{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒂 i dla każdej dodatniej liczby\nrzeczywistej 𝒃 takich, że 𝒃≠𝟏\n𝟐𝒂, prawdziwa jest nierówność\n(𝒂+ 𝟐𝒃)𝟑> 𝟖𝒂𝟐𝒃+ 𝟏𝟔𝒂𝒃𝟐\n2.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że b ≠ 1/2a, prawdziwa jest nierówność (a+2b)³ > 8a²b + 16ab².","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.R5) korzysta ze wzorów na: […] (𝑎+ 𝑏)𝑛\n[…].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie\nkryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że 𝑎+ 2𝑏> 0 oraz uzasadnienie, że dla liczb\nspełniających warunek 𝑏≠1\n2 𝑎 zachodzi (𝑎-2𝑏)2 > 0).\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎-2𝑏)2 > 0,\nALBO\n- uzasadnienie, że funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 2𝑏.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci\n𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎+ 2𝑏)[(𝑎+ 2𝑏)2 -8𝑎𝑏] > 0,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎+ 2𝑏)2 > 8𝑎𝑏,\nALBO\n- rozważenie funkcji 𝑓(𝑎) = 𝑎3 -2𝑏𝑎2 -4𝑏2𝑎+ 8𝑏3 określonej dla 𝑎> 0 oraz\nobliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej:\n𝑓′(𝑎) = 3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 oraz 𝑎= 2𝑏.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy:\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2\n𝑎3 + 6𝑎2𝑏+ 12𝑎𝑏2 + 8𝑏3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0\n𝑎3 -2𝑎2𝑏-4𝑎𝑏2 + 8𝑏3 > 0\n𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0\n(𝑎-2𝑏)(𝑎2 -4𝑏2) > 0\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nZ założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.\nPonieważ 𝑏≠1\n2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby\nrzeczywistej różnej od zera.\nZatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby\ndodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To oznacza, że również nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎\ni każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy:\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏)\n(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏) > 0\n(𝑎+ 2𝑏)[(𝑎+ 2𝑏)2 -8𝑎𝑏] > 0\n(𝑎+ 2𝑏)(𝑎2 -4𝑎𝑏+ 4𝑏2) > 0\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nZ założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.\nPonieważ 𝑏≠1\n2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby\nrzeczywistej różnej od zera.\nZatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby\ndodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To oznacza, że również nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎\ni każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To należało wykazać.\nSposób III\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = (𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 dla\nkażdego 𝑎∈(0, +∞).\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓 oraz jej miejsca zerowe:\n𝑓′(𝑎) = 3(𝑎+ 2𝑏)2 -16𝑏𝑎-16𝑏2\n3𝑎2 + 12𝑎𝑏+ 12𝑏2 -16𝑏𝑎-16𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0\n(𝑎= -2\n3 𝑏 ∨ 𝑎= 2𝑏) ∧ 𝑎> 0\nGdy 𝑏> 0, to 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2𝑏, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2𝑏). Zatem przy\n𝑏 dodatnim funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 2𝑏] oraz rosnąca w przedziale\n[2𝑏, +∞), czyli funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego 𝑎= 2𝑏.\nTa najmniejsza wartość jest równa 𝑓(2𝑏) = (2𝑏+ 2𝑏)3 -8 ⋅(2𝑏)2 ⋅𝑏-16 ⋅2𝑏⋅𝑏2 = 0.\nZatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑏\ntakich, że 𝑎≠2𝑏, prawdziwa jest nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (rozkład $(a-2b)^2 (a+2b) > 0$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nPrzenieś wszystko na jedną stronę i pokaż, że różnica jest dodatnia dla każdego dopuszczalnego $a, b$. Cel: rozłożyć tę różnicę na iloczyn czynników o znanych znakach.\n\nRozwiń $(a + 2b)^3$ z wzoru $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3 x y^2 + y^3$ dla $x = a$, $y = 2b$:\n\n$$(a + 2b)^3 = a^3 + 3 a^2 (2b) + 3 a (2b)^2 + (2b)^3$$\n\n$$= a^3 + 6 a^2 b + 12 a b^2 + 8 b^3$$\n\nOdejmij prawą stronę nierówności od lewej. Tworzę różnicę $L - R$, którą trzeba wykazać $> 0$:\n\n$$L - R = (a^3 + 6 a^2 b + 12 a b^2 + 8 b^3) - (8 a^2 b + 16 a b^2)$$\n\n$$L - R = a^3 + 6 a^2 b - 8 a^2 b + 12 a b^2 - 16 a b^2 + 8 b^3$$\n\n$$L - R = a^3 - 2 a^2 b - 4 a b^2 + 8 b^3$$\n\nRozłóż na czynniki grupowaniem. Wyciągnij wspólne czynniki z par:\n\n$$a^3 - 2 a^2 b - 4 a b^2 + 8 b^3 = a^2 (a - 2b) - 4 b^2 (a - 2b)$$\n\nW obu nawiasach pojawia się ten sam dwumian $(a - 2b)$. Wyciągnij go:\n\n$$= (a - 2b)(a^2 - 4b^2)$$\n\nDrugi czynnik to różnica kwadratów — rozłóż dalej:\n\n$$a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$$\n\nStąd:\n\n$$L - R = (a - 2b) \\cdot (a - 2b) \\cdot (a + 2b) = (a - 2b)^2 \\cdot (a + 2b)$$\n\nZbadaj znak każdego czynnika.\n\n- $(a - 2b)^2$: kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze $\\geq 0$, z równością tylko gdy $a = 2b$, czyli $b = \\tfrac{a}{2}$. Z założenia $b \\neq \\tfrac{a}{2}$, więc $(a - 2b)^2 > 0$.\n- $(a + 2b)$: skoro $a > 0$ i $b > 0$, to $a + 2b > 0$.\n\nIloczyn dwóch wielkości dodatnich jest dodatni:\n\n$$L - R = (a - 2b)^2 \\cdot (a + 2b) > 0$$\n\nWniosek. $L > R$, czyli:\n\n$$(a + 2b)^3 > 8 a^2 b + 16 a b^2 \\quad\\blacksquare$$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — przekształcenie $(a+2b)^3 - 8a^2 b - 16 ab^2$ do postaci $a^3 - 2a^2 b - 4 ab^2 + 8b^3$.\n- 2 pkt — rozkład na iloczyn $(a - 2b)^2 (a + 2b)$.\n- 3 pkt — pełne rozumowanie + uzasadnienie znaków obu czynników (kluczowe! wymagane przez treść warunki $a, b > 0$ i $b \\neq \\tfrac{a}{2}$).\n\nKlucz — schemat dowodów nierówności\n\nProcedura uniwersalna:\n\n1. Przenieś wszystko na jedną stronę — różnica $L - R$.\n2. Rozłóż na iloczyn czynników, których znaki łatwo określić (typowo: kwadraty, sumy z dodatnimi liczbami, dwumiany ze znanym znakiem).\n3. Określ znak każdego czynnika używając założeń.\n4. Wnioskuj — iloczyn niezerowych dodatnich liczb jest dodatni.\n\nW tym zadaniu kluczowy moment to dostrzeżenie wzorca grupowania $a^2(a - 2b) - 4 b^2 (a - 2b)$. To wymaga wprawy — warto poćwiczyć na podobnych zadaniach.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: rozwiązać \"ostrą\" nierówność $\\geq$ zamiast $>$, czyli zapomnieć, że warunek $b \\neq a/2$ wymusza ostry znak. Drugi błąd: zła ekspansja $(a+2b)^3$ (najczęściej człon $12ab^2$ pomylony z $8ab^2$).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"nierówności, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-3)
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒂 i dla każdej dodatniej liczby
rzeczywistej 𝒃 takich, że 𝒃≠𝟏
𝟐𝒂, prawdziwa jest nierówność
(𝒂+ 𝟐𝒃)𝟑> 𝟖𝒂𝟐𝒃+ 𝟏𝟔𝒂𝒃𝟐
2.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że b ≠ 1/2a, prawdziwa jest nierówność (a+2b)³ > 8a²b + 16ab².

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
II.R5) korzysta ze wzorów na: […] (𝑎+ 𝑏)𝑛
[…].
Zasady oceniania
3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie
kryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że 𝑎+ 2𝑏> 0 oraz uzasadnienie, że dla liczb
spełniających warunek 𝑏≠1
2 𝑎 zachodzi (𝑎-2𝑏)2 > 0).
2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

1 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci
𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

obliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej:
𝑓′(𝑎) = 3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 oraz 𝑎= 2𝑏.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy:
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2
𝑎3 + 6𝑎2𝑏+ 12𝑎𝑏2 + 8𝑏3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0
𝑎3 -2𝑎2𝑏-4𝑎𝑏2 + 8𝑏3 > 0
𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0
(𝑎-2𝑏)(𝑎2 -4𝑏2) > 0
(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0
Z założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.
Ponieważ 𝑏≠1
2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby
rzeczywistej różnej od zera.
Zatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność
(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby
dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎. To oznacza, że również nierówność
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎
i każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎. To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy:
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏)
(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏) > 0
(𝑎+ 2𝑏)[(𝑎+ 2𝑏)2 -8𝑎𝑏] > 0
(𝑎+ 2𝑏)(𝑎2 -4𝑎𝑏+ 4𝑏2) > 0
(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0
Z założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.
Ponieważ 𝑏≠1
2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby
rzeczywistej różnej od zera.
Zatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność
(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby
dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎. To oznacza, że również nierówność
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎
i każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎. To należało wykazać.
Sposób III
Niech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = (𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 dla
każdego 𝑎∈(0, +∞).
Obliczamy pochodną funkcji 𝑓 oraz jej miejsca zerowe:
𝑓′(𝑎) = 3(𝑎+ 2𝑏)2 -16𝑏𝑎-16𝑏2
3𝑎2 + 12𝑎𝑏+ 12𝑏2 -16𝑏𝑎-16𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0
(𝑎= -2
3 𝑏 ∨ 𝑎= 2𝑏) ∧ 𝑎> 0
Gdy 𝑏> 0, to 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2𝑏, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2𝑏). Zatem przy
𝑏 dodatnim funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 2𝑏] oraz rosnąca w przedziale
[2𝑏, +∞), czyli funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego 𝑎= 2𝑏.
Ta najmniejsza wartość jest równa 𝑓(2𝑏) = (2𝑏+ 2𝑏)3 -8 ⋅(2𝑏)2 ⋅𝑏-16 ⋅2𝑏⋅𝑏2 = 0.
Zatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑏
takich, że 𝑎≠2𝑏, prawdziwa jest nierówność
(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0
To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (rozkład $(a-2b)^2 (a+2b) > 0$).

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Strategia

\n

Przenieś wszystko na jedną stronę i pokaż, że różnica jest dodatnia dla każdego dopuszczalnego $a, b$. Cel: rozłożyć tę różnicę na iloczyn czynników o znanych znakach.

\n

Rozwiń $(a + 2b)^3$ z wzoru $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3 x y^2 + y^3$ dla $x = a$, $y = 2b$:

\n

$$(a + 2b)^3 = a^3 + 3 a^2 (2b) + 3 a (2b)^2 + (2b)^3$$

\n

$$= a^3 + 6 a^2 b + 12 a b^2 + 8 b^3$$

\n

Odejmij prawą stronę nierówności od lewej. Tworzę różnicę $L - R$, którą trzeba wykazać $> 0$:

\n

$$L - R = (a^3 + 6 a^2 b + 12 a b^2 + 8 b^3) - (8 a^2 b + 16 a b^2)$$

\n

$$L - R = a^3 + 6 a^2 b - 8 a^2 b + 12 a b^2 - 16 a b^2 + 8 b^3$$

\n

$$L - R = a^3 - 2 a^2 b - 4 a b^2 + 8 b^3$$

\n

Rozłóż na czynniki grupowaniem. Wyciągnij wspólne czynniki z par:

\n

$$a^3 - 2 a^2 b - 4 a b^2 + 8 b^3 = a^2 (a - 2b) - 4 b^2 (a - 2b)$$

\n

W obu nawiasach pojawia się ten sam dwumian $(a - 2b)$. Wyciągnij go:

\n

$$= (a - 2b)(a^2 - 4b^2)$$

\n

Drugi czynnik to różnica kwadratów — rozłóż dalej:

\n

$$a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$$

\n

Stąd:

\n

$$L - R = (a - 2b) \\cdot (a - 2b) \\cdot (a + 2b) = (a - 2b)^2 \\cdot (a + 2b)$$

\n

Zbadaj znak każdego czynnika.

\n\n

Iloczyn dwóch wielkości dodatnich jest dodatni:

\n

$$L - R = (a - 2b)^2 \\cdot (a + 2b) > 0$$

\n

Wniosek. $L > R$, czyli:

\n

$$(a + 2b)^3 > 8 a^2 b + 16 a b^2 \\quad\\blacksquare$$

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz — schemat dowodów nierówności

\n

Procedura uniwersalna:

\n
  1. Przenieś wszystko na jedną stronę — różnica $L - R$.
  2. Rozłóż na iloczyn czynników, których znaki łatwo określić (typowo: kwadraty, sumy z dodatnimi liczbami, dwumiany ze znanym znakiem).
  3. Określ znak każdego czynnika używając założeń.
  4. Wnioskuj — iloczyn niezerowych dodatnich liczb jest dodatni.
\n

W tym zadaniu kluczowy moment to dostrzeżenie wzorca grupowania $a^2(a - 2b) - 4 b^2 (a - 2b)$. To wymaga wprawy — warto poćwiczyć na podobnych zadaniach.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: rozwiązać "ostrą" nierówność $\\geq$ zamiast $>$, czyli zapomnieć, że warunek $b \\neq a/2$ wymusza ostry znak. Drugi błąd: zła ekspansja $(a+2b)^3$ (najczęściej człon $12ab^2$ pomylony z $8ab^2$).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: dowód

\n

Sposób 1 - Rozwinięcie i faktoryzacja

\n

Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę.

\n

Nierówność
\\[(a+2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2\\]
jest równoważna (bo wystarczy pokazać, że lewa minus prawa jest dodatnia):
\\[(a+2b)^3 - 8a^2b - 16ab^2 > 0\\]

\n

Krok 2: Rozwijamy \\((a+2b)^3\\) ze wzoru skróconego mnożenia.

\n

\\[(a+2b)^3 = a^3 + 3a^2 \\cdot 2b + 3a \\cdot (2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3\\]

\n

Krok 3: Odejmujemy prawą stronę.

\n

\\[a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 - 8a^2b - 16ab^2\\]
\\[= a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3\\]

\n

Krok 4: Faktoryzujemy wyrażenie przez grupowanie.

\n

\\[a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3 = a^2(a - 2b) - 4b^2(a - 2b)\\]
\\[= (a^2 - 4b^2)(a - 2b)\\]
\\[= (a-2b)(a+2b)(a-2b)\\]
\\[\\boxed{= (a-2b)^2(a+2b)}\\]

\n

Krok 5: Pokazujemy, że czynnik jest dodatni.

\n\n

Zatem:
\\[(a-2b)^2(a+2b) > 0\\]

\n

co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Uproszczenie przez wyłączenie + nierówność AM-GM

\n

Krok 1: Wyłączamy \\((a+2b)\\) z prawej strony.

\n

\\[8a^2b + 16ab^2 = 8ab(a + 2b)\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[(a+2b)^3 > 8ab(a+2b)\\]

\n

Krok 2: Dzielimy obie strony przez \\((a+2b)\\).

\n

Ponieważ \\(a > 0, b > 0\\), to \\(a + 2b > 0\\), więc dzielenie nie zmienia zwrotu nierówności:
\\[(a+2b)^2 > 8ab\\]

\n

Krok 3: Stosujemy nierówność AM-GM do liczb \\(a\\) i \\(2b\\) (obie dodatnie):

\n

\\[\\frac{a + 2b}{2} \\geq \\sqrt{a \\cdot 2b} = \\sqrt{2ab}\\]

\n

Stąd:
\\[a + 2b \\geq 2\\sqrt{2ab}\\]

\n

Podnosimy do kwadratu (obie strony dodatnie):
\\[(a+2b)^2 \\geq 4 \\cdot 2ab = 8ab\\]

\n

Krok 4: Równość jest wykluczona.

\n

W nierówności AM-GM równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a = 2b\\), czyli \\(b = \\dfrac{1}{2}a\\). Z założenia \\(b \\neq \\dfrac{1}{2}a\\), więc:
\\[(a+2b)^2 > 8ab\\]

\n

Zatem:
\\[(a+2b)^3 = (a+2b)^2 \\cdot (a+2b) > 8ab \\cdot (a+2b) = 8a^2b + 16ab^2\\]

\n

co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Sposób 1:

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na sześcian sumy:
\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\]
Użyliśmy go do rozwinięcia \\((a+2b)^3\\) w kroku 2.

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na różnicę kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy do faktoryzacji \\((a^2 - 4b^2) = (a-2b)(a+2b)\\) w kroku 4.

\n

Sposób 2:

\n

W tym sposobie korzystamy z nierówności AM-GM (średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna) - ta nierówność nie jest wprost na karcie CKE, ale wynika z elementarnych własności. Sama technika „dzielenia przez czynnik dodatni" to własność nierówności.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy faktoryzacji \\(a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3\\) łatwo się pomylić przy grupowaniu. Koniecznie sprawdź znak: \\(-4b^2(a - 2b) = -4ab^2 + 8b^3\\) - to się zgadza!
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(b \\neq \\dfrac{1}{2}a\\) jest kluczowy - bez niego wyrażenie \\((a-2b)^2(a+2b)\\) mogłoby być równe \\(0\\) (przy \\(a = 2b\\)), a nierówność ścisła \\(>\\) byłaby fałszywa. Zawsze odwołaj się do tego warunku w dowodzie!
\n
⚠️ Uwaga: Nie można po prostu „podzielić przez \\((a+2b)\\)" bez wcześniejszego uzasadnienia, że \\(a + 2b > 0\\). W zadaniu \\(a > 0, b > 0\\), więc to oczywiste - ale napisz to wprost w rozwiązaniu, bo egzaminator to sprawdza!
\n
Sposób I (sześcian sumy + rozkład na czynniki)
\n

Korzystamy ze wzoru \\((a+2b)^{3}=a^{3}+3\\cdot a^{2}\\cdot 2b+3\\cdot a\\cdot (2b)^{2}+(2b)^{3}=a^{3}+6a^{2}b+12ab^{2}+8b^{3}\\).

\n

Przekształcamy nierówność równoważnie:
\\[(a+2b)^{3}>8a^{2}b+16ab^{2}\\]
\\[a^{3}+6a^{2}b+12ab^{2}+8b^{3}-8a^{2}b-16ab^{2}>0\\]
\\[a^{3}-2a^{2}b-4ab^{2}+8b^{3}>0\\]
Grupujemy:
\\[a^{2}(a-2b)-4b^{2}(a-2b)>0\\]
\\[(a-2b)(a^{2}-4b^{2})>0\\]
\\[(a-2b)(a-2b)(a+2b)>0\\]
\\[(a-2b)^{2}(a+2b)>0\\]

\n

Uzasadnienie dodatniości:

\n\n

Iloczyn \\((a-2b)^{2}(a+2b)\\) jest dodatni (iloczyn liczb dodatnich). To kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób II (wyciąganie wspólnego czynnika)
\n

\\[(a+2b)^{3}>8ab(a+2b)\\]
\\[(a+2b)^{3}-8ab(a+2b)>0\\]
\\[(a+2b)\\big[(a+2b)^{2}-8ab\\big]>0\\]
\\[(a+2b)(a^{2}-4ab+4b^{2})>0\\]
\\[(a+2b)(a-2b)^{2}>0\\]
analogicznie jak w sposobie I.

\n
Karta wzorów CKE
\n

Wzory skróconego mnożenia: \\((x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\), \\((x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\\), \\(x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\\) (str. 5 karty wzorów EM2023).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Gdy widzisz \\(8a^{2}b+16ab^{2}=8ab(a+2b)\\), natychmiast wyłączaj \\((a+2b)\\) - wtedy zostaje \\((a+2b)^{2}-8ab\\), czyli kwadrat różnicy \\((a-2b)^{2}\\). Klasyczny manewr w dowodach nierówności.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód matematyczny.

"}]}