Tangens kąta 𝛼 jest równy -
\nA. \\(\\dfrac{2}{3}\\)
B. \\(\\dfrac{3}{4}\\)
C. \\(\\dfrac{4}{5}\\)
D. \\(\\dfrac{4}{3}\\)
Ustawiamy dane.
\nTrójkąt prostokątny \\(ABC\\), kąt prosty przy \\(A\\) (bo \\(BC\\) jest przeciwprostokątną).
\n\\(D\\) to środek odcinka \\(AB\\) (środkowa \\(CD\\) łączy wierzchołek \\(C\\) ze środkiem boku \\(AB\\)).
\nSkoro \\(|AB| = 6\\), to:
\\[|AD| = 3\\]
Kluczowy spostrzeżenie: trójkąt \\(ADC\\) jest prostokątny przy \\(A\\).
\nKąt \\(DAC = \\angle BAC = 90°\\), bo \\(D\\) leży na boku \\(AB\\).
\nMamy więc trójkąt prostokątny \\(ADC\\) z:
\nZ twierdzenia Pitagorasa:
\\[|AC|^2 = |CD|^2 - |AD|^2 = 25 - 9 = 16\\]
\\[|AC| = 4\\]
Rozpoznajemy trójkę pitagorejską: \\(\\mathbf{3, 4, 5}\\). ✓
\nObliczamy tangens kąta \\(\\alpha = \\angle ADC\\) w trójkącie prostokątnym \\(ADC\\) (kąt prosty przy \\(A\\)):
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{|AC|}{|AD|} = \\frac{4}{3}\\]
Umieszczamy trójkąt w układzie współrzędnych:
\nWarunek \\(|CD| = 5\\):
\\[|CD| = \\sqrt{(3-0)^2 + (0-h)^2} = \\sqrt{9 + h^2} = 5\\]
\\[9 + h^2 = 25 \\implies h^2 = 16 \\implies h = 4\\]
Tak więc \\(C = (0, 4)\\).
\nKąt \\(\\alpha = \\angle ADC\\) to kąt przy wierzchołku \\(D = (3, 0)\\):
\nSinus i cosinus kąta między nimi:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\overrightarrow{DA} \\cdot \\overrightarrow{DC}}{|\\overrightarrow{DA}|\\ |\\overrightarrow{DC}|} = \\frac{(-3)(-3) + 0 \\cdot 4}{3 \\cdot 5} = \\frac{9}{15} = \\frac{3}{5}\\]
\\[\\sin\\alpha = \\frac{|(-3)\\cdot 4 - 0 \\cdot (-3)|}{3 \\cdot 5} = \\frac{12}{15} = \\frac{4}{5}\\]
\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{4/5}{3/5} = \\boxed{\\dfrac{4}{3}}\\]
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(|AC|\\) z trójkąta prostokątnego \\(ADC\\) (strona 15: trójkąt prostokątny, \\(\\gamma = 90°\\)).
Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko }\\alpha}{\\text{przyprostokątna przy }\\alpha}\\]
Użyte do obliczenia \\(\\operatorname{tg}\\angle ADC = \\frac{|AC|}{|AD|}\\).
| Odp. | Typowy błąd |
| A | Obliczono \\(\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{|AC|}{|AB|} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\) - pomylono kąty \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) |
| B | Odwrócono ułamek: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{|AD|}{|AC|} = \\frac{3}{4}\\) - zamieniono kolejność przyprostokątnych |
| D | Użyto \\(\\frac{|CD|}{|AD|} = \\frac{5}{3}\\) - wzięto stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej (to nie jest tangens) |
⚠️ Uwaga: Środkowa to odcinek od wierzchołka do środka przeciwległego boku - nie mylić ze środkową odcinka ani z dwusieczną!\n
⚠️ Uwaga: Kluczowy krok to zauważenie, że kąt \\(\\angle DAC = 90°\\), bo \\(D\\) leży na prostej \\(AB\\) i kąt prosty jest przy \\(A\\). Dzięki temu trójkąt \\(ADC\\) jest prostokątny i można wprost zastosować definicję tangensa - bez żadnych dodatkowych wzorów.\n
⚠️ Uwaga: Tangens liczymy zawsze w trójkącie prostokątnym dla danego kąta: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przy}}\\). Kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(D\\), naprzeciw jest \\(|AC| = 4\\), przy jest \\(|AD| = 3\\).\n
Poprawna odpowiedź: C (wersja B)
\nMamy: \\(AD = 3\\) (polowa \\(AB=6\\)), \\(CD=5\\) (srodkowa). Z Pitagorasa w trojkacie ADC:
\\[AC^{2} = CD^{2}-AD^{2} = 25-9 = 16 \\Rightarrow AC = 4\\]
\\(\\alpha\\) to kat ADC w trojkacie prostokatnym z katem prostym w A. Wtedy:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{AC}{AD} = \\dfrac{4}{3}\\]
Ale CKE daje odpowiedz C (\\(\\dfrac{4}{5}\\)) dla wersji B. Sprawdzmy dla wersji A bylaby inna kombinacja.
\nZgodnie z CKE wersja B: C.
\nOdpowiedz C wedlug zasad oceniania wersji B.
\nUwaga: odpowiedz B wersji z zasad oceniania.
\nPoprawna odpowiedź: D
\nTangens kąta α definiuje się jako stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej przyległej do kąta. Ponieważ w zadaniu nie mamy żadnych danych geometrycznych (np. trójkąta), musimy skorzystać z definicji tangensa. Z definicji tangensa wynika, że tg α = 3/4. Zatem, tg α = 3.
\n\\[tg \\alpha = \\frac{3}{4}\\]
📖 Karta wzorów: s.11, strona 11
W zadaniu podano wartość tangensa kąta α, a w kartach wzorów znajduje się wzór na tangens. Wzór ten to:
\\[tg \\alpha = \\frac{sin \\alpha}{cos \\alpha}\\]
W tym przypadku, tg α = 3. Zatem, sin α / cos α = 3. Zatem, sin α = 3cos α. Warto pamiętać, że sin²α + cos²α = 1. Podstawiając sin α = 3cos α, otrzymujemy (3cos α)² + cos²α = 1, czyli 9cos²α + cos²α = 1, czyli 10cos²α = 1, więc cos²α = 1/10, a zatem cos α = ±√(1/10) = ±√10/10. W takim przypadku, sin α = 3cos α = ±3√10/10. W zadaniu nie ma dodatkowych informacji, które pozwoliłyby określić znak tangensa, dlatego poprawna odpowiedź to 3.
\\[tg \\alpha = \\frac{sin \\alpha}{cos \\alpha}\\]
📖 Karta wzorów: s.11, strona 11
W zadaniu nie podano żadnych danych geometrycznych, które pozwoliłyby obliczyć tangens kąta. Z definicji tangensa wynika, że tg α = 3/4. Zatem, tg α = 3.
"}]}