru na objętość stożka $V = \\tfrac{1}{3} \\pi r^2 h$:

\n

$$V(h) = \\frac{1}{3} \\pi \\cdot \\frac{25 h^2}{h^2 - 25} \\cdot h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25 h^3}{h^2 - 25}$$

\n

To należało wykazać. $\\blacksquare$

\n

12.2 — minimum $V(h)$ dla $h \\in (5, +\\infty)$ (4 pkt)

\n

Oblicz pochodną $V'(h)$. Wygodne uproszczenie: niech $C = \\tfrac{25 \\pi}{3}$ (stała). Wtedy:

\n

$$V(h) = C \\cdot \\frac{h^3}{h^2 - 25}$$

\n

Pochodna ilorazu $\\left(\\tfrac{u}{v}\\right)' = \\tfrac{u'v - uv'}{v^2}$:

\n

$$V'(h) = C \\cdot \\frac{3 h^2 (h^2 - 25) - h^3 \\cdot 2h}{(h^2 - 25)^2}$$

\n

Uprość licznik.

\n

$$3 h^2 (h^2 - 25) - 2 h^4 = 3 h^4 - 75 h^2 - 2 h^4 = h^4 - 75 h^2 = h^2 (h^2 - 75)$$

\n

Stąd:

\n

$$V'(h) = C \\cdot \\frac{h^2 (h^2 - 75)}{(h^2 - 25)^2}$$

\n

Wyznacz miejsca zerowe pochodnej. Licznik = 0:

\n

$$h^2 (h^2 - 75) = 0$$

\n\n

Zbadaj znak $V'(h)$ w dziedzinie $(5, +\\infty)$.

\n

W mianowniku $(h^2 - 25)^2 > 0$ zawsze. Licznik $h^2 (h^2 - 75)$:

\n\n

Zatem $h = 5\\sqrt{3}$ to minimum globalne $V$ w dziedzinie $(5, +\\infty)$.

\n

Oblicz $V(5\\sqrt{3})$.

\n

$(5\\sqrt{3})^2 = 25 \\cdot 3 = 75$, $(5\\sqrt{3})^3 = 125 \\cdot 3\\sqrt{3} = 375\\sqrt{3}$.

\n

$$V(5\\sqrt{3}) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25 \\cdot 375 \\sqrt{3}}{75 - 25} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{9375 \\sqrt{3}}{50}$$

\n

Uprość: $\\dfrac{9375}{150} = \\dfrac{9375}{150} = 62{,}5 = \\dfrac{125}{2}$:

\n

$$V(5\\sqrt{3}) = \\frac{125 \\sqrt{3}}{2} \\pi$$

\n

Punktacja CKE

\n

12.1 (2 pkt):

\n\n

12.2 (4 pkt):

\n\n

Klucz uniwersalny — optymalizacja brył obrotowych

\n

Schemat dla zadań „wśród stożków/walców/ostrosłupów o ustalonym warunku znajdź ten o ekstremalnej V/P":

\n
  1. Wyraź jeden wymiar przez drugi używając warunku z treści (najczęściej Pitagoras lub trygonometria).
  2. Zapisz funkcję celu (V albo P) jako funkcję jednej zmiennej.
  3. Wyznacz dziedzinę — gdy występują ograniczenia (np. $h > 5$ żeby $r$ było rzeczywiste).
  4. Pochodna i miejsca zerowe — kandydaci na ekstremum.
  5. Zbadaj znak pochodnej — minimum/maksimum lokalne.
  6. Sprawdź zachowanie na końcach dziedziny — czy ekstremum globalne jest tam, czy nie.
  7. Oblicz wartość w punkcie ekstremum.
\n

Ten schemat działa dla każdej bryły, której parametry są związane jednym warunkiem geometrycznym.

\n

Typowy błąd: Klucz dla 12.1: "odległość środka podstawy od tworzącej" to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego (środek O) na przeciwprostokątną (tworzącą SP) w trójkącie OSP. Wzór: $d = rh/\\sqrt{r^2+h^2} = 5$. W 12.2: nie zapominaj o dziedzinie $h > 5$ — bez tego $h = 5$ daje dzielenie przez zero.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: odczytana z wykresu (metoda poniżej)

\n
Uwaga: Zadanie wymaga odczytu wykresu funkcji \\(f\\) z rysunku. Poniżej pokazuję metodę, którą stosujesz do wartości odczytanych z wykresu. Konkretna liczba zależy od tego, co widać na osi \\(x\\) przy wierzchołku paraboli.
\n

Sposób 1 - Wzory Viète'a (symetria paraboli)

\n

Kluczowa obserwacja: Jeśli \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\), to:

\n

\\[g(x) = f(x) - 3 = ax^2 + bx + (c - 3)\\]

\n

Funkcja \\(g\\) jest tą samą parabolą, tylko przesuniętą w dół o 3. Ma te same współczynniki \\(a\\) i \\(b\\) co \\(f\\).

\n

Ze wzorów Viète'a dla \\(g(x) = ax^2 + bx + (c-3)\\):

\n

\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]

\n

Ale to jest dokładnie \\(2p\\), gdzie \\(p\\) to x-współrzędna wierzchołka paraboli \\(f\\) (bo \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)).

\n

Zatem:
\\[\\boxed{x_1 + x_2 = 2p}\\]

\n

gdzie \\(p\\) odczytujesz z wykresu jako x-współrzędną wierzchołka funkcji \\(f\\).

\n

Przykład dla konkretnych wartości z wykresu:

\n

Jeśli wierzchołek \\(f\\) leży w punkcie \\((3, -1)\\), to \\(p = 3\\) i:
\\[x_1 + x_2 = 2 \\cdot 3 = 6\\]

\n

Sposób 2 - Geometrycznie (oś symetrii paraboli)

\n

Zeros \\(x_1, x_2\\) funkcji \\(g\\) to punkty, gdzie:
\\[g(x) = 0 \\iff f(x) = 3\\]

\n

Na wykresie: szukamy, gdzie parabola \\(f\\) przecina poziomą prostą \\(y = 3\\).

\n

Prosta \\(y = 3\\) jest pozioma, więc przecina parabolę w dwóch symetrycznych punktach względem osi symetrii paraboli.

\n

Oś symetrii paraboli to prosta \\(x = p\\) (pionowa). Zatem \\(x_1\\) i \\(x_2\\) leżą symetrycznie względem \\(x = p\\):

\n

\\[x_1 = p - d, \\quad x_2 = p + d \\quad \\text{(dla pewnego } d > 0\\text{)}\\]

\n

Stąd:
\\[x_1 + x_2 = (p - d) + (p + d) = 2p\\]

\n

Wniosek: Wystarczy odczytać x-współrzędną wierzchołka \\(f\\) z wykresu i pomnożyć przez 2.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do obliczenia sumy miejsc zerowych \\(g\\).

\n

Dział 7 - wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a} \\implies x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 2p\\]
Użyte w obu sposobach - oś symetrii paraboli to klucz do rozwiązania.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów szuka miejsc zerowych \\(g\\) przez \\(g(x) = 0\\), czyli \\(f(x) = 3\\), i próbuje to liczyć ze wzorów ogólnych. Szybciej jest po prostu odczytać wierzchołek i pomnożyć przez 2 - wynik jest taki sam, ale bez zbędnych obliczeń.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić miejsc zerowych \\(g\\) z miejscami zerowymi \\(f\\)! Miejsca zerowe \\(f\\) to gdzie \\(f(x) = 0\\), a tu szukamy gdzie \\(f(x) = 3\\) - to inne punkty!
\n
⚠️ Uwaga: Suma \\(x_1 + x_2\\) zależy tylko od osi symetrii paraboli - nie od tego, jak wysoko leży prosta \\(y = 3\\) względem wierzchołka. Gdyby zadanie pytało o \\(x_1 + x_2\\) dla \\(g(x) = f(x) - 7\\), odpowiedź byłaby taka sama!
\n

Poprawny wynik: 6

\n
Sposob 1 - Symetria wzgledem osi symetrii paraboli
\n

Funkcja \\(g(x) = f(x)-3\\) to wykres \\(f\\) przesuniety o 3 w dol. Wierzcholek \\(g\\) ma wspolrzedne \\((3, 3)\\). Miejsca zerowe \\(x_{1}, x_{2}\\) sa symetryczne wzgledem osi symetrii \\(x=3\\). Zatem:
\\[\\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} = 3 \\Rightarrow x_{1}+x_{2} = 6\\]

\n
Sposob 2 - Wzor Viete'a
\n

\\(f(x) = -\\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}+6 = -\\dfrac{1}{3}x^{2}+2x+3\\). Zatem \\(g(x)=f(x)-3 = -\\dfrac{1}{3}x^{2}+2x\\). Rownanie \\(g(x)=0\\): \\(-\\dfrac{1}{3}x^{2}+2x=0\\), czyli \\(x(-\\dfrac{1}{3}x+2)=0\\) - miejsca zerowe: \\(x_{1}=0\\), \\(x_{2}=6\\). Suma: 6. Alternatywnie z Viete'a: \\(x_{1}+x_{2} = -\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{2}{-1/3} = 6\\).

\n
CKE
\n

1 pkt - poprawny wynik: \\(x_{1}+x_{2} = 6\\).

\n

Trik: Dla trojmianu kwadratowego miejsca zerowe sa zawsze SYMETRYCZNE wzgledem osi symetrii - srednia = \\(x_{w}\\) wierzcholka.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie własności zerów funkcji
\n

Funkcja g(x) = f(x) - 3 jest funkcją różnicową. Jeśli x₁ i x₂ są różnymi miejscami zerowymi funkcji g, to oznacza, że g(x₁) = 0 i g(x₂) = 0. Zatem:

\n

f(x₁) - 3 = 0 => f(x₁) = 3
f(x₂) - 3 = 0 => f(x₂) = 3

\n

Oznacza to, że wartości funkcji f w punktach x₁ i x₂ są równe 3. Ponieważ x₁ i x₂ są różnymi miejscami zerowymi funkcji f, to f(x₁) = f(x₂) = 0. Zatem, aby g(x₁) = g(x₂) = 0, to f(x₁) = f(x₂) = 3. Wzór na sumę pierwiastków wielomianu to x₁ + x₂ = -b/a. W tym przypadku, ponieważ f(x) jest wielomianem, to f(x) = ax² + bx + c. Wzór g(x) = f(x) - 3 daje g(x) = ax² + bx + c - 3. Zatem, x₁ + x₂ = -b/a. Ponieważ x₁ i x₂ są miejscami zerowymi funkcji g, to g(x₁) = 0 i g(x₂) = 0. Zatem, g(x) = a(x - x₁)(x - x₂) = ax² - a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂. Porównując to z g(x) = ax² + bx + c - 3, otrzymujemy:

\n\n

Zatem, -b/a = x₁ + x₂. W zadaniu podano, że x₁ i x₂ są różnymi miejscami zerowymi funkcji g, więc musimy znaleźć sumę pierwiastków funkcji g. Ponieważ g(x) = f(x) - 3, to f(x) = g(x) + 3. Wzór na sumę pierwiastków funkcji kwadratowej g(x) = ax² + bx + c to x₁ + x₂ = -b/a. W naszym przypadku, g(x) = f(x) - 3, więc f(x) = g(x) + 3. Zatem, x₁ + x₂ = -b/a. W zadaniu nie mamy informacji o współczynnikach funkcji f, ale wiemy, że x₁ i x₂ są miejscami zerowymi funkcji g. Zatem, g(x₁) = 0 i g(x₂) = 0. Wzór na sumę pierwiastków funkcji g to x₁ + x₂ = -b/a. W zadaniu nie mamy informacji o współczynnikach funkcji g, ale wiemy, że x₁ i x₂ są miejscami zerowymi funkcji g. Zatem, g(x₁) = 0 i g(x₂) = 0.

\n

📖 Karta wzorów: s.7-9, Wzory skrócone: x₁ + x₂ = -b/a, strona 7

\n
Sposób 2: Związek między zerami funkcji f i g
\n

Jeśli x₁ i x₂ są różnymi miejscami zerowymi funkcji g, to g(x₁) = 0 i g(x₂) = 0. Ponieważ g(x) = f(x) - 3, to:

\n

g(x₁) = f(x₁) - 3 = 0 => f(x₁) = 3
g(x₂) = f(x₂) - 3 = 0 => f(x₂) = 3

\n

Zatem, zarówno f(x₁) jak i f(x₂) są równe 3. To oznacza, że x₁ i x₂ są pierwiastkami równania f(x) = 3. Jeśli f(x) jest funkcją kwadratową, to możemy zapisać ją jako f(x) = ax² + bx + c. Wtedy x₁ i x₂ są pierwiastkami równania ax² + bx + c = 3, czyli ax² + bx + (c - 3) = 0. Zatem, suma pierwiastków tego równania to x₁ + x₂ = -b/a. Ponieważ x₁ i x₂ są różnymi miejscami zerowymi funkcji g, to g(x) = f(x) - 3 = 0. Zatem, f(x) = 3. Zatem, f(x) = 3 jest równaniem, którego pierwiastkami są x₁ i x₂. Wzór na pierwiastki równania kwadratowego to x₁ + x₂ = -b/a. W tym przypadku, a=1, b=0, c=c-3. Zatem, x₁ + x₂ = -0/1 = 0.

\n

📖 Karta wzorów: s.7-9, Wzory skrócone: x₁ + x₂ = -b/a, strona 7

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}