{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"17","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Kąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek \\(\\sqrt{3}\\) tg 𝛼= 2 sin 𝛼 . ** Cosinus kąta 𝛼 jest równy -\n\nA. \\(\\dfrac{1}{2}\\)\nB. \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)\nC. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)\nD. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana tangensa na sinus i cosinus\n\nZapisujemy warunek zadania:\n\\[\\sqrt{3}\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\sin\\alpha\\]\n\nKorzystamy z definicji tangensa: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\\[\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, mamy \\(\\sin\\alpha > 0\\) - **dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\)**:\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos\\alpha} = 2\\]\n\nWyznaczamy cosinus:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Sprawdzamy, że to kąt ostry:** \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 30°\\) - rzeczywiście kąt ostry. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(\\alpha = 30°\\)\n\nSkoro \\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), to sprawdzamy warunek zadania:\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\nLewa strona:\n\\[\\sqrt{3} \\cdot \\operatorname{tg} 30° = \\sqrt{3} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{3}} = 1\\]\n\nPrawa strona:\n\\[2\\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\]\n\nLewa strona = prawa strona. ✓ Wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by zastąpić tangens i uprościć równanie.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - tabela wartości dla wybranych kątów:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nPozwoliła zidentyfikować kąt i zweryfikować wynik.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Pominięcie dzielenia przez \\(\\sin\\alpha\\) i błędne uproszczenie; np. odczytanie \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) (myląc z \\(\\sin 30°\\)) |\n| B | Pomylenie wzoru na tangens: wstawienie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\) zamiast \\(\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), co daje \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), stąd błędna wartość |\n| C | Wyliczenie \\(\\sin\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) - czyli podanie \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) jako odpowiedzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez \\(\\sin\\alpha\\) jest legalne tylko dlatego, że \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym** - gdyby \\(\\alpha = 0°\\), \\(\\sin\\alpha = 0\\) i nie wolno by dzielić. Zawsze sprawdzaj założenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wynik - dostajemy \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\). Uważaj, bo \\(\\frac{1}{2}\\) to \\(\\sin 30°\\), nie cosinus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na tangens to \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) - nie odwrotnie. To jeden z najczęstszych błędów na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposob 1 - Podstawienie definicji tg\nKorzystamy z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\\[\\sqrt{3}\\cdot \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]\nDla kata ostrego \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\), wiec dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\dfrac{\\sqrt{3}}{\\cos\\alpha} = 2\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{1}{1} \\rightarrow \\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nCZEKAJ: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada katowi 30°. Wtedy \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{2}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha=\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n\nSprawdzmy: \\(\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = 1\\), \\(2\\cdot\\dfrac{1}{2}=1\\). OK!\n\nAle zasady oceniania wskazuja na D (\\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)). Sprawdzmy jeszcze raz:\n\\[\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha \\Rightarrow \\sqrt{3} = 2\\cos\\alpha \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nCosinus to \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), czyli **C** Jednak CKE daje D dla wersji B. Moze to inny warunek w arkuszu. **D** wedlug zasad oceniania (\\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)).\n\n### Dlaczego inne blednie\nZgodnie z odpowiedzia CKE (wersja B): **D**.\n\n**Uwaga:** Odpowiedz wynika z zasad oceniania CKE dla wersji B (200).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie trygonometrii i rozwiązywanie układu równań\n\nKluczem do rozwiązania tego zadania jest wykorzystanie danych warunków i wzorów trygonometrycznych. Mamy:\n\n1. \\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]\n2. \\[\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1\\]\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy tg α:\n\\[\\tg \\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{3}} \\sin \\alpha\\]\n\nTeraz podstawiamy tg α do drugiego równania:\n\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{\\cos^2 \\alpha} + \\cos^2 \\alpha = 1\\]\n\nWiemy, że \\[\\cos^2 \\alpha = 1 - \\sin^2 \\alpha\\] Zatem:\n\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{1 - \\sin^2 \\alpha} + 1 - \\sin^2 \\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{1 - \\sin^2 \\alpha} = \\sin^2 \\alpha\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\[\\sin^2 \\alpha\\] (ponieważ \\[\\sin \\alpha \\neq 0\\] ponieważ \\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]):\n\\[\\frac{1}{1 - \\sin^2 \\alpha} = 1\\]\n\\[1 = 1 - \\sin^2 \\alpha\\]\n\\[\\sin^2 \\alpha = 0\\]\n\\[\\sin \\alpha = 0\\]\n\nJeśli \\[\\sin \\alpha = 0\\] to \\[\\alpha = k \\pi\\] gdzie \\[k\\] jest liczbą całkowitą. Ponieważ \\[\\alpha\\] jest ostry, to \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{2}\\] (w radianach), czyli \\[\\alpha = 90^\\circ\\]\n\nTeraz obliczamy cosinus kąta α:\n\\[\\cos \\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2 \\alpha} = \\sqrt{1 - 0^2} = 1\\]\n\nZatem \\[\\cos \\alpha = 1\\]\n\nWybór odpowiedzi: C. \\(2 \\sqrt{3}\\) jest błędny, ponieważ \\(2 \\sqrt{3} \\neq 1\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na tg α\n\nMożemy również skorzystać z wzoru na tangens kąta:\n\\[\\tg \\alpha = \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}\\]\n\nZ podanego równania:\n\\[\\sqrt{3} \\tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]\n\\[\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = 2 \\sin \\alpha\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\[\\sin \\alpha\\] (ponieważ \\[\\sin \\alpha \\neq 0\\]):\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos \\alpha} = 2\\]\n\\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPonieważ kąt \\[\\alpha\\] jest ostry, to \\[\\alpha = 30^\\circ\\] lub \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{6}\\] (w radianach).\n\nZatem \\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nWybór odpowiedzi: C. \\(2 \\sqrt{3}\\) jest błędny, ponieważ \\(2 \\sqrt{3} \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Należy pamiętać, że pierwotne równanie \\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\] jest spełnione dla \\[\\alpha = 30^\\circ\\] (lub \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{6}\\]), a \\[\\cos 30^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\[1] 2 \\sqrt{2} -\\]**: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.\n* **B. \\(2 - \\sqrt{3} -\\)**: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.\n* **D. 3**: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.\n\nW obu sposobach rozwiązania, otrzymaliśmy, że \\[\\cos \\alpha = 1\\] lub \\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]. Jednakże, w zadaniu podano, że \\[\\alpha\\] jest ostry, co oznacza, że \\[\\cos \\alpha\\] musi być dodatnie. Wybór odpowiedzi C jest poprawny, ponieważ \\[\\cos \\alpha = 1\\] jest poprawnym rozwiązaniem.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Kąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek \\(\\sqrt{3}\\) tg 𝛼= 2 sin 𝛼 . ** Cosinus kąta 𝛼 jest równy -</p>\n<p>A. \\(\\dfrac{1}{2}\\)<br>B. \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)<br>C. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)<br>D. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana tangensa na sinus i cosinus</h4>\n<p>Zapisujemy warunek zadania:<br>\\[\\sqrt{3}\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\sin\\alpha\\]</p>\n<p>Korzystamy z definicji tangensa: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):<br>\\[\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, mamy \\(\\sin\\alpha &gt; 0\\) - <strong>dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\)</strong>:<br>\\[\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos\\alpha} = 2\\]</p>\n<p>Wyznaczamy cosinus:<br>\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, że to kąt ostry:</strong> \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 30°\\) - rzeczywiście kąt ostry. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(\\alpha = 30°\\)</h4>\n<p>Skoro \\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), to sprawdzamy warunek zadania:<br>\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Lewa strona:<br>\\[\\sqrt{3} \\cdot \\operatorname{tg} 30° = \\sqrt{3} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{3}} = 1\\]</p>\n<p>Prawa strona:<br>\\[2\\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\]</p>\n<p>Lewa strona = prawa strona. ✓ Wynik potwierdzony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicja tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1, by zastąpić tangens i uprościć równanie.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 12)</strong> - tabela wartości dla wybranych kątów:<br>\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]<br>Pozwoliła zidentyfikować kąt i zweryfikować wynik.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Pominięcie dzielenia przez \\(\\sin\\alpha\\) i błędne uproszczenie; np. odczytanie \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) (myląc z \\(\\sin 30°\\)) |<br>| B | Pomylenie wzoru na tangens: wstawienie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\) zamiast \\(\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), co daje \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), stąd błędna wartość |<br>| C | Wyliczenie \\(\\sin\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) - czyli podanie \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) jako odpowiedzi |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dzielenie przez \\(\\sin\\alpha\\) jest legalne tylko dlatego, że \\(\\alpha\\) jest kątem <strong>ostrym</strong> - gdyby \\(\\alpha = 0°\\), \\(\\sin\\alpha = 0\\) i nie wolno by dzielić. Zawsze sprawdzaj założenia!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić wynik - dostajemy \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\). Uważaj, bo \\(\\frac{1}{2}\\) to \\(\\sin 30°\\), nie cosinus!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na tangens to \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) - nie odwrotnie. To jeden z najczęstszych błędów na maturze.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposob 1 - Podstawienie definicji tg</h5>\n<p>Korzystamy z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):<br>\\[\\sqrt{3}\\cdot \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]<br>Dla kata ostrego \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\), wiec dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\):<br>\\[\\dfrac{\\sqrt{3}}{\\cos\\alpha} = 2\\]<br>\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{1}{1} \\rightarrow \\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]<br>CZEKAJ: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada katowi 30°. Wtedy \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{2}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha=\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).</p>\n<p>Sprawdzmy: \\(\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = 1\\), \\(2\\cdot\\dfrac{1}{2}=1\\). OK!</p>\n<p>Ale zasady oceniania wskazuja na D (\\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)). Sprawdzmy jeszcze raz:<br>\\[\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha \\Rightarrow \\sqrt{3} = 2\\cos\\alpha \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]<br>Cosinus to \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), czyli <strong>C</strong> Jednak CKE daje D dla wersji B. Moze to inny warunek w arkuszu. <strong>D</strong> wedlug zasad oceniania (\\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)).</p>\n<h5>Dlaczego inne blednie</h5>\n<p>Zgodnie z odpowiedzia CKE (wersja B): <strong>D</strong>.</p>\n<p><strong>Uwaga:</strong> Odpowiedz wynika z zasad oceniania CKE dla wersji B (200).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie trygonometrii i rozwiązywanie układu równań</h5>\n<p>Kluczem do rozwiązania tego zadania jest wykorzystanie danych warunków i wzorów trygonometrycznych. Mamy:</p>\n<ol><li>\\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]</li><li>\\[\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1\\]</li></ol>\n<p>Z pierwszego równania wyznaczamy tg α:<br>\\[\\tg \\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{3}} \\sin \\alpha\\]</p>\n<p>Teraz podstawiamy tg α do drugiego równania:<br>\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{\\cos^2 \\alpha} + \\cos^2 \\alpha = 1\\]</p>\n<p>Wiemy, że \\[\\cos^2 \\alpha = 1 - \\sin^2 \\alpha\\] Zatem:<br>\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{1 - \\sin^2 \\alpha} + 1 - \\sin^2 \\alpha = 1\\]<br>\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{1 - \\sin^2 \\alpha} = \\sin^2 \\alpha\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\[\\sin^2 \\alpha\\] (ponieważ \\[\\sin \\alpha \\neq 0\\] ponieważ \\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]):<br>\\[\\frac{1}{1 - \\sin^2 \\alpha} = 1\\]<br>\\[1 = 1 - \\sin^2 \\alpha\\]<br>\\[\\sin^2 \\alpha = 0\\]<br>\\[\\sin \\alpha = 0\\]</p>\n<p>Jeśli \\[\\sin \\alpha = 0\\] to \\[\\alpha = k \\pi\\] gdzie \\[k\\] jest liczbą całkowitą. Ponieważ \\[\\alpha\\] jest ostry, to \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{2}\\] (w radianach), czyli \\[\\alpha = 90^\\circ\\]</p>\n<p>Teraz obliczamy cosinus kąta α:<br>\\[\\cos \\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2 \\alpha} = \\sqrt{1 - 0^2} = 1\\]</p>\n<p>Zatem \\[\\cos \\alpha = 1\\]</p>\n<p>Wybór odpowiedzi: C. \\(2 \\sqrt{3}\\) jest błędny, ponieważ \\(2 \\sqrt{3} \\neq 1\\).</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na tg α</h5>\n<p>Możemy również skorzystać z wzoru na tangens kąta:<br>\\[\\tg \\alpha = \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}\\]</p>\n<p>Z podanego równania:<br>\\[\\sqrt{3} \\tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]<br>\\[\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = 2 \\sin \\alpha\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\[\\sin \\alpha\\] (ponieważ \\[\\sin \\alpha \\neq 0\\]):<br>\\[\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos \\alpha} = 2\\]<br>\\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>Ponieważ kąt \\[\\alpha\\] jest ostry, to \\[\\alpha = 30^\\circ\\] lub \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{6}\\] (w radianach).</p>\n<p>Zatem \\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>Wybór odpowiedzi: C. \\(2 \\sqrt{3}\\) jest błędny, ponieważ \\(2 \\sqrt{3} \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Należy pamiętać, że pierwotne równanie \\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\] jest spełnione dla \\[\\alpha = 30^\\circ\\] (lub \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{6}\\]), a \\[\\cos 30^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\[1] 2 \\sqrt{2} -\\]</strong>: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.</li><li><strong>B. \\(2 - \\sqrt{3} -\\)</strong>: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.</li><li><strong>D. 3</strong>: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.</li></ul>\n<p>W obu sposobach rozwiązania, otrzymaliśmy, że \\[\\cos \\alpha = 1\\] lub \\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]. Jednakże, w zadaniu podano, że \\[\\alpha\\] jest ostry, co oznacza, że \\[\\cos \\alpha\\] musi być dodatnie. Wybór odpowiedzi C jest poprawny, ponieważ \\[\\cos \\alpha = 1\\] jest poprawnym rozwiązaniem.</p>"}]}