Wyznacz wartość m , dla której trzywyrazowy ciąg (2m+ 11, \\(m^{2}\\) + 3, 5-m) jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Warunek arytmetyczności: W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy średniej arytmetycznej sąsiednich wyrazów:
\\[2a_2 = a_1 + a_3\\]
Podstawiamy:
\\[2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)\\]
\\[2m^2 + 6 = m + 16\\]
\n\\[2m^2 - m - 10 = 0\\]
\nWyznaczamy deltę:
\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-10) = 1 + 80 = 81\\]
\\[m_1 = \\frac{1 - \\sqrt{81}}{4} = \\frac{1 - 9}{4} = \\frac{-8}{4} = -2\\]
\\[m_2 = \\frac{1 + \\sqrt{81}}{4} = \\frac{1 + 9}{4} = \\frac{10}{4} = \\frac{5}{2}\\]
Sprawdzamy warunek malejącości (różnica \\(r < 0\\)):
\nDla \\(m = -2\\):
\\[a_1 = 2(-2)+11 = 7, \\quad a_2 = (-2)^2+3 = 7, \\quad a_3 = 5-(-2) = 7\\]
Ciąg \\((7, 7, 7)\\) - stały, nie malejący. ✗
Dla \\(m = \\dfrac{5}{2}\\):
\\[a_1 = 2\\cdot\\tfrac{5}{2}+11 = 16, \\quad a_2 = \\left(\\tfrac{5}{2}\\right)^2+3 = \\tfrac{25}{4}+\\tfrac{12}{4} = \\tfrac{37}{4}, \\quad a_3 = 5-\\tfrac{5}{2} = \\tfrac{5}{2}\\]
\\[r = \\tfrac{37}{4} - 16 = \\tfrac{37-64}{4} = -\\tfrac{27}{4} < 0\\]
Ciąg malejący. ✓
Odpowiedź: \\(m = \\dfrac{5}{2}\\)
\nW ciągu arytmetycznym \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\). Oznaczamy tę różnicę jako \\(r\\).
\n\\[r = (m^2 + 3) - (2m + 11) = m^2 - 2m - 8\\]
\\[r = (5 - m) - (m^2 + 3) = -m^2 - m + 2\\]
Przyrównujemy:
\\[m^2 - 2m - 8 = -m^2 - m + 2\\]
\\[2m^2 - m - 10 = 0\\]
\nTo ten sam dwumian co w Sposobie 1 - otrzymujemy \\(m = \\dfrac{5}{2}\\) lub \\(m = -2\\).
\nWarunek malejącości \\(r < 0\\): dla \\(m = \\dfrac{5}{2}\\):
\\[r = \\left(\\tfrac{5}{2}\\right)^2 - 2\\cdot\\tfrac{5}{2} - 8 = \\tfrac{25}{4} - 5 - 8 = \\tfrac{25-52}{4} = -\\tfrac{27}{4} < 0 \\checkmark\\]
Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad m_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte do rozwiązania równania \\(2m^2 - m - 10 = 0\\).
Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyte jako warunek arytmetyczności w Sposobie 1.
⚠️ Uwaga: Równanie \\(2m^2 - m - 10 = 0\\) ma dwa rozwiązania - ale zadanie wymaga ciągu malejącego, więc trzeba sprawdzić obydwa i odrzucić \\(m = -2\\) (daje ciąg stały \\(7, 7, 7\\)).\n
⚠️ Uwaga: Ciąg stały jest arytmetyczny (różnica \\(r = 0\\)), ale nie jest malejący - nie wolno o tym zapomnieć!\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że warunek \\(2a_2 = a_1 + a_3\\) jest równoważny \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\) - to dwie strony tej samej definicji; możesz korzystać z dowolnej.\n
Zadanie otwarte - obliczenia (3 pkt). Poprawny wynik: \\(m = \\dfrac{5}{2}\\)
\nDla ciagu arytmetycznego srodkowy wyraz to srednia sasiadow:
\\[m^{2}+3 = \\dfrac{(2m+11)+(5-m)}{2} = \\dfrac{m+16}{2}\\]
\\[2m^{2}+6 = m+16\\]
\\[2m^{2}-m-10=0\\]
\\(\\Delta = 1+80=81\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=9\\).
\\[m_{1} = \\dfrac{1-9}{4}=-2, \\quad m_{2} = \\dfrac{1+9}{4}=\\dfrac{5}{2}\\]
Sprawdzamy MALEJACY:
\nOdpowiedz: \\(m = \\dfrac{5}{2}\\).
\nRoznica: \\(r = (m^{2}+3)-(2m+11) = m^{2}-2m-8\\) oraz \\(r = (5-m)-(m^{2}+3) = -m^{2}-m+2\\). Przyrownujemy i uzyskujemy \\(2m^{2}-m-10=0\\) - jak wyzej. Dla malejacego: \\(r<0\\).
\n3 pkt - obliczenie i uzasadnienie, ze jedyna wartosc to \\(m=\\dfrac{5}{2}\\).
2 pkt - wyznaczenie \\(m=-2\\) oraz \\(m=\\dfrac{5}{2}\\) bez uzasadnienia malejacosci.
1 pkt - zapisanie rownania z jedna niewiadoma.
Trik: Warunek arytmetyczny: \\(2b = a+c\\) (srodkowy to srednia). Po rozwiazaniu rownania - ZAWSZE sprawdz warunek malejacosci, aby odrzucic nadmierne rozwiazania.
"}]}