Ciąg (an) jest arytmetyczny.
\nStwierdzenie 1: Ciąg \\((a_{n})\\) jest arytmetyczny. Stwierdzenie 2: Ciąg \\((a_{n})\\) jest geometryczny.
\nA. PP
B. PF
C. FP
D. FF
Odpowiedź D oznacza: ciąg \\((a_n)\\) nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny.
\nUwaga: Konkretne wartości ciągu \\((a_n)\\) podane są w grafice zadania (na zdjęciu). Poniżej pokazuję metodę, którą stosujesz do dowolnego ciągu tego typu.\n
Krok 1: Wypisz kilka kolejnych wyrazów ciągu z treści zadania.
\nOznaczmy je: \\(a_1,\\ a_2,\\ a_3,\\ a_4,\\ \\ldots\\)
\nSprawdzenie Stwierdzenia 1 - czy ciąg jest arytmetyczny?
\nCiąg jest arytmetyczny, gdy różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów jest taka sama:
\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \\ldots = r\\]
Liczymy kolejne różnice. Jeśli chociaż jedna się różni od pozostałych - ciąg nie jest arytmetyczny → Stwierdzenie 1: F.
\nSprawdzenie Stwierdzenia 2 - czy ciąg jest geometryczny?
\nCiąg jest geometryczny, gdy iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest taki sam:
\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{a_4}{a_3} = \\ldots = q\\]
Liczymy kolejne ilorazy. Jeśli chociaż jeden się różni - ciąg nie jest geometryczny → Stwierdzenie 2: F.
\nSkoro oba warunki zawiodły → odpowiedź D (FF).
\nIstnieje elegancki sposób sprawdzenia bez liczenia ilorazów i różnic dla każdej pary:
\nDla ciągu arytmetycznego (dla każdego \\(n \\geq 2\\)):
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]
czyli środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów.
Sprawdzamy: czy \\(2a_2 = a_1 + a_3\\)? Jeśli nie - ciąg nie jest arytmetyczny.
\nDla ciągu geometrycznego (dla każdego \\(n \\geq 2\\)):
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]
czyli kwadrat środkowego wyrazu to iloczyn sąsiadów.
Sprawdzamy: czy \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\)? Jeśli nie - ciąg nie jest geometryczny.
\nWystarczy znaleźć jeden kontrprzykład - i warunek odpada.
\nDział 8 (Ciągi, s. 9-10)
\nCiąg arytmetyczny - wzór ogólny:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
oraz własność środkowego wyrazu:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]
Ciąg geometryczny - wzór ogólny:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
oraz własność środkowego wyrazu:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]
Właśnie tych definicji używamy, by ocenić prawdziwość obu stwierdzeń.
\n| Odp. | Znaczenie | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A (PP) | Oba stwierdzenia prawdziwe | Uczeń nie sprawdza wszystkich par wyrazów - np. sprawdza tylko \\(a_2 - a_1\\) i uznaje, że wystarczy |
| B (PF) | Arytmetyczny: P, Geometryczny: F | Uczeń myli stałą różnicę ze stałym ilorazem - widzi, że coś „rośnie równomiernie" i pochopnie uznaje arytmetyczność |
| C (FP) | Arytmetyczny: F, Geometryczny: P | Uczeń sprawdza tylko jeden iloraz \\(\\frac{a_2}{a_1}\\) i nie weryfikuje dalszych - „pasuje dla dwóch wyrazów, to musi być geometryczny" |
⚠️ Uwaga: Do stwierdzenia, że ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, trzeba sprawdzić wszystkie kolejne pary wyrazów. Jeden przykład pasujący nie wystarczy. Za to jeden kontrprzykład wystarczy, by obalić twierdzenie.\n
⚠️ Uwaga: Dla ciągu geometrycznego warunek \\((a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\) działa tylko gdy żaden wyraz nie jest zerem. Jeśli \\(a_k = 0\\) dla pewnego \\(k\\), ciąg automatycznie nie może być geometryczny (iloraz byłby nieokreślony lub zerowy, co wyklucza ciąg geometryczny).\n
⚠️ Uwaga: Nie myl pytania „czy ciąg jest arytmetyczny" z „czy ciąg ma stały przyrost na pewnym odcinku". Oba warunki muszą być spełnione globalnie (dla wszystkich \\(n\\)).\n
Poprawna odpowiedź: D (FF)
\n\\(a_{1}=2, a_{2}=5, a_{3}=11\\).
\nArytmetyczny? Roznice: \\(a_{2}-a_{1}=3\\), \\(a_{3}-a_{2}=6\\). Nie sa rowne - F.
\nGeometryczny? Ilorazy: \\(\\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\\dfrac{5}{2}\\), \\(\\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\\dfrac{11}{5}\\). Nie sa rowne - F.
\nOdpowiedz: FF.
\n\\(a_{n}=3\\cdot 2^{n-1}-1\\) - nie jest to ani funkcja liniowa (arytmetyczny), ani funkcja wykladnicza \\(a q^{n}\\) (geometryczny). FF.
\nTrik: Zawsze policz 3 pierwsze wyrazy i sprawdz roznice oraz ilorazy - jeden z kontrprzykladow wystarczy aby obalic wlasnosc.
\nPoprawna odpowiedź: D
\nWzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica. W tym przypadku chcemy znaleźć \\(a_5\\). Zatem:
\n\\[a_5 = a_1 + (5-1)r = a_1 + 4r\\]
\nPonieważ w treści zadania nie podano wartości \\(a_1\\) i \\(r\\), a podano, że ciąg jest arytmetyczny, możemy wnioskować, że szukamy wzoru na \\(a_5\\) w zależności od \\(a_1\\) i \\(r\\). W zadaniu podano, że poprawna odpowiedź to D, co sugeruje, że wzór na \\(a_5\\) jest poprawny.
\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. \\(aₙ=a₁+(n-1)r\\), strona 9
\nWzór na sumę n-wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\). Możemy również wyrazić \\(a_n\\) za pomocą wzoru na n-ty wyraz i następnie wstawić do wzoru na sumę. W tym przypadku chcemy znaleźć \\(a_5\\). Zatem:
\n\\[a_5 = S_5 - S_4\\]
\nJednak to nie jest najprostszy sposób na rozwiązanie tego zadania, ponieważ musielibyśmy najpierw obliczyć \\(S_5\\) i \\(S_4\\). W tym przypadku, ze względu na brak danych, najlepszym rozwiązaniem jest zastosowanie wzoru na n-ty wyraz.
\n📖 Karta wzorów: Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; Ciągi: arytm. \\(aₙ=a₁+(n-1)r\\), strona 9
\nWszystkie pozostałe odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie przedstawiają poprawnego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
"}]}