{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej \\(n\\geq\\) 1 , w którym a1 = 27 oraz a2 = 9 . ** Czwarty wyraz ciągu (an) jest równy -\n\nA. \\(\\dfrac{1}{3}\\)\nB. \\(1\\)\nC. \\(3\\)\nD. \\(729\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nCzwarty wyraz ciągu wynosi \\(a_4 = 1\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i kolejnych wyrazów\n\n**Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\). Zatem:\n\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy kolejne wyrazy.**\n\n\\[a_3 = a_2 \\cdot q = 9 \\cdot \\frac{1}{3} = 3\\]\n\n\\[a_4 = a_3 \\cdot q = 3 \\cdot \\frac{1}{3} = \\mathbf{1}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz\n\nKorzystamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego:\n\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nIloraz obliczamy tak samo: \\(q = \\frac{1}{3}\\).\n\nPodstawiamy \\(n = 4\\):\n\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = \\mathbf{1}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(a_4 = 1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\ngdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(q\\) to iloraz. Użyliśmy go w Sposobie 2 do bezpośredniego wyznaczenia \\(a_4\\).\n\nDefinicja ilorazu (wynika z tej samej strony): każde dwa sąsiednie wyrazy spełniają \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\). Zastosowaliśmy ją w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nNie znamy treści pozostałych opcji (A, C, D), ale typowe błędy prowadzące do złych odpowiedzi to:\n\n| Błąd | Fałszywy wynik |\n| Pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym - różnica \\(d = 9 - 27 = -18\\), więc \\(a_4 = 27 + 3\\cdot(-18) = -27\\) | \\(-27\\) |\n| Obliczenie \\(q\\) odwrotnie: \\(q = \\frac{27}{9} = 3\\), więc \\(a_4 = 27 \\cdot 3^3 = 729\\) | \\(729\\) |\n| Zatrzymanie się na \\(a_3 = 3\\) i podanie go jako odpowiedzi | \\(3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz liczymy ZAWSZE jako \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) - czyli PÓŹNIEJSZY przez WCZEŚNIEJSZY. Odwrócenie daje zupełnie inny ciąg!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić ciągu geometrycznego z arytmetycznym - tu nie odejmujemy różnicy, tylko mnożymy przez iloraz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) ma wykładnik \\(n-1\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_4\\) liczymy \\(q^3\\), nie \\(q^4\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposob 1 - Iloraz ciagu\n\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{9}{27} = \\dfrac{1}{3}\\).\n- \\(a_{3} = 9 \\cdot \\dfrac{1}{3} = 3\\)\n- \\(a_{4} = 3 \\cdot \\dfrac{1}{3} = 1\\)\n\n### Sposob 2 - Wzor jawny\n\\(a_{n} = a_{1} \\cdot q^{n-1} = 27 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{n-1}\\). Dla \\(n=4\\):\n\\[a_{4} = 27 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{3} = 27 \\cdot \\dfrac{1}{27} = 1\\]\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (\\(\\dfrac{1}{3}\\)): to wartosc \\(q\\), nie \\(a_{4}\\).\n- **C** (3): to \\(a_{3}\\), nie \\(a_{4}\\).\n- **D** (729): bledny iloraz \\(q=3\\) zamiast \\(\\dfrac{1}{3}\\).\n\n**Trik:** Ciag geometryczny maleje gdy \\(|q|<1\\) - sprawdz znak ilorazu zanim policzysz.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie ogólnego wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\n1. **Zrozumienie ogólnego wzoru:** W ciągu geometrycznym, \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, \\(q\\) to iloraz, a \\(n\\) to numer wyrazu.\n2. **Wykorzystanie danych:** Wiemy, że \\(a_1 = 27\\) i \\(a_2 = 9\\). Zatem \\(a_2 = a_1 \\cdot q^{2-1} = a_1 \\cdot q\\).\n3. **Obliczenie ilorazu:** Podstawiając \\(a_1 = 27\\) i \\(a_2 = 9\\) do równania, otrzymujemy \\(9 = 27 \\cdot q\\). Dzieląc obie strony przez 27, otrzymujemy \\(q = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\).\n4. **Obliczenie czwartego wyrazu:** Teraz możemy obliczyć \\(a_4\\): \\(a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = a_1 \\cdot q^3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (s.9)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie proporcji między kolejnymi wyrazami\n\n1. **Zrozumienie proporcji:** W ciągu geometrycznym, każdy wyraz jest iloczynem dwóch poprzednich. Zatem: \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_2 \\cdot q = a_1 \\cdot q^2\\).\n2. **Obliczenie ilorazu:** Z \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) mamy \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\).\n3. **Obliczenie czwartego wyrazu:** \\(a_4 = a_3 \\cdot q = a_1 \\cdot q^3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (s.9)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. [1] 3 -** Jest to błędne obliczenie, ponieważ nie wykorzystuje się ilorazu ciągu geometrycznego.\n* **C. 3 -** Podobnie jak A, jest to błędne obliczenie, nie uwzględniając ilorazu.\n* **D. 729 -** Jest to błędne obliczenie, ponieważ nie uwzględnia ilorazu i nie wykorzystuje wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Dłuższe mnożenie prowadzi do nieprawidłowego wyniku.\n\n**Podsumowanie:** W obu sposobach, wykorzystując wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy, że czwarty wyraz ciągu wynosi 1.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Dany jest ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej \\(n\\geq\\) 1 , w którym a1 = 27 oraz a2 = 9 . ** Czwarty wyraz ciągu (an) jest równy -

\n

A. \\(\\dfrac{1}{3}\\)
B. \\(1\\)
C. \\(3\\)
D. \\(729\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Czwarty wyraz ciągu wynosi \\(a_4 = 1\\).

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i kolejnych wyrazów

\n

Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego.

\n

W ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\). Zatem:

\n

\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy kolejne wyrazy.

\n

\\[a_3 = a_2 \\cdot q = 9 \\cdot \\frac{1}{3} = 3\\]

\n

\\[a_4 = a_3 \\cdot q = 3 \\cdot \\frac{1}{3} = \\mathbf{1}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz

\n

Korzystamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego:

\n

\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

Iloraz obliczamy tak samo: \\(q = \\frac{1}{3}\\).

\n

Podstawiamy \\(n = 4\\):

\n

\\[a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = \\mathbf{1}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(a_4 = 1\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu geometrycznego:

\n

\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(q\\) to iloraz. Użyliśmy go w Sposobie 2 do bezpośredniego wyznaczenia \\(a_4\\).

\n

Definicja ilorazu (wynika z tej samej strony): każde dwa sąsiednie wyrazy spełniają \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\). Zastosowaliśmy ją w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

Nie znamy treści pozostałych opcji (A, C, D), ale typowe błędy prowadzące do złych odpowiedzi to:

\n

| Błąd | Fałszywy wynik |
| Pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym - różnica \\(d = 9 - 27 = -18\\), więc \\(a_4 = 27 + 3\\cdot(-18) = -27\\) | \\(-27\\) |
| Obliczenie \\(q\\) odwrotnie: \\(q = \\frac{27}{9} = 3\\), więc \\(a_4 = 27 \\cdot 3^3 = 729\\) | \\(729\\) |
| Zatrzymanie się na \\(a_3 = 3\\) i podanie go jako odpowiedzi | \\(3\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Iloraz liczymy ZAWSZE jako \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) - czyli PÓŹNIEJSZY przez WCZEŚNIEJSZY. Odwrócenie daje zupełnie inny ciąg!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić ciągu geometrycznego z arytmetycznym - tu nie odejmujemy różnicy, tylko mnożymy przez iloraz.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) ma wykładnik \\(n-1\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_4\\) liczymy \\(q^3\\), nie \\(q^4\\)!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposob 1 - Iloraz ciagu
\n

\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{9}{27} = \\dfrac{1}{3}\\).

\n\n
Sposob 2 - Wzor jawny
\n

\\(a_{n} = a_{1} \\cdot q^{n-1} = 27 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{n-1}\\). Dla \\(n=4\\):
\\[a_{4} = 27 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{3} = 27 \\cdot \\dfrac{1}{27} = 1\\]

\n
Dlaczego inne blednie
\n\n

Trik: Ciag geometryczny maleje gdy \\(|q|<1\\) - sprawdz znak ilorazu zanim policzysz.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Wykorzystanie ogólnego wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
\n
  1. Zrozumienie ogólnego wzoru: W ciągu geometrycznym, \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, \\(q\\) to iloraz, a \\(n\\) to numer wyrazu.
  2. Wykorzystanie danych: Wiemy, że \\(a_1 = 27\\) i \\(a_2 = 9\\). Zatem \\(a_2 = a_1 \\cdot q^{2-1} = a_1 \\cdot q\\).
  3. Obliczenie ilorazu: Podstawiając \\(a_1 = 27\\) i \\(a_2 = 9\\) do równania, otrzymujemy \\(9 = 27 \\cdot q\\). Dzieląc obie strony przez 27, otrzymujemy \\(q = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\).
  4. Obliczenie czwartego wyrazu: Teraz możemy obliczyć \\(a_4\\): \\(a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = a_1 \\cdot q^3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1\\).
\n

📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (s.9)

\n
Sposób 2: Wykorzystanie proporcji między kolejnymi wyrazami
\n
  1. Zrozumienie proporcji: W ciągu geometrycznym, każdy wyraz jest iloczynem dwóch poprzednich. Zatem: \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_2 \\cdot q = a_1 \\cdot q^2\\).
  2. Obliczenie ilorazu: Z \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) mamy \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\).
  3. Obliczenie czwartego wyrazu: \\(a_4 = a_3 \\cdot q = a_1 \\cdot q^3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1\\).
\n

📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (s.9)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowanie: W obu sposobach, wykorzystując wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy, że czwarty wyraz ciągu wynosi 1.

"}]}