{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"14.1","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Trzeci wyraz ciągu (an) jest równy\n\nA. \\(4\\)\nB. \\(5\\)\nC. \\(7\\)\nD. \\(11\\)","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D (czyli \\(a_3 = 11\\))\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wyznaczenie wyrazów z definicji\n\nMamy dany ciąg rekurencyjny:\n\\[\\begin{cases} a_1 = 2 \\\\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \\end{cases}\\]\n\nWyznaczamy kolejne wyrazy, podstawiając jeden po drugim.\n\n**Krok 1: wyznaczamy \\(a_2\\)**\n\nPodstawiamy \\(n = 1\\):\n\\[a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \\cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5\\]\n\n**Krok 2: wyznaczamy \\(a_3\\)**\n\nPodstawiamy \\(n = 2\\):\n\\[a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \\cdot 5 + 1 = 10 + 1 = \\mathbf{11}\\]\n\nTrzeci wyraz ciągu to **\\(a_3 = 11\\)**.\n\n## Sposób 2 - Znalezienie wzoru ogólnego (metoda punktu stałego)\n\nSzukamy wzoru jawnego \\(a_n\\), żeby zweryfikować wynik.\n\n**Punkt stały rekurencji:**\n\nSzukamy takiego \\(x\\), że \\(x = 2x + 1\\), czyli \\(x = -1\\).\n\n**Podstawienie \\(b_n = a_n + 1\\):**\n\nDodajemy 1 do obu stron wzoru rekurencyjnego:\n\\[a_{n+1} + 1 = 2a_n + 1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)\\]\n\nZatem ciąg \\(b_n = a_n + 1\\) spełnia:\n\\[b_{n+1} = 2b_n\\]\n\nTo jest **ciąg geometryczny** o ilorazie \\(q = 2\\) i pierwszym wyrazie:\n\\[b_1 = a_1 + 1 = 2 + 1 = 3\\]\n\nWzór ogólny:\n\\[b_n = 3 \\cdot 2^{n-1}\\]\n\nWracamy do \\(a_n\\):\n\\[a_n = b_n - 1 = 3 \\cdot 2^{n-1} - 1\\]\n\n**Sprawdzenie dla \\(n = 3\\):**\n\\[a_3 = 3 \\cdot 2^{3-1} - 1 = 3 \\cdot 4 - 1 = 12 - 1 = \\mathbf{11} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nW Sposobie 2 przekształciliśmy rekurencję do postaci ciągu geometrycznego \\((b_n)\\) o ilorazie \\(q = 2\\) i wyrazie pierwszym \\(b_1 = 3\\), a następnie użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia \\(b_n\\), skąd otrzymaliśmy \\(a_n\\).\n\nW Sposobie 1 nie używamy żadnych wzorów z karty - wystarczy kolejne podstawianie do definicji rekurencyjnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Obliczono tylko \\(a_2 = 2 \\cdot 2 + 1 = 5\\) i wzięto go za \\(a_3\\) - zatrzymano się o jeden krok za wcześnie |\n| B | Przy wyznaczaniu \\(a_3\\) zapomniano dodać \\(+1\\): \\(a_3 = 2 \\cdot 5 = 10\\) zamiast \\(2 \\cdot 5 + 1 = 11\\) |\n| C | Przyjęto błędnie, że wzór to \\(a_{n+1} = 2a_n\\) (bez \\(+1\\)), co daje \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = 8\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ciągu rekurencyjnym każdy wyraz **zależy od poprzedniego** - nie możemy przeskoczyć od razu do \\(a_3\\) bez wyznaczenia \\(a_2\\). Trzeba iść krok po kroku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_{n+1} = 2a_n + 1\\) zawiera **dwa składniki**: mnożenie przez 2 ORAZ dodanie 1. Pominięcie jednego z nich to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach z rekurencją zawsze warto zapisać \\(a_1, a_2, a_3, \\ldots\\) w kolumnie - porządek obliczeń eliminuje pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposob 1 - Iteracyjne obliczenie\n- \\(a_{1} = 2\\)\n- \\(a_{2} = 2\\cdot a_{1}+1 = 2\\cdot 2+1 = 5\\)\n- \\(a_{3} = 2\\cdot a_{2}+1 = 2\\cdot 5+1 = 11\\)\n\nZatem \\(a_{3} = 11\\).\n\n### Sposob 2 - Wzor jawny\n\\(a_{n+1}+1 = 2(a_{n}+1)\\). Ciag \\(b_{n}=a_{n}+1\\) jest geometryczny: \\(b_{1}=3\\), iloraz 2. Wiec \\(b_{n}=3\\cdot 2^{n-1}\\). Stad \\(a_{n}=3\\cdot 2^{n-1}-1\\). Dla \\(n=3\\): \\(a_{3}=3\\cdot 4-1=11\\).\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (4): blad, zastosowano rekursje tylko raz od \\(a_{1}\\).\n- **B** (5): to jest \\(a_{2}\\), nie \\(a_{3}\\).\n- **C** (7): bledne obliczenie \\(2\\cdot 5+1 \\neq 7\\).\n\n**Trik:** Dla ciagu rekurencyjnego najprosciej jest OBLICZYC kolejne wyrazy iteracyjnie - nie trzeba szukac wzoru jawnego.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym, różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznaczmy tę różnicę jako *r*. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to:\n\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)\n\nW tym przypadku, chcemy znaleźć trzeci wyraz, czyli \\(a_3\\). Wiemy, że \\(a_1 = 1\\) (z treści zadania), \\(n = 3\\) i \\(a_3 = 11\\). Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:\n\n\\(a_3 = a_1 + (3-1)r\\)\n\\(11 = 1 + 2r\\)\n\\(10 = 2r\\)\n\\(r = 5\\)\n\nZatem, różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 5. Aby znaleźć trzeci wyraz, musimy obliczyć \\(a_3 = a_1 + (3-1)r = 1 + 2 \\cdot 5 = 1 + 10 = 11\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi, s.9\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\n\nWzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to:\n\n\\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)\n\nW tym przypadku, możemy użyć tego wzoru, aby znaleźć trzeci wyraz, wykorzystując sumę pierwszych trzech wyrazów. Wiemy, że \\(a_1 = 1\\) i \\(a_3 = 11\\). Musimy znaleźć \\(a_2\\). Zauważmy, że \\(S_3 = \\frac{3}{2}(a_1 + a_3)\\). Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można również zapisać jako:\n\n\\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\)\n\nW naszym przypadku:\n\n\\(S_3 = \\frac{3}{2}(2 \\cdot 1 + (3-1)r) = \\frac{3}{2}(2 + 2r)\\)\n\nZ drugiej strony, \\(S_3 = \\frac{3}{2}(a_1 + a_3) = \\frac{3}{2}(1 + 11) = \\frac{3}{2}(12) = 18\\).\n\nZatem:\n\n\\(\\frac{3}{2}(2 + 2r) = 18\\)\n\\(2 + 2r = 12\\)\n\\(2r = 10\\)\n\\(r = 5\\)\n\n\\(a_3 = a_1 + (3-1)r = 1 + 2 \\cdot 5 = 1 + 10 = 11\\)\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi, s.9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 4:** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ obliczenia prowadzą do różnicy *r* = 5, a nie 4.\n* **B. 5:** Podobnie jak A, ta odpowiedź jest błędna, ponieważ różnica *r* nie wynosi 5.\n* **C. 7:** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ różnica *r* nie wynosi 7.\n* **D. 11:** Ta odpowiedź jest poprawna, ponieważ obliczenia prowadzą do \\(a_3 = 11\\), zgodnie z podanymi danymi.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie spełniają warunku, że trzeci wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 11.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Trzeci wyraz ciągu (an) jest równy

\n

A. \\(4\\)
B. \\(5\\)
C. \\(7\\)
D. \\(11\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D (czyli \\(a_3 = 11\\))

\n

Sposób 1 - Bezpośrednie wyznaczenie wyrazów z definicji

\n

Mamy dany ciąg rekurencyjny:
\\[\\begin{cases} a_1 = 2 \\\\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \\end{cases}\\]

\n

Wyznaczamy kolejne wyrazy, podstawiając jeden po drugim.

\n

Krok 1: wyznaczamy \\(a_2\\)

\n

Podstawiamy \\(n = 1\\):
\\[a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \\cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5\\]

\n

Krok 2: wyznaczamy \\(a_3\\)

\n

Podstawiamy \\(n = 2\\):
\\[a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \\cdot 5 + 1 = 10 + 1 = \\mathbf{11}\\]

\n

Trzeci wyraz ciągu to \\(a_3 = 11\\).

\n

Sposób 2 - Znalezienie wzoru ogólnego (metoda punktu stałego)

\n

Szukamy wzoru jawnego \\(a_n\\), żeby zweryfikować wynik.

\n

Punkt stały rekurencji:

\n

Szukamy takiego \\(x\\), że \\(x = 2x + 1\\), czyli \\(x = -1\\).

\n

Podstawienie \\(b_n = a_n + 1\\):

\n

Dodajemy 1 do obu stron wzoru rekurencyjnego:
\\[a_{n+1} + 1 = 2a_n + 1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)\\]

\n

Zatem ciąg \\(b_n = a_n + 1\\) spełnia:
\\[b_{n+1} = 2b_n\\]

\n

To jest ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\) i pierwszym wyrazie:
\\[b_1 = a_1 + 1 = 2 + 1 = 3\\]

\n

Wzór ogólny:
\\[b_n = 3 \\cdot 2^{n-1}\\]

\n

Wracamy do \\(a_n\\):
\\[a_n = b_n - 1 = 3 \\cdot 2^{n-1} - 1\\]

\n

Sprawdzenie dla \\(n = 3\\):
\\[a_3 = 3 \\cdot 2^{3-1} - 1 = 3 \\cdot 4 - 1 = 12 - 1 = \\mathbf{11} \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

W Sposobie 2 przekształciliśmy rekurencję do postaci ciągu geometrycznego \\((b_n)\\) o ilorazie \\(q = 2\\) i wyrazie pierwszym \\(b_1 = 3\\), a następnie użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia \\(b_n\\), skąd otrzymaliśmy \\(a_n\\).

\n

W Sposobie 1 nie używamy żadnych wzorów z karty - wystarczy kolejne podstawianie do definicji rekurencyjnej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Obliczono tylko \\(a_2 = 2 \\cdot 2 + 1 = 5\\) i wzięto go za \\(a_3\\) - zatrzymano się o jeden krok za wcześnie |
| B | Przy wyznaczaniu \\(a_3\\) zapomniano dodać \\(+1\\): \\(a_3 = 2 \\cdot 5 = 10\\) zamiast \\(2 \\cdot 5 + 1 = 11\\) |
| C | Przyjęto błędnie, że wzór to \\(a_{n+1} = 2a_n\\) (bez \\(+1\\)), co daje \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = 8\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W ciągu rekurencyjnym każdy wyraz zależy od poprzedniego - nie możemy przeskoczyć od razu do \\(a_3\\) bez wyznaczenia \\(a_2\\). Trzeba iść krok po kroku.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(a_{n+1} = 2a_n + 1\\) zawiera dwa składniki: mnożenie przez 2 ORAZ dodanie 1. Pominięcie jednego z nich to najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Przy zadaniach z rekurencją zawsze warto zapisać \\(a_1, a_2, a_3, \\ldots\\) w kolumnie - porządek obliczeń eliminuje pomyłki.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposob 1 - Iteracyjne obliczenie
\n\n

Zatem \\(a_{3} = 11\\).

\n
Sposob 2 - Wzor jawny
\n

\\(a_{n+1}+1 = 2(a_{n}+1)\\). Ciag \\(b_{n}=a_{n}+1\\) jest geometryczny: \\(b_{1}=3\\), iloraz 2. Wiec \\(b_{n}=3\\cdot 2^{n-1}\\). Stad \\(a_{n}=3\\cdot 2^{n-1}-1\\). Dla \\(n=3\\): \\(a_{3}=3\\cdot 4-1=11\\).

\n
Dlaczego inne blednie
\n\n

Trik: Dla ciagu rekurencyjnego najprosciej jest OBLICZYC kolejne wyrazy iteracyjnie - nie trzeba szukac wzoru jawnego.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
\n

W ciągu arytmetycznym, różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznaczmy tę różnicę jako r. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to:

\n

\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)

\n

W tym przypadku, chcemy znaleźć trzeci wyraz, czyli \\(a_3\\). Wiemy, że \\(a_1 = 1\\) (z treści zadania), \\(n = 3\\) i \\(a_3 = 11\\). Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:

\n

\\(a_3 = a_1 + (3-1)r\\)
\\(11 = 1 + 2r\\)
\\(10 = 2r\\)
\\(r = 5\\)

\n

Zatem, różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 5. Aby znaleźć trzeci wyraz, musimy obliczyć \\(a_3 = a_1 + (3-1)r = 1 + 2 \\cdot 5 = 1 + 10 = 11\\).

\n

📖 Karta wzorów: Ciągi, s.9

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego
\n

Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to:

\n

\\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)

\n

W tym przypadku, możemy użyć tego wzoru, aby znaleźć trzeci wyraz, wykorzystując sumę pierwszych trzech wyrazów. Wiemy, że \\(a_1 = 1\\) i \\(a_3 = 11\\). Musimy znaleźć \\(a_2\\). Zauważmy, że \\(S_3 = \\frac{3}{2}(a_1 + a_3)\\). Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można również zapisać jako:

\n

\\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\)

\n

W naszym przypadku:

\n

\\(S_3 = \\frac{3}{2}(2 \\cdot 1 + (3-1)r) = \\frac{3}{2}(2 + 2r)\\)

\n

Z drugiej strony, \\(S_3 = \\frac{3}{2}(a_1 + a_3) = \\frac{3}{2}(1 + 11) = \\frac{3}{2}(12) = 18\\).

\n

Zatem:

\n

\\(\\frac{3}{2}(2 + 2r) = 18\\)
\\(2 + 2r = 12\\)
\\(2r = 10\\)
\\(r = 5\\)

\n

\\(a_3 = a_1 + (3-1)r = 1 + 2 \\cdot 5 = 1 + 10 = 11\\)

\n

📖 Karta wzorów: Ciągi, s.9

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie spełniają warunku, że trzeci wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 11.

"}]}