{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWykaż, że objętość 𝑽 stożka, jako funkcja wysokości 𝒉 stożka, wyraża się wzorem\n𝑽(𝒉) = 𝝅\n𝟑⋅\n𝟐𝟓𝒉𝟑\n𝒉𝟐-𝟐𝟓\n12.1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości […] stożka […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np.\n1\n2 𝑟ℎ= 1\n2 ⋅5 ⋅√ℎ2 + 𝑟2, (5\n𝑟)\n2\n+ (5\nℎ)\n2\n= 1, 𝑟\n5 =\nℎ\n√ℎ2-25\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych stożków. Przyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka,\n𝐷 - środek podstawy stożka,\n𝐸 - spodek wysokości trójkąta 𝐷𝐵𝐶 opuszczonej z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐵𝐶,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\nℎ - wysokość stożka\n(zobacz rysunek).\nZapisujemy pole trójkąta 𝐷𝐵𝐶 na dwa sposoby i stosujemy twierdzenie Pitagorasa,\notrzymując:\n1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐷𝐶| = 1\n2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐷𝐸|\n𝐴\n𝐷\n𝐵\n𝐸\n𝑟\n5\nℎ\n𝐶\n1\n2 𝑟ℎ= 1\n2 ⋅√ℎ2 + 𝑟2 ⋅5\n𝑟2ℎ2 = 25ℎ2 + 25𝑟2\n𝑟2 =\n25ℎ2\nℎ2 -25\nZatem objętość 𝑉 stożka jest równa\n𝑉= 1\n3 𝜋𝑟2ℎ= 1\n3 𝜋⋅\n25ℎ2\nℎ2 -25 ⋅ℎ= 𝜋\n3 ⋅\n25ℎ3\nℎ2 -25\nTo należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: (zadanie otwarte - wykazanie)\n\nWynik końcowy:\n\\[V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}\\]\n\n## Sposób 1 - Odległość od środka podstawy do tworzącej (przekrój osiowy)\n\n**Krok 1: Wyznaczenie odległości środka podstawy od tworzącej.**\n\nRozważamy przekrój osiowy stożka - trójkąt prostokątny, w którym:\n- \\(A\\) - wierzchołek stożka,\n- \\(O\\) - środek podstawy,\n- \\(B\\) - punkt na krawędzi podstawy (koniec tworzącej).\n\nPrzyjmijmy układ współrzędnych:\n\\[O = (0, 0), \\quad A = (0, h), \\quad B = (r, 0)\\]\n\nKąt przy \\(O\\) jest prosty (wysokość prostopadle do podstawy), więc trójkąt \\(AOB\\) jest **prostokątny przy \\(O\\)**, z nogami:\n\\[|AO| = h, \\quad |OB| = r, \\quad |AB| = l = \\sqrt{h^2 + r^2}\\]\n\nTworzącą jest odcinek \\(AB\\). Odległość środka podstawy \\(O\\) od tworzącej (czyli od prostej \\(AB\\)) to **wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną**:\n\n\\[d = \\frac{|AO| \\cdot |OB|}{|AB|} = \\frac{rh}{\\sqrt{h^2 + r^2}}\\]\n\n**Krok 2: Zastosowanie warunku z treści zadania.**\n\nWiemy, że \\(d = 5\\), zatem:\n\\[\\frac{rh}{\\sqrt{h^2 + r^2}} = 5\\]\n\nPodnosimy obie strony do kwadratu:\n\\[\\frac{r^2 h^2}{h^2 + r^2} = 25\\]\n\n\\[r^2 h^2 = 25(h^2 + r^2)\\]\n\n\\[r^2 h^2 = 25h^2 + 25r^2\\]\n\n\\[r^2 h^2 - 25r^2 = 25h^2\\]\n\n\\[r^2(h^2 - 25) = 25h^2\\]\n\nStąd (dla \\(h > 5\\), więc \\(h^2 - 25 > 0\\)):\n\\[\\boxed{r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25}}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie objętości.**\n\nObjętość stożka to \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\). Podstawiamy wyznaczone \\(r^2\\):\n\n\\[V(h) = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\cdot h\\]\n\n\\[\\boxed{V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}}\\]\n\nCo należało wykazać. \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Przez sinus kąta między tworząca a podstawą\n\n**Krok 1: Oznaczenie kąta.**\n\nNiech \\(\\alpha\\) oznacza kąt między tworzącą \\(AB\\) a promieniem podstawy \\(OB\\) (kąt przy podstawie trójkąta osiowego). Wtedy:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{h}{l}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{r}{l}\\]\n\n**Krok 2: Wyrażenie odległości przez kąt.**\n\nOdległość \\(O\\) od tworzącej \\(AB\\) wynosi (ramię \\(OB\\) razy \\(\\sin\\alpha\\)):\n\\[d = r \\cdot \\sin\\alpha = r \\cdot \\frac{h}{l} = \\frac{rh}{\\sqrt{r^2 + h^2}}\\]\n\nJest to ta sama wartość co w Sposobie 1. Dalej postępujemy identycznie:\n\\[d = 5 \\implies r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\implies V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}\\]\n\n**Krok 3: Weryfikacja dziedziny.**\n\nWymagamy \\(r^2 > 0\\), co zachodzi gdy \\(h^2 - 25 > 0\\), czyli \\(h > 5\\). Zgadza się z warunkiem \\(h > 5\\) z treści.\n\nSprawdźmy np. dla \\(h = 10\\):\n\\[r^2 = \\frac{25 \\cdot 100}{100 - 25} = \\frac{2500}{75} = \\frac{100}{3}\\]\n\\[d = \\frac{rh}{\\sqrt{r^2+h^2}} = \\frac{\\sqrt{\\frac{100}{3}} \\cdot 10}{\\sqrt{\\frac{100}{3} + 100}} = \\frac{\\frac{100}{\\sqrt{3}}}{\\sqrt{\\frac{400}{3}}} = \\frac{\\frac{100}{\\sqrt{3}}}{\\frac{20}{\\sqrt{3}}} = 5 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy w Kroku 3 do wyznaczenia \\(V(h)\\) po wyznaczeniu \\(r^2\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej (zastosowana do obliczenia \\(d\\)):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nTutaj środek podstawy \\(O=(0,0)\\) od prostej wyznaczonej przez tworzącą.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - własność trójkąta prostokątnego: wysokość opuszczona na przeciwprostokątną:\n\\[h_c = \\frac{a \\cdot b}{c}\\]\ngdzie \\(a, b\\) - nogi, \\(c\\) - przeciwprostokątna. To jest serce całego rozwiązania (\\(d = rh/l\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów myli „odległość środka podstawy od tworzącej\" z długością tworzącej lub z promieniem. To jest **odległość punktu od prostej** (prostopadle!), nie odcinek wzdłuż tworzącej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podnoszeniu do kwadratu równania \\(\\frac{rh}{\\sqrt{h^2+r^2}} = 5\\) nie tracimy rozwiązań, bo \\(r, h > 0\\), więc obie strony są dodatnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(h > 5\\) nie jest \"przypadkowy\" - wynika **matematycznie** z konieczności \\(r^2 > 0\\): gdyby \\(h \\leq 5\\), to \\(r^2 \\leq 0\\), co jest niemożliwe geometrycznie. Warto to skomentować w wykazaniu.\n\n**Dowód wzoru \\(V(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^3}{h^2 - 25}\\).**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDane: stożek o wysokości \\(h > 5\\), promieniu podstawy \\(r\\), tworzącej \\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\). Odległość środka podstawy od tworzącej wynosi \\(5\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy odległość środka podstawy od tworzącej.\n\nŚrodek podstawy \\(O\\) leży na osi stożka u dołu. Tworząca to odcinek od wierzchołka \\(W = (0,0,h)\\) do punktu na okręgu podstawy, np. \\(P = (r,0,0)\\).\n\nKierunek tworzącej: \\(\\vec{d} = (r, 0, -h)\\).\n\nWektor \\(\\overrightarrow{WO} = (0, 0, -h)\\).\n\nOdległość punktu \\(O\\) od prostej tworzącej:\n\\[d = \\frac{|\\overrightarrow{WO} \\times \\vec{d}|}{|\\vec{d}|}\\]\n\n\\[\\overrightarrow{WO} \\times \\vec{d} = (0, 0, -h) \\times (r, 0, -h) = (0 \\cdot(-h) - (-h)\\cdot 0,\\; (-h)\\cdot r - 0 \\cdot (-h),\\; 0 \\cdot 0 - 0 \\cdot r) = (0, -hr, 0)\\]\n\n\\[d = \\frac{hr}{\\sqrt{r^2 + h^2}} = 5\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy \\(r^2\\) w funkcji \\(h\\):\n\\[h^2 r^2 = 25(r^2 + h^2)\\]\n\\[r^2(h^2 - 25) = 25h^2\\]\n\\[r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25}\\]\n\n(Ponieważ \\(h > 5\\), mamy \\(h^2 - 25 > 0\\), więc \\(r^2 > 0\\). ✓)\n\n**Krok 3.** Objętość stożka:\n\\[V = \\frac{\\pi}{3} r^2 h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\cdot h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^3}{h^2 - 25} \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Objętość stożka \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\), tworząca \\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.1. (0-2)
Wykaż, że objętość 𝑽 stożka, jako funkcja wysokości 𝒉 stożka, wyraża się wzorem
𝑽(𝒉) = 𝝅
𝟑⋅
𝟐𝟓𝒉𝟑
𝒉𝟐-𝟐𝟓
12.1.
0-1-2

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 12.1. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
X.5) oblicza objętości […] stożka […].
Zasady oceniania
2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
1 pkt - zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np.
1
2 𝑟ℎ= 1
2 ⋅5 ⋅√ℎ2 + 𝑟2, (5
𝑟)
2

\n\n

ℎ)
2
= 1, 𝑟
5 =
ℎ
√ℎ2-25
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Rozpatrzmy dowolny z rozważanych stożków. Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka,
𝐷 - środek podstawy stożka,
𝐸 - spodek wysokości trójkąta 𝐷𝐵𝐶 opuszczonej z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐵𝐶,
𝑟 - promień podstawy stożka,
ℎ - wysokość stożka
(zobacz rysunek).
Zapisujemy pole trójkąta 𝐷𝐵𝐶 na dwa sposoby i stosujemy twierdzenie Pitagorasa,
otrzymując:
1
2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐷𝐶| = 1
2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐷𝐸|
𝐴
𝐷
𝐵
𝐸
𝑟
5
ℎ
𝐶
1
2 𝑟ℎ= 1
2 ⋅√ℎ2 + 𝑟2 ⋅5
𝑟2ℎ2 = 25ℎ2 + 25𝑟2
𝑟2 =
25ℎ2
ℎ2 -25
Zatem objętość 𝑉 stożka jest równa
𝑉= 1
3 𝜋𝑟2ℎ= 1
3 𝜋⋅
25ℎ2
ℎ2 -25 ⋅ℎ= 𝜋
3 ⋅
25ℎ3
ℎ2 -25
To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: (zadanie otwarte - wykazanie)

\n

Wynik końcowy:
\\[V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}\\]

\n

Sposób 1 - Odległość od środka podstawy do tworzącej (przekrój osiowy)

\n

Krok 1: Wyznaczenie odległości środka podstawy od tworzącej.

\n

Rozważamy przekrój osiowy stożka - trójkąt prostokątny, w którym:

\n\n

Przyjmijmy układ współrzędnych:
\\[O = (0, 0), \\quad A = (0, h), \\quad B = (r, 0)\\]

\n

Kąt przy \\(O\\) jest prosty (wysokość prostopadle do podstawy), więc trójkąt \\(AOB\\) jest prostokątny przy \\(O\\), z nogami:
\\[|AO| = h, \\quad |OB| = r, \\quad |AB| = l = \\sqrt{h^2 + r^2}\\]

\n

Tworzącą jest odcinek \\(AB\\). Odległość środka podstawy \\(O\\) od tworzącej (czyli od prostej \\(AB\\)) to wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną:

\n

\\[d = \\frac{|AO| \\cdot |OB|}{|AB|} = \\frac{rh}{\\sqrt{h^2 + r^2}}\\]

\n

Krok 2: Zastosowanie warunku z treści zadania.

\n

Wiemy, że \\(d = 5\\), zatem:
\\[\\frac{rh}{\\sqrt{h^2 + r^2}} = 5\\]

\n

Podnosimy obie strony do kwadratu:
\\[\\frac{r^2 h^2}{h^2 + r^2} = 25\\]

\n

\\[r^2 h^2 = 25(h^2 + r^2)\\]

\n

\\[r^2 h^2 = 25h^2 + 25r^2\\]

\n

\\[r^2 h^2 - 25r^2 = 25h^2\\]

\n

\\[r^2(h^2 - 25) = 25h^2\\]

\n

Stąd (dla \\(h > 5\\), więc \\(h^2 - 25 > 0\\)):
\\[\\boxed{r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25}}\\]

\n

Krok 3: Wyznaczenie objętości.

\n

Objętość stożka to \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\). Podstawiamy wyznaczone \\(r^2\\):

\n

\\[V(h) = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\cdot h\\]

\n

\\[\\boxed{V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}}\\]

\n

Co należało wykazać. \\(\\square\\)

\n

Sposób 2 - Przez sinus kąta między tworząca a podstawą

\n

Krok 1: Oznaczenie kąta.

\n

Niech \\(\\alpha\\) oznacza kąt między tworzącą \\(AB\\) a promieniem podstawy \\(OB\\) (kąt przy podstawie trójkąta osiowego). Wtedy:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{h}{l}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{r}{l}\\]

\n

Krok 2: Wyrażenie odległości przez kąt.

\n

Odległość \\(O\\) od tworzącej \\(AB\\) wynosi (ramię \\(OB\\) razy \\(\\sin\\alpha\\)):
\\[d = r \\cdot \\sin\\alpha = r \\cdot \\frac{h}{l} = \\frac{rh}{\\sqrt{r^2 + h^2}}\\]

\n

Jest to ta sama wartość co w Sposobie 1. Dalej postępujemy identycznie:
\\[d = 5 \\implies r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\implies V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}\\]

\n

Krok 3: Weryfikacja dziedziny.

\n

Wymagamy \\(r^2 > 0\\), co zachodzi gdy \\(h^2 - 25 > 0\\), czyli \\(h > 5\\). Zgadza się z warunkiem \\(h > 5\\) z treści.

\n

Sprawdźmy np. dla \\(h = 10\\):
\\[r^2 = \\frac{25 \\cdot 100}{100 - 25} = \\frac{2500}{75} = \\frac{100}{3}\\]
\\[d = \\frac{rh}{\\sqrt{r^2+h^2}} = \\frac{\\sqrt{\\frac{100}{3}} \\cdot 10}{\\sqrt{\\frac{100}{3} + 100}} = \\frac{\\frac{100}{\\sqrt{3}}}{\\sqrt{\\frac{400}{3}}} = \\frac{\\frac{100}{\\sqrt{3}}}{\\frac{20}{\\sqrt{3}}} = 5 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzór na objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
Użyliśmy w Kroku 3 do wyznaczenia \\(V(h)\\) po wyznaczeniu \\(r^2\\).

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - odległość punktu od prostej (zastosowana do obliczenia \\(d\\)):
\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]
Tutaj środek podstawy \\(O=(0,0)\\) od prostej wyznaczonej przez tworzącą.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - własność trójkąta prostokątnego: wysokość opuszczona na przeciwprostokątną:
\\[h_c = \\frac{a \\cdot b}{c}\\]
gdzie \\(a, b\\) - nogi, \\(c\\) - przeciwprostokątna. To jest serce całego rozwiązania (\\(d = rh/l\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów myli „odległość środka podstawy od tworzącej" z długością tworzącej lub z promieniem. To jest odległość punktu od prostej (prostopadle!), nie odcinek wzdłuż tworzącej.
\n
⚠️ Uwaga: Przy podnoszeniu do kwadratu równania \\(\\frac{rh}{\\sqrt{h^2+r^2}} = 5\\) nie tracimy rozwiązań, bo \\(r, h > 0\\), więc obie strony są dodatnie.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(h > 5\\) nie jest "przypadkowy" - wynika matematycznie z konieczności \\(r^2 > 0\\): gdyby \\(h \\leq 5\\), to \\(r^2 \\leq 0\\), co jest niemożliwe geometrycznie. Warto to skomentować w wykazaniu.
\n

Dowód wzoru \\(V(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^3}{h^2 - 25}\\).

\n

Rozwiązanie:

\n

Dane: stożek o wysokości \\(h > 5\\), promieniu podstawy \\(r\\), tworzącej \\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\). Odległość środka podstawy od tworzącej wynosi \\(5\\).

\n

Krok 1. Wyznaczamy odległość środka podstawy od tworzącej.

\n

Środek podstawy \\(O\\) leży na osi stożka u dołu. Tworząca to odcinek od wierzchołka \\(W = (0,0,h)\\) do punktu na okręgu podstawy, np. \\(P = (r,0,0)\\).

\n

Kierunek tworzącej: \\(\\vec{d} = (r, 0, -h)\\).

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{WO} = (0, 0, -h)\\).

\n

Odległość punktu \\(O\\) od prostej tworzącej:
\\[d = \\frac{|\\overrightarrow{WO} \\times \\vec{d}|}{|\\vec{d}|}\\]

\n

\\[\\overrightarrow{WO} \\times \\vec{d} = (0, 0, -h) \\times (r, 0, -h) = (0 \\cdot(-h) - (-h)\\cdot 0,\\; (-h)\\cdot r - 0 \\cdot (-h),\\; 0 \\cdot 0 - 0 \\cdot r) = (0, -hr, 0)\\]

\n

\\[d = \\frac{hr}{\\sqrt{r^2 + h^2}} = 5\\]

\n

Krok 2. Wyznaczamy \\(r^2\\) w funkcji \\(h\\):
\\[h^2 r^2 = 25(r^2 + h^2)\\]
\\[r^2(h^2 - 25) = 25h^2\\]
\\[r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25}\\]

\n

(Ponieważ \\(h > 5\\), mamy \\(h^2 - 25 > 0\\), więc \\(r^2 > 0\\). ✓)

\n

Krok 3. Objętość stożka:
\\[V = \\frac{\\pi}{3} r^2 h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\cdot h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^3}{h^2 - 25} \\quad \\blacksquare\\]

\n

Użyte wzory z karty CKE: Objętość stożka \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\), tworząca \\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód matematyczny.

"}]}