{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (3 -m)x-4 . Funkcja f nie ma miejsca zerowego dla m równego A.** (-3)\n\nA. \\((-3)\\)\nB. \\(0\\)\nC. \\(3\\)\nD. \\(4\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (m = 3)\n\n## Sposób 1 - Warunek braku miejsca zerowego funkcji liniowej\n\n**Kluczowa obserwacja:** Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a \\neq 0\\). Jeśli \\(a = 0\\), funkcja jest stała: \\(f(x) = b\\) - i nigdy nie przyjmuje wartości zero (o ile \\(b \\neq 0\\)).\n\nW naszym przypadku:\n\\[f(x) = (3 - m)x - 4\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = 3 - m\\), wyraz wolny: \\(b = -4\\).\n\nSzukamy \\(m\\) takiego, żeby funkcja **nie miała miejsca zerowego**. To znaczy:\n\\[a = 0 \\quad \\text{i} \\quad b \\neq 0\\]\n\nSprawdzamy:\n\\[3 - m = 0\\]\n\\[m = 3\\]\n\nWyraz wolny \\(b = -4 \\neq 0\\) - warunek spełniony.\n\n**Dla \\(m = 3\\)** funkcja staje się:\n\\[f(x) = (3 - 3)x - 4 = 0 \\cdot x - 4 = -4\\]\n\nJest to funkcja stała \\(f(x) = -4\\), której wykres to pozioma prosta poniżej osi \\(OX\\) - **nie przecina osi** \\(OX\\), więc nie ma miejsca zerowego.\n\n**Odpowiedź: \\(m = 3\\)** - czyli opcja **C**.\n\n## Sposób 2 - Próba wyznaczenia miejsca zerowego i analiza\n\nSzukamy miejsca zerowego: \\(f(x) = 0\\):\n\\[(3 - m)x - 4 = 0\\]\n\\[(3 - m)x = 4\\]\n\nTeraz próbujemy podzielić obie strony przez \\((3 - m)\\):\n\\[x = \\frac{4}{3 - m}\\]\n\nTen podział jest **legalny tylko wtedy, gdy \\(3 - m \\neq 0\\)**. Wtedy zawsze istnieje dokładnie jedno miejsce zerowe.\n\nKiedy \\(3 - m = 0\\), czyli **\\(m = 3\\)**, równanie przyjmuje postać:\n\\[0 \\cdot x = 4 \\quad \\Longrightarrow \\quad 0 = 4\\]\n\nTo **sprzeczność** - równanie nie ma żadnego rozwiązania, a więc funkcja nie ma miejsca zerowego.\n\n**Wynik:** \\(m = 3\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek istnienia miejsca zerowego (podstawowe działania algebraiczne).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowa wartość \\(m\\) | Błąd |\n| A | np. \\(m = 0\\) | Dla \\(m=0\\): \\(f(x) = 3x - 4\\), zero istnieje: \\(x = \\frac{4}{3}\\) |\n| B | np. \\(m = 1\\) | Dla \\(m=1\\): \\(f(x) = 2x - 4\\), zero istnieje: \\(x = 2\\) |\n| D | np. \\(m = 4\\) | Dla \\(m=4\\): \\(f(x) = -x - 4\\), zero istnieje: \\(x = -4\\) |\n\nWe wszystkich tych przypadkach współczynnik kierunkowy \\(a = 3 - m \\neq 0\\), więc funkcja **jest naprawdę liniowa** i zawsze przecina oś \\(OX\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) to szczególny przypadek - musi być \\(a \\neq 0\\). Gdy \\(a = 0\\), mówimy o funkcji stałej. Wielu uczniów zapomina, że właśnie wtedy nie ma miejsca zerowego (o ile \\(b \\neq 0\\)). Gdyby \\(b\\) też było równe zero, funkcja byłaby tożsamościowo równa zeru i każde \\(x\\) byłoby miejscem zerowym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"brak miejsca zerowego\" z \"ujemne miejsce zerowe\". Funkcja może mieć miejsce zerowe dla ujemnego \\(x\\) - nadal **ma** miejsce zerowe, po prostu jest ono ujemne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **oba** warunki: czy współczynnik przy \\(x\\) jest zerem (\\(a = 0\\)) **i** czy wyraz wolny nie jest zerem (\\(b \\neq 0\\)). Gdyby \\(f(x) = 0 \\cdot x + 0\\), to każda liczba byłaby miejscem zerowym - zupełnie inna sytuacja!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposob 1 - Warunek braku miejsca zerowego\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax+b\\) nie ma miejsca zerowego, gdy \\(a=0\\) oraz \\(b \\neq 0\\) (wtedy jest pozioma linia \\(y=b\\)).\nTutaj \\(a = 3-m\\) i \\(b = -4\\). Warunki:\n- \\(3-m = 0 \\Rightarrow m = 3\\)\n- \\(-4 \\neq 0\\) - zawsze spelnione.\n\nZatem \\(m=3\\).\n\n### Sposob 2 - Sprawdzenie bezposrednie\nDla \\(m=3\\): \\(f(x) = 0\\cdot x - 4 = -4\\) - to funkcja stala, brak miejsca zerowego.\nDla pozostalych \\(m\\): wspolczynnik przy \\(x\\) jest niezerowy, wiec \\(f\\) ma miejsce zerowe \\(x = \\dfrac{4}{3-m}\\).\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (\\(-3\\)): \\(f(x)=6x-4\\), miejsce zerowe \\(x=2/3\\).\n- **B** (0): \\(f(x)=3x-4\\), miejsce zerowe \\(x=4/3\\).\n- **D** (4): \\(f(x)=-x-4\\), miejsce zerowe \\(x=-4\\).\n\n**Trik:** Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego tylko gdy jest STALA niezerowa - czyli \\(a=0, b \\neq 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza funkcji i znalezienie miejsca zerowego\nFunkcja liniowa f(x) = (3 - m)x - 4 ma miejsce zerowe, gdy f(x) = 0. Zatem:\n(3 - m)x - 4 = 0\n\nRozwiązujemy równanie dla x:\n(3 - m)x = 4\nx = 4 / (3 - m)\n\nAby funkcja miała miejsce zerowe, musi istnieć takie m, dla którego x = 0. Zatem:\n0 = 4 / (3 - m)\n\nAby to równanie było prawdziwe, m musi być takie, aby ułamek był równy zero. Jedynym sposobem na to jest, aby licznik był równy zero, a mianownik różny od zera. W tym przypadku licznik jest zawsze równy 4, więc nigdy nie będzie równy zero. Zatem, żadna wartość m nie sprawi, że funkcja będzie miała miejsce zerowe. Jednakże, zadanie mówi, że funkcja *nie ma* miejsca zerowego dla m równego A. W tym przypadku A = 3, więc musimy sprawdzić, czy dla m=3 funkcja ma miejsce zerowe. Jeśli m=3, to f(x) = (3-3)x - 4 = -4, co nigdy nie będzie równe 0.\n\n📖 Karta wzorów: s.4 - Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (nie używamy bezpośrednio, ale rozumienie wartości bezwzględnej jest kluczowe)\n\n### Sposób 2: Zbadanie warunku, aby funkcja miała miejsce zerowego\nAby funkcja liniowa f(x) = (3 - m)x - 4 miała miejsce zerowe, musi spełnione być równanie:\n(3 - m)x - 4 = 0\n\nZ postaci równania widzimy, że x jest rozwiązaniem, gdy (3 - m) ≠ 0. Jeśli (3 - m) = 0, to m = 3. Wtedy funkcja staje się f(x) = 0x - 4 = -4, co nigdy nie jest równe 0. Zatem, aby funkcja miała miejsce zerowe, musi być m ≠ 3. Zadanie mówi, że funkcja *nie ma* miejsca zerowego dla m równego A. W tym przypadku A = 3, więc m ≠ 3.\n\n📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b) (nie używamy bezpośrednio, ale wzory skrócone pomagają zrozumieć, że m musi być różne od 3)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (-3):** To wartość m, która nie ma wpływu na to, czy funkcja ma miejsce zerowe. Wartość m wpływa na współczynnik przy x, ale nie na wartość wyrazu wolnego.\n* **B. 0:** Podstawienie m = 0 do funkcji daje f(x) = 3x - 4. Aby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujemy 3x - 4 = 0, co daje x = 4/3. Zatem, m = 0 nie jest rozwiązaniem.\n* **D. 4:** Podstawienie m = 4 do funkcji daje f(x) = (3-4)x - 4 = -x - 4. Aby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujemy -x - 4 = 0, co daje x = -4. Zatem, m = 4 nie jest rozwiązaniem.\n\nPonieważ zadanie pyta o m, dla którego funkcja *nie ma* miejsca zerowego, musimy znaleźć wartość m, która powoduje, że funkcja nie ma rozwiązania dla x. W tym przypadku m = 3 powoduje, że funkcja nie ma miejsca zerowego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (3 -m)x-4 . Funkcja f nie ma miejsca zerowego dla m równego A.** (-3)

\n

A. \\((-3)\\)
B. \\(0\\)
C. \\(3\\)
D. \\(4\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (m = 3)

\n

Sposób 1 - Warunek braku miejsca zerowego funkcji liniowej

\n

Kluczowa obserwacja: Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a \\neq 0\\). Jeśli \\(a = 0\\), funkcja jest stała: \\(f(x) = b\\) - i nigdy nie przyjmuje wartości zero (o ile \\(b \\neq 0\\)).

\n

W naszym przypadku:
\\[f(x) = (3 - m)x - 4\\]

\n

Współczynnik kierunkowy: \\(a = 3 - m\\), wyraz wolny: \\(b = -4\\).

\n

Szukamy \\(m\\) takiego, żeby funkcja nie miała miejsca zerowego. To znaczy:
\\[a = 0 \\quad \\text{i} \\quad b \\neq 0\\]

\n

Sprawdzamy:
\\[3 - m = 0\\]
\\[m = 3\\]

\n

Wyraz wolny \\(b = -4 \\neq 0\\) - warunek spełniony.

\n

Dla \\(m = 3\\) funkcja staje się:
\\[f(x) = (3 - 3)x - 4 = 0 \\cdot x - 4 = -4\\]

\n

Jest to funkcja stała \\(f(x) = -4\\), której wykres to pozioma prosta poniżej osi \\(OX\\) - nie przecina osi \\(OX\\), więc nie ma miejsca zerowego.

\n

Odpowiedź: \\(m = 3\\) - czyli opcja C.

\n

Sposób 2 - Próba wyznaczenia miejsca zerowego i analiza

\n

Szukamy miejsca zerowego: \\(f(x) = 0\\):
\\[(3 - m)x - 4 = 0\\]
\\[(3 - m)x = 4\\]

\n

Teraz próbujemy podzielić obie strony przez \\((3 - m)\\):
\\[x = \\frac{4}{3 - m}\\]

\n

Ten podział jest legalny tylko wtedy, gdy \\(3 - m \\neq 0\\). Wtedy zawsze istnieje dokładnie jedno miejsce zerowe.

\n

Kiedy \\(3 - m = 0\\), czyli \\(m = 3\\), równanie przyjmuje postać:
\\[0 \\cdot x = 4 \\quad \\Longrightarrow \\quad 0 = 4\\]

\n

To sprzeczność - równanie nie ma żadnego rozwiązania, a więc funkcja nie ma miejsca zerowego.

\n

Wynik: \\(m = 3\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek istnienia miejsca zerowego (podstawowe działania algebraiczne).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowa wartość \\(m\\) | Błąd |
| A | np. \\(m = 0\\) | Dla \\(m=0\\): \\(f(x) = 3x - 4\\), zero istnieje: \\(x = \\frac{4}{3}\\) |
| B | np. \\(m = 1\\) | Dla \\(m=1\\): \\(f(x) = 2x - 4\\), zero istnieje: \\(x = 2\\) |
| D | np. \\(m = 4\\) | Dla \\(m=4\\): \\(f(x) = -x - 4\\), zero istnieje: \\(x = -4\\) |

\n

We wszystkich tych przypadkach współczynnik kierunkowy \\(a = 3 - m \\neq 0\\), więc funkcja jest naprawdę liniowa i zawsze przecina oś \\(OX\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) to szczególny przypadek - musi być \\(a \\neq 0\\). Gdy \\(a = 0\\), mówimy o funkcji stałej. Wielu uczniów zapomina, że właśnie wtedy nie ma miejsca zerowego (o ile \\(b \\neq 0\\)). Gdyby \\(b\\) też było równe zero, funkcja byłaby tożsamościowo równa zeru i każde \\(x\\) byłoby miejscem zerowym!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić "brak miejsca zerowego" z "ujemne miejsce zerowe". Funkcja może mieć miejsce zerowe dla ujemnego \\(x\\) - nadal ma miejsce zerowe, po prostu jest ono ujemne.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj oba warunki: czy współczynnik przy \\(x\\) jest zerem (\\(a = 0\\)) i czy wyraz wolny nie jest zerem (\\(b \\neq 0\\)). Gdyby \\(f(x) = 0 \\cdot x + 0\\), to każda liczba byłaby miejscem zerowym - zupełnie inna sytuacja!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposob 1 - Warunek braku miejsca zerowego
\n

Funkcja liniowa \\(f(x) = ax+b\\) nie ma miejsca zerowego, gdy \\(a=0\\) oraz \\(b \\neq 0\\) (wtedy jest pozioma linia \\(y=b\\)).
Tutaj \\(a = 3-m\\) i \\(b = -4\\). Warunki:

\n\n

Zatem \\(m=3\\).

\n
Sposob 2 - Sprawdzenie bezposrednie
\n

Dla \\(m=3\\): \\(f(x) = 0\\cdot x - 4 = -4\\) - to funkcja stala, brak miejsca zerowego.
Dla pozostalych \\(m\\): wspolczynnik przy \\(x\\) jest niezerowy, wiec \\(f\\) ma miejsce zerowe \\(x = \\dfrac{4}{3-m}\\).

\n
Dlaczego inne blednie
\n\n

Trik: Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego tylko gdy jest STALA niezerowa - czyli \\(a=0, b \\neq 0\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Analiza funkcji i znalezienie miejsca zerowego
\n

Funkcja liniowa f(x) = (3 - m)x - 4 ma miejsce zerowe, gdy f(x) = 0. Zatem:
(3 - m)x - 4 = 0

\n

Rozwiązujemy równanie dla x:
(3 - m)x = 4
x = 4 / (3 - m)

\n

Aby funkcja miała miejsce zerowe, musi istnieć takie m, dla którego x = 0. Zatem:
0 = 4 / (3 - m)

\n

Aby to równanie było prawdziwe, m musi być takie, aby ułamek był równy zero. Jedynym sposobem na to jest, aby licznik był równy zero, a mianownik różny od zera. W tym przypadku licznik jest zawsze równy 4, więc nigdy nie będzie równy zero. Zatem, żadna wartość m nie sprawi, że funkcja będzie miała miejsce zerowe. Jednakże, zadanie mówi, że funkcja nie ma miejsca zerowego dla m równego A. W tym przypadku A = 3, więc musimy sprawdzić, czy dla m=3 funkcja ma miejsce zerowe. Jeśli m=3, to f(x) = (3-3)x - 4 = -4, co nigdy nie będzie równe 0.

\n

📖 Karta wzorów: s.4 - Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (nie używamy bezpośrednio, ale rozumienie wartości bezwzględnej jest kluczowe)

\n
Sposób 2: Zbadanie warunku, aby funkcja miała miejsce zerowego
\n

Aby funkcja liniowa f(x) = (3 - m)x - 4 miała miejsce zerowe, musi spełnione być równanie:
(3 - m)x - 4 = 0

\n

Z postaci równania widzimy, że x jest rozwiązaniem, gdy (3 - m) ≠ 0. Jeśli (3 - m) = 0, to m = 3. Wtedy funkcja staje się f(x) = 0x - 4 = -4, co nigdy nie jest równe 0. Zatem, aby funkcja miała miejsce zerowe, musi być m ≠ 3. Zadanie mówi, że funkcja nie ma miejsca zerowego dla m równego A. W tym przypadku A = 3, więc m ≠ 3.

\n

📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b) (nie używamy bezpośrednio, ale wzory skrócone pomagają zrozumieć, że m musi być różne od 3)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Ponieważ zadanie pyta o m, dla którego funkcja nie ma miejsca zerowego, musimy znaleźć wartość m, która powoduje, że funkcja nie ma rozwiązania dla x. W tym przypadku m = 3 powoduje, że funkcja nie ma miejsca zerowego.

"}]}