{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/18.2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"18.2","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Sinus kąta 𝛽 jest równy -\n\nA. \\(\\dfrac{2}{\\sqrt{13}}\\)\nB. \\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\)\nC. \\(\\dfrac{5}{2\\sqrt{13}}\\)\nD. \\(\\dfrac{4}{5}\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n**\\(\\sin\\beta = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\)**\n\n## Sposób 1 - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym\n\nZadanie opiera się na trójkącie prostokątnym z rysunku. Z danych geometrycznych (środkowa poprowadzona do przyprostokątnej i twierdzenie Pitagorasa - patrz zadanie 18.1) wyznaczamy boki trójkąta prostokątnego, w którym leży kąt \\(\\beta\\).\n\n**Krok 1. Boki trójkąta.**\n\nW trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \\(2\\) i \\(3\\), zatem przeciwprostokątna wynosi:\n\\[\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}.\\]\n\n**Krok 2. Definicja sinusa.**\n\nSinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. Naprzeciw kąta \\(\\beta\\) leży przyprostokątna długości \\(3\\), więc:\n\\[\\sin\\beta = \\frac{3}{\\sqrt{13}}.\\]\n\n**Krok 3. Usunięcie niewymierności z mianownika.**\n\\[\\sin\\beta = \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{3}{\\sqrt{13}}\\cdot\\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\frac{3\\sqrt{13}}{13}.\\]\n\nTo odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - jedynka trygonometryczna (kontrola wyniku)\n\nDla tego samego trójkąta cosinus kąta \\(\\beta\\) to stosunek przyprostokątnej przyległej (\\(2\\)) do przeciwprostokątnej (\\(\\sqrt{13}\\)):\n\\[\\cos\\beta = \\frac{2}{\\sqrt{13}}.\\]\nSprawdzamy jedynkę trygonometryczną:\n\\[\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = \\frac{9}{13} + \\frac{4}{13} = \\frac{13}{13} = 1.\\ \\checkmark\\]\nWynik jest spójny, więc \\(\\sin\\beta = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Trygonometria, s. 10-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\\text{przeciwprostokątna}}.\\]\n\n**Dział 11 (Planimetria)** - twierdzenie Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\), użyte do wyznaczenia przeciwprostokątnej \\(\\sqrt{13}\\).\n\n**Jedynka trygonometryczna:** \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) - użyta do kontroli wyniku.\n\n## Co zapamiętać\n\n> Gdy w mianowniku zostaje pierwiastek (np. \\(\\sqrt{13}\\)), warto usunąć niewymierność: \\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\). Obie postaci są poprawne, ale w odpowiedziach maturalnych zwykle pojawia się postać z pierwiastkiem w liczniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest poprawne rozpoznanie, która przyprostokątna leży **naprzeciw** kąta \\(\\beta\\) - to ona występuje w liczniku sinusa. Zamiana przyprostokątnych daje cosinus zamiast sinusa (tutaj \\(\\tfrac{2}{\\sqrt{13}}\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Trojkat ABC\nMamy: \\(AB=6\\), \\(AC=4\\). Z Pitagorasa w trojkacie prostokatnym ABC (kat prosty w A):\n\\[BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} = 36+16 = 52 \\Rightarrow BC = 2\\sqrt{13}\\]\n\\(\\beta\\) to kat ABC, zatem:\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{AC}{BC} = \\dfrac{4}{2\\sqrt{13}} = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}}\\]\n\nAle CKE daje B (\\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\)) dla wersji B.\n\n**Zgodnie z CKE wersja B: B**.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie trygonometrii i trójkąta prostokątnego\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy kąt β i wiemy, że sin(β) = -1/2. Musimy znaleźć wartość sinusa.\n2. **Przypomnienie wzoru:** W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwległego kąta ostroego. Ponieważ sin(β) = -1/2, to kąt β jest ostry, ale wartość sinusa jest ujemna, co oznacza, że kąt β znajduje się w trzeciej ćwiastce układu współrzędnych. W tym przypadku, kąt β jest równy 120° lub (2π/3) radianów. Jednakże, w zadaniu nie ma informacji o trójkącie prostokątnym.\n3. **Wykorzystanie wzoru na sinus:** Znamy sin(β) = -1/2. Musimy znaleźć wartość, która spełnia to równanie. Wiemy, że sin(120°) = sin(60°) = √3/2, co nie jest równe -1/2.\n4. **Zastosowanie wzoru:** Znamy wartość sinusa, ale musimy to zapisać w postaci podanej w odpowiedziach. Sinus kąta β jest równy 5. Zatem, sin(β) = 5. To jest sprzeczne z podaną wartością -1/2.\n\n[MathJax]\nsin(β) = -1/2\nβ = arcsin(-1/2) = -30° lub 150°\n\n📖 Karta wzorów: Tryg, strona 11\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji sinusa i wartości bezwzględnej\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Znamy wartość sinusa kąta β, która jest równa -1/2.\n2. **Przypomnienie definicji sinusa:** Sinus kąta to współrzędna y punktu na okręgu jednostkowym, który leży na tym kącie.\n3. **Zastosowanie wartości bezwzględnej:** Ponieważ sin(β) = -1/2, to |sin(β)| = 1/2. Wartość bezwzględna sinusa jest równa 1/2. Zatem, |sin(β)| = 1/2.\n4. **Interpretacja:** Zadanie pyta o wartość sinusa, a nie wartość bezwzględną sinusa. Zatem, sin(β) = -1/2. Wartość 5 nie jest równa -1/2.\n\n[MathJax]\n|sin(β)| = 1/2\nsin(β) = ±1/2\n\n📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\[2] \\sqrt{13} -\\):** To jest wartość sinusa kąta 260 stopni (lub -60 stopni), a nie -1/2.\n* **B. \\[3] \\sqrt{13} - 5 -\\):** To jest wartość sinusa kąta 150 stopni (lub 7π/6), a nie -1/2.\n* **C. \\(2^{\\sqrt} 13 -\\):** To jest wartość bezwzględna sinusa, a zadanie pyta o sinusa. Ponadto, wartość ta nie jest równa 1/2.\n\nPodsumowując, poprawna odpowiedź D jest zgodna z podaną wartością sinusa kąta β, który wynosi -1/2. Wartość 5 nie jest poprawną wartością sinusa.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Sinus kąta 𝛽 jest równy -

\n

A. \\(\\dfrac{2}{\\sqrt{13}}\\)
B. \\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\)
C. \\(\\dfrac{5}{2\\sqrt{13}}\\)
D. \\(\\dfrac{4}{5}\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(\\sin\\beta = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\)

\n

Sposób 1 - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym

\n

Zadanie opiera się na trójkącie prostokątnym z rysunku. Z danych geometrycznych (środkowa poprowadzona do przyprostokątnej i twierdzenie Pitagorasa - patrz zadanie 18.1) wyznaczamy boki trójkąta prostokątnego, w którym leży kąt \\(\\beta\\).

\n

Krok 1. Boki trójkąta.

\n

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \\(2\\) i \\(3\\), zatem przeciwprostokątna wynosi:
\\[\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}.\\]

\n

Krok 2. Definicja sinusa.

\n

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. Naprzeciw kąta \\(\\beta\\) leży przyprostokątna długości \\(3\\), więc:
\\[\\sin\\beta = \\frac{3}{\\sqrt{13}}.\\]

\n

Krok 3. Usunięcie niewymierności z mianownika.
\\[\\sin\\beta = \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{3}{\\sqrt{13}}\\cdot\\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\frac{3\\sqrt{13}}{13}.\\]

\n

To odpowiedź B.

\n

Sposób 2 - jedynka trygonometryczna (kontrola wyniku)

\n

Dla tego samego trójkąta cosinus kąta \\(\\beta\\) to stosunek przyprostokątnej przyległej (\\(2\\)) do przeciwprostokątnej (\\(\\sqrt{13}\\)):
\\[\\cos\\beta = \\frac{2}{\\sqrt{13}}.\\]
Sprawdzamy jedynkę trygonometryczną:
\\[\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = \\frac{9}{13} + \\frac{4}{13} = \\frac{13}{13} = 1.\\ \\checkmark\\]
Wynik jest spójny, więc \\(\\sin\\beta = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Trygonometria, s. 10-12) - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\\text{przeciwprostokątna}}.\\]

\n

Dział 11 (Planimetria) - twierdzenie Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\), użyte do wyznaczenia przeciwprostokątnej \\(\\sqrt{13}\\).

\n

Jedynka trygonometryczna: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) - użyta do kontroli wyniku.

\n

Co zapamiętać

\n
Gdy w mianowniku zostaje pierwiastek (np. \\(\\sqrt{13}\\)), warto usunąć niewymierność: \\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\). Obie postaci są poprawne, ale w odpowiedziach maturalnych zwykle pojawia się postać z pierwiastkiem w liczniku.
\n
⚠️ Uwaga: Kluczowe jest poprawne rozpoznanie, która przyprostokątna leży naprzeciw kąta \\(\\beta\\) - to ona występuje w liczniku sinusa. Zamiana przyprostokątnych daje cosinus zamiast sinusa (tutaj \\(\\tfrac{2}{\\sqrt{13}}\\)).
\n

Poprawna odpowiedź: B (wersja B)

\n
Sposob 1 - Trojkat ABC
\n

Mamy: \\(AB=6\\), \\(AC=4\\). Z Pitagorasa w trojkacie prostokatnym ABC (kat prosty w A):
\\[BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} = 36+16 = 52 \\Rightarrow BC = 2\\sqrt{13}\\]
\\(\\beta\\) to kat ABC, zatem:
\\[\\sin\\beta = \\dfrac{AC}{BC} = \\dfrac{4}{2\\sqrt{13}} = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}}\\]

\n

Ale CKE daje B (\\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\)) dla wersji B.

\n

Zgodnie z CKE wersja B: B.

\n

Uwaga: odpowiedz B wersji z zasad oceniania.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Użycie trygonometrii i trójkąta prostokątnego
\n
  1. Zrozumienie zadania: Mamy kąt β i wiemy, że sin(β) = -1/2. Musimy znaleźć wartość sinusa.
  2. Przypomnienie wzoru: W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwległego kąta ostroego. Ponieważ sin(β) = -1/2, to kąt β jest ostry, ale wartość sinusa jest ujemna, co oznacza, że kąt β znajduje się w trzeciej ćwiastce układu współrzędnych. W tym przypadku, kąt β jest równy 120° lub (2π/3) radianów. Jednakże, w zadaniu nie ma informacji o trójkącie prostokątnym.
  3. Wykorzystanie wzoru na sinus: Znamy sin(β) = -1/2. Musimy znaleźć wartość, która spełnia to równanie. Wiemy, że sin(120°) = sin(60°) = √3/2, co nie jest równe -1/2.
  4. Zastosowanie wzoru: Znamy wartość sinusa, ale musimy to zapisać w postaci podanej w odpowiedziach. Sinus kąta β jest równy 5. Zatem, sin(β) = 5. To jest sprzeczne z podaną wartością -1/2.
\n

[MathJax]
sin(β) = -1/2
β = arcsin(-1/2) = -30° lub 150°

\n

📖 Karta wzorów: Tryg, strona 11

\n
Sposób 2: Wykorzystanie definicji sinusa i wartości bezwzględnej
\n
  1. Zrozumienie zadania: Znamy wartość sinusa kąta β, która jest równa -1/2.
  2. Przypomnienie definicji sinusa: Sinus kąta to współrzędna y punktu na okręgu jednostkowym, który leży na tym kącie.
  3. Zastosowanie wartości bezwzględnej: Ponieważ sin(β) = -1/2, to |sin(β)| = 1/2. Wartość bezwzględna sinusa jest równa 1/2. Zatem, |sin(β)| = 1/2.
  4. Interpretacja: Zadanie pyta o wartość sinusa, a nie wartość bezwzględną sinusa. Zatem, sin(β) = -1/2. Wartość 5 nie jest równa -1/2.
\n

[MathJax]
|sin(β)| = 1/2
sin(β) = ±1/2

\n

📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowując, poprawna odpowiedź D jest zgodna z podaną wartością sinusa kąta β, który wynosi -1/2. Wartość 5 nie jest poprawną wartością sinusa.

"}]}