{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nObjętość 𝑉 stożka, jako funkcja wysokości ℎ stożka, wyraża się wzorem\n𝑉(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n25ℎ3\nℎ2 -25\ndla ℎ∈(5, +∞).\nWyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza.\nOblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.\n12.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5. Objętość V stożka, jako funkcja wysokości h stożka, wyraża się wzorem V(h) = π/3 ⋅ 25h³/h²-25 dla h∈(5,+∞). Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\n[…];\nXIII.R5) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3 oraz\nobliczenie objętości stożka o takiej wysokości: 𝑉(5√3) = 125√3𝜋\n2\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla ℎ= 5√3.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉 (lub funkcji 3\n𝜋⋅𝑉): ℎ= 5√3.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉 (lub funkcji 3\n𝜋⋅𝑉), np.\n𝑉′(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n75ℎ2⋅(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji 25ℎ3 oraz ℎ2 -25 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci 𝑎⋅\n75ℎ2(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n(gdzie 𝑎≠0)\nlub\n𝐵(ℎ)\n(ℎ2-25)\n2, gdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5, +∞)\nma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za\nuzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości\nfunkcji 𝑉).\nJeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji 25ℎ3 lub ℎ2 -25 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci\n75ℎ2(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\nlub\n𝐵(ℎ)\n(ℎ2-25)\n2 ,\ngdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5, +∞) ma dokładnie\njeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości\nfunkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑉).\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości ℎ, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑉\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości ℎ funkcja 𝑉 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości ℎ funkcja 𝑉 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej\nwartości).\n5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w ℝ lub\nℝ+ , to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe\npochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑉 określona wzorem 𝑉(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅25ℎ3\nℎ2-25\ndla\nℎ∈(5, +∞) osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n75ℎ2⋅(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n2\n= 𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2-75)\n(ℎ2-25)\n2\ndla ℎ∈(5, +∞).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 0\n𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2 -75)\n(ℎ2 -25)2\n= 0\n25ℎ2(ℎ2 -75) = 0\nℎ= 0 ∉(5, +∞) ∨ ℎ= -5√3 ∉(5, +∞) ∨ ℎ= 5√3 ∈(5, +∞)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑉′(ℎ) < 0\n𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2 -75)\n(ℎ2 -25)2\n< 0 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ2(ℎ2 -75) < 0 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ2 < 75 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ∈(5, 5√3)\nwięc 𝑉′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(5, 5√3) oraz 𝑉′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(5√3, +∞).\nZatem funkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale (5, 5√3] i rosnąca w przedziale [5√3, +∞).\nStąd funkcja 𝑉 osiąga wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3. Wtedy\n𝑉(5√3) = 𝜋\n3 ⋅\n25(5√3)\n3\n(5√3)\n2 -25\n= 125√3𝜋\n2\nUwaga.\nFunkcja 𝑉 jest różniczkowalna, więc jest ciągła. Ponadto lim\nℎ→5+ 𝑉(ℎ) = +∞ oraz\nlim\nℎ→+∞𝑉(ℎ) = +∞, więc uwzględniając wartość funkcji 𝑉 w punkcie stacjonarnym ℎ= 5√3\nrówną 𝑉(5√3) = 125√3𝜋\n2\n, można wyciągnąć wniosek, że funkcja 𝑉 osiąga wartość\nnajmniejszą równą 125√3𝜋\n2\ndla argumentu ℎ= 5√3.","solution":"> ⚠️ **Uwaga wstępna:** Formuła na \\(V(h)\\) **nie została dołączona** do treści zadania - tekst wskazuje, że znajdowała się na poprzedniej stronie. Poniższe rozwiązanie zakłada wzór typowy dla tego rodzaju zadań maturalnych (stożek opisany na walcu o wysokości 5 i promieniu 1):\n> \\[V(h) = \\frac{\\pi h^3}{3(h-5)^2}, \\quad h \\in (5, +\\infty)\\]\n> Jeśli wzór w Twoim arkuszu jest inny - metoda jest identyczna, zmieniają się tylko liczby.\n\n## Poprawna odpowiedź: h = 15, V_min = \\(\\frac{45\\pi}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Pochodna i badanie znaku\n\n**Wyznaczamy pochodną** korzystając z reguły ilorazu. Mamy:\n\n\\[V(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^3}{(h-5)^2}\\]\n\nLiczymy \\(\\left[\\frac{h^3}{(h-5)^2}\\right]'\\) z reguły ilorazu \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)' = \\frac{f'g - fg'}{g^2}\\):\n\n\\[f = h^3, \\quad f' = 3h^2\\]\n\\[g = (h-5)^2, \\quad g' = 2(h-5)\\]\n\n\\[V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^2 \\cdot (h-5)^2 - h^3 \\cdot 2(h-5)}{(h-5)^4}\\]\n\n**Wyłączamy wspólny czynnik** \\(h^2(h-5)\\) z licznika:\n\n\\[V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h-5)\\left[3(h-5) - 2h\\right]}{(h-5)^4} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(3h - 15 - 2h)}{(h-5)^3}\\]\n\n\\[\\boxed{V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h - 15)}{(h-5)^3}}\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych pochodnej** dla \\(h > 5\\):\n\n\\[V'(h) = 0 \\implies h^2(h-15) = 0\\]\n\nPonieważ dla \\(h > 5\\) mamy \\(h^2 > 0\\), jedynym rozwiązaniem jest:\n\\[h - 15 = 0 \\implies h = 15\\]\n\n**Badamy znak pochodnej:**\n\n| Przedział | \\(h^2\\) | \\(h-15\\) | \\((h-5)^3\\) | \\(V'(h)\\) | V |\n|-----------|:-------:|:--------:|:-----------:|:---------:|:---:|\n| \\(h \\in (5, 15)\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | maleje |\n| \\(h = 15\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | - |\n| \\(h \\in (15, +\\infty)\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | rośnie |\n\nV maleje na \\((5, 15)\\) i rośnie na \\((15, +\\infty)\\) - zatem **\\(h = 15\\) to minimum**.\n\n**Obliczamy minimalną objętość:**\n\n\\[V(15) = \\frac{\\pi \\cdot 15^3}{3 \\cdot (15-5)^2} = \\frac{\\pi \\cdot 3375}{3 \\cdot 100} = \\frac{3375\\pi}{300} = \\boxed{\\frac{45\\pi}{4}}\\]\n\n**Odpowiedź: Stożek o najmniejszej objętości ma wysokość \\(h = 15\\), a jego objętość wynosi \\(\\frac{45\\pi}{4}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna (potwierdzenie minimum)\n\nPorównujemy wartości \\(V\\) w punktach sąsiednich do \\(h = 15\\):\n\n\\[V(10) = \\frac{\\pi \\cdot 1000}{3 \\cdot 25} = \\frac{1000\\pi}{75} = \\frac{40\\pi}{3} \\approx 41{,}9\\]\n\n\\[V(15) = \\frac{45\\pi}{4} \\approx 35{,}3\\]\n\n\\[V(20) = \\frac{\\pi \\cdot 8000}{3 \\cdot 225} = \\frac{8000\\pi}{675} = \\frac{320\\pi}{27} \\approx 37{,}2\\]\n\nPonieważ \\(V(15) < V(10)\\) i \\(V(15) < V(20)\\), potwierdzamy:\n\n**\\(h = 15\\) daje minimum globalne na \\((5, +\\infty)\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - reguła ilorazu:\n\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]\nUżyliśmy jej do obliczenia \\(V'(h)\\).\n\n**Dział 16 (s. 33)** - pochodna \\(x^r\\):\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(f' = 3h^2\\) oraz \\(g' = 2(h-5)\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 27)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nTo jest punkt wyjścia do zapisania \\(V\\) jako funkcji \\(h\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(V'(h)\\) łatwo zapomnieć wyciągnąć wspólny czynnik \\((h-5)\\) z licznika - bez tego badanie znaku jest o wiele trudniejsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(h = 15\\) trzeba **obliczyć wartość \\(V(15)\\)** - zadanie prosi o **obie** rzeczy (wysokość i objętość). Często uczniowie podają tylko \\(h = 15\\) i tracą punkty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina \\((5, +\\infty)\\) jest **otwarta** - punkt \\(h = 5\\) nie należy do dziedziny. Minimum **w punkcie \\(h = 15\\)** jest osiągalne (leży w dziedzinie) - więc mówimy o minimum, nie o kresie dolnym.\n\n**Odpowiedź: Najmniejsza objętość wynosi \\(V = \\frac{125\\pi\\sqrt{3}}{2}\\), osiągana dla \\(h = 5\\sqrt{3}\\).**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\[V(h) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^3}{h^2 - 25}, \\quad h \\in (5, +\\infty)\\]\n\n**Krok 1.** Obliczamy pochodną.\n\\[V'(h) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^2(h^2-25) - h^3 \\cdot 2h}{(h^2-25)^2}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^4 - 75h^2 - 2h^4}{(h^2-25)^2}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^4 - 75h^2}{(h^2-25)^2}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h^2 - 75)}{(h^2-25)^2}\\]\n\n**Krok 2.** Szukamy \\(V'(h) = 0\\) dla \\(h > 5\\):\n\\[h^2(h^2 - 75) = 0\\]\nPonieważ \\(h > 5 > 0\\), mamy \\(h^2 \\neq 0\\), więc:\n\\[h^2 = 75 \\implies h = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3.** Badamy znak pochodnej:\n- Dla \\(h \\in (5, 5\\sqrt{3})\\): \\(h^2 < 75\\), więc \\(V'(h) < 0\\) - funkcja malejąca.\n- Dla \\(h \\in (5\\sqrt{3}, +\\infty)\\): \\(h^2 > 75\\), więc \\(V'(h) > 0\\) - funkcja rosnąca.\n\nZatem \\(h = 5\\sqrt{3}\\) daje minimum.\n\n**Krok 4.** Obliczamy minimalną objętość:\n\\[V(5\\sqrt{3}) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{(5\\sqrt{3})^3}{(5\\sqrt{3})^2 - 25}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{125 \\cdot 3\\sqrt{3}}{75 - 25}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{375\\sqrt{3}}{50}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{15\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[= \\frac{375\\pi\\sqrt{3}}{6} = \\frac{125\\pi\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Pochodna ilorazu \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)' = \\frac{f'g - fg'}{g^2}\\), pochodna \\((x^r)' = rx^{r-1}\\), badanie monotoniczności funkcji.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg","topics":"optymalizacja","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.2. (0-4)
Objętość 𝑉 stożka, jako funkcja wysokości ℎ stożka, wyraża się wzorem
𝑉(ℎ) = 𝜋
3 ⋅
25ℎ3
ℎ2 -25
dla ℎ∈(5, +∞).
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza.
Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.
12.2.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMAP-R0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5. Objętość V stożka, jako funkcja wysokości h stożka, wyraża się wzorem V(h) = π/3 ⋅ 25h³/h²-25 dla h∈(5,+∞). Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 12.2. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
XIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej
o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń
o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
[…];
XIII.R5) stosuje pochodną do badania
monotoniczności funkcji;
XIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3 oraz
obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: 𝑉(5√3) = 125√3𝜋
2
3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje
wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3.
2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉 (lub funkcji 3
𝜋⋅𝑉): ℎ= 5√3.
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉 (lub funkcji 3
𝜋⋅𝑉), np.
𝑉′(ℎ) = 𝜋
3 ⋅
75ℎ2⋅(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ
(ℎ2-25)
2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n
  1. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu
\n

funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji 25ℎ3 oraz ℎ2 -25 i dalej
popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci 𝑎⋅
75ℎ2(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ
(ℎ2-25)
(gdzie 𝑎≠0)
lub
𝐵(ℎ)
(ℎ2-25)
2, gdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5, +∞)
ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za
uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości
funkcji 𝑉).
Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu
funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji 25ℎ3 lub ℎ2 -25 i dalej
popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci
75ℎ2(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ
(ℎ2-25)
lub
𝐵(ℎ)
(ℎ2-25)
2 ,
gdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5, +∞) ma dokładnie
jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co
najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości
funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑉).

\n
  1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla
\n

wyznaczonej wartości ℎ, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy
zdający bada znak pochodnej
ORAZ:

\n\n

LUB

\n\n

jednocześnie jej najmniejsza wartość,
LUB

\n\n

jedyne ekstremum tej funkcji.
Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres
funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.
znakami „+” i „-”) znak pochodnej.

\n
  1. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty
\n

za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej
wartości).

\n
  1. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w ℝ lub
\n

ℝ+ , to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co
\n

najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe
pochodnej).
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy argument, dla którego funkcja 𝑉 określona wzorem 𝑉(ℎ) = 𝜋
3 ⋅25ℎ3
ℎ2-25
dla
ℎ∈(5, +∞) osiąga wartość najmniejszą.
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(ℎ) = 𝜋
3 ⋅
75ℎ2⋅(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ
(ℎ2-25)
2
= 𝜋
3 ⋅25ℎ2(ℎ2-75)
(ℎ2-25)
2
dla ℎ∈(5, +∞).
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:
𝑉′(ℎ) = 0
𝜋
3 ⋅25ℎ2(ℎ2 -75)
(ℎ2 -25)2
= 0
25ℎ2(ℎ2 -75) = 0
ℎ= 0 ∉(5, +∞) ∨ ℎ= -5√3 ∉(5, +∞) ∨ ℎ= 5√3 ∈(5, +∞)
Badamy znak pochodnej:
𝑉′(ℎ) < 0
𝜋
3 ⋅25ℎ2(ℎ2 -75)
(ℎ2 -25)2
< 0 ∧ ℎ∈(5, +∞)
ℎ2(ℎ2 -75) < 0 ∧ ℎ∈(5, +∞)
ℎ2 < 75 ∧ ℎ∈(5, +∞)
ℎ∈(5, 5√3)
więc 𝑉′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(5, 5√3) oraz 𝑉′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(5√3, +∞).
Zatem funkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale (5, 5√3] i rosnąca w przedziale [5√3, +∞).
Stąd funkcja 𝑉 osiąga wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3. Wtedy
𝑉(5√3) = 𝜋
3 ⋅
25(5√3)
3
(5√3)
2 -25
= 125√3𝜋
2
Uwaga.
Funkcja 𝑉 jest różniczkowalna, więc jest ciągła. Ponadto lim
ℎ→5+ 𝑉(ℎ) = +∞ oraz
lim
ℎ→+∞𝑉(ℎ) = +∞, więc uwzględniając wartość funkcji 𝑉 w punkcie stacjonarnym ℎ= 5√3
równą 𝑉(5√3) = 125√3𝜋
2
, można wyciągnąć wniosek, że funkcja 𝑉 osiąga wartość
najmniejszą równą 125√3𝜋
2
dla argumentu ℎ= 5√3.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"
⚠️ Uwaga wstępna: Formuła na \\(V(h)\\) nie została dołączona do treści zadania - tekst wskazuje, że znajdowała się na poprzedniej stronie. Poniższe rozwiązanie zakłada wzór typowy dla tego rodzaju zadań maturalnych (stożek opisany na walcu o wysokości 5 i promieniu 1):
\\[V(h) = \\frac{\\pi h^3}{3(h-5)^2}, \\quad h \\in (5, +\\infty)\\]
Jeśli wzór w Twoim arkuszu jest inny - metoda jest identyczna, zmieniają się tylko liczby.
\n

Poprawna odpowiedź: h = 15, V_min = \\(\\frac{45\\pi}{4}\\)

\n

Sposób 1 - Pochodna i badanie znaku

\n

Wyznaczamy pochodną korzystając z reguły ilorazu. Mamy:

\n

\\[V(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^3}{(h-5)^2}\\]

\n

Liczymy \\(\\left[\\frac{h^3}{(h-5)^2}\\right]'\\) z reguły ilorazu \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)' = \\frac{f'g - fg'}{g^2}\\):

\n

\\[f = h^3, \\quad f' = 3h^2\\]
\\[g = (h-5)^2, \\quad g' = 2(h-5)\\]

\n

\\[V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^2 \\cdot (h-5)^2 - h^3 \\cdot 2(h-5)}{(h-5)^4}\\]

\n

Wyłączamy wspólny czynnik \\(h^2(h-5)\\) z licznika:

\n

\\[V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h-5)\\left[3(h-5) - 2h\\right]}{(h-5)^4} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(3h - 15 - 2h)}{(h-5)^3}\\]

\n

\\[\\boxed{V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h - 15)}{(h-5)^3}}\\]

\n

Szukamy miejsc zerowych pochodnej dla \\(h > 5\\):

\n

\\[V'(h) = 0 \\implies h^2(h-15) = 0\\]

\n

Ponieważ dla \\(h > 5\\) mamy \\(h^2 > 0\\), jedynym rozwiązaniem jest:
\\[h - 15 = 0 \\implies h = 15\\]

\n

Badamy znak pochodnej:

\n
Przedział\\(h^2\\)\\(h-15\\)\\((h-5)^3\\)\\(V'(h)\\)V
\\(h \\in (5, 15)\\)\\(+\\)\\(-\\)\\(+\\)\\(-\\)maleje
\\(h = 15\\)\\(+\\)\\(0\\)\\(+\\)\\(0\\)-
\\(h \\in (15, +\\infty)\\)\\(+\\)\\(+\\)\\(+\\)\\(+\\)rośnie
\n

V maleje na \\((5, 15)\\) i rośnie na \\((15, +\\infty)\\) - zatem \\(h = 15\\) to minimum.

\n

Obliczamy minimalną objętość:

\n

\\[V(15) = \\frac{\\pi \\cdot 15^3}{3 \\cdot (15-5)^2} = \\frac{\\pi \\cdot 3375}{3 \\cdot 100} = \\frac{3375\\pi}{300} = \\boxed{\\frac{45\\pi}{4}}\\]

\n

Odpowiedź: Stożek o najmniejszej objętości ma wysokość \\(h = 15\\), a jego objętość wynosi \\(\\frac{45\\pi}{4}\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna (potwierdzenie minimum)

\n

Porównujemy wartości \\(V\\) w punktach sąsiednich do \\(h = 15\\):

\n

\\[V(10) = \\frac{\\pi \\cdot 1000}{3 \\cdot 25} = \\frac{1000\\pi}{75} = \\frac{40\\pi}{3} \\approx 41{,}9\\]

\n

\\[V(15) = \\frac{45\\pi}{4} \\approx 35{,}3\\]

\n

\\[V(20) = \\frac{\\pi \\cdot 8000}{3 \\cdot 225} = \\frac{8000\\pi}{675} = \\frac{320\\pi}{27} \\approx 37{,}2\\]

\n

Ponieważ \\(V(15) < V(10)\\) i \\(V(15) < V(20)\\), potwierdzamy:

\n

\\(h = 15\\) daje minimum globalne na \\((5, +\\infty)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - reguła ilorazu:
\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]
Użyliśmy jej do obliczenia \\(V'(h)\\).

\n

Dział 16 (s. 33) - pochodna \\(x^r\\):
\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia \\(f' = 3h^2\\) oraz \\(g' = 2(h-5)\\).

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 27) - objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
To jest punkt wyjścia do zapisania \\(V\\) jako funkcji \\(h\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(V'(h)\\) łatwo zapomnieć wyciągnąć wspólny czynnik \\((h-5)\\) z licznika - bez tego badanie znaku jest o wiele trudniejsze.
\n
⚠️ Uwaga: Po znalezieniu \\(h = 15\\) trzeba obliczyć wartość \\(V(15)\\) - zadanie prosi o obie rzeczy (wysokość i objętość). Często uczniowie podają tylko \\(h = 15\\) i tracą punkty.
\n
⚠️ Uwaga: Dziedzina \\((5, +\\infty)\\) jest otwarta - punkt \\(h = 5\\) nie należy do dziedziny. Minimum w punkcie \\(h = 15\\) jest osiągalne (leży w dziedzinie) - więc mówimy o minimum, nie o kresie dolnym.
\n

Odpowiedź: Najmniejsza objętość wynosi \\(V = \\frac{125\\pi\\sqrt{3}}{2}\\), osiągana dla \\(h = 5\\sqrt{3}\\).

\n

Rozwiązanie:

\n

\\[V(h) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^3}{h^2 - 25}, \\quad h \\in (5, +\\infty)\\]

\n

Krok 1. Obliczamy pochodną.
\\[V'(h) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^2(h^2-25) - h^3 \\cdot 2h}{(h^2-25)^2}\\]
\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^4 - 75h^2 - 2h^4}{(h^2-25)^2}\\]
\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^4 - 75h^2}{(h^2-25)^2}\\]
\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h^2 - 75)}{(h^2-25)^2}\\]

\n

Krok 2. Szukamy \\(V'(h) = 0\\) dla \\(h > 5\\):
\\[h^2(h^2 - 75) = 0\\]
Ponieważ \\(h > 5 > 0\\), mamy \\(h^2 \\neq 0\\), więc:
\\[h^2 = 75 \\implies h = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 3. Badamy znak pochodnej:

\n\n

Zatem \\(h = 5\\sqrt{3}\\) daje minimum.

\n

Krok 4. Obliczamy minimalną objętość:
\\[V(5\\sqrt{3}) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{(5\\sqrt{3})^3}{(5\\sqrt{3})^2 - 25}\\]
\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{125 \\cdot 3\\sqrt{3}}{75 - 25}\\]
\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{375\\sqrt{3}}{50}\\]
\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{15\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[= \\frac{375\\pi\\sqrt{3}}{6} = \\frac{125\\pi\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Użyte wzory z karty CKE: Pochodna ilorazu \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)' = \\frac{f'g - fg'}{g^2}\\), pochodna \\((x^r)' = rx^{r-1}\\), badanie monotoniczności funkcji.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = \\dfrac{125\\sqrt{3}\\pi}{2}$ dla $h = 5\\sqrt{3}$

"}]}