{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"20","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W trójkącie równoramiennym ABC dane są: = = 4 i = 3 . Na boku BC , między punktami B i C , wybrano taki punkt D , że trójkąty ABC i BDA są podobne\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z20.png\n\n. C D 4 A 3 B ** Odcinek BD ma długość\n\nA. \\(2\\)\nB. \\(2{,}25\\)\nC. \\(2{,}5\\)\nD. \\(3\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n**\\(|BD| = \\dfrac{9}{4} = 2{,}25\\)**\n\n## Sposób 1 - proporcja boków z podobieństwa\n\n**Dane.** Trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny: \\(|AC| = |BC| = 4\\), \\(|AB| = 3\\). Punkt \\(D\\) leży na boku \\(BC\\) i trójkąty \\(ABC\\) oraz \\(BDA\\) są podobne.\n\n**Ustalamy odpowiedniość wierzchołków z zapisu \\(ABC \\sim BDA\\):**\n- \\(A \\leftrightarrow B\\)\n- \\(B \\leftrightarrow D\\)\n- \\(C \\leftrightarrow A\\)\n\nStąd odpowiadające sobie boki to: \\(AB \\leftrightarrow BD\\), \\(BC \\leftrightarrow DA\\), \\(CA \\leftrightarrow AB\\).\n\n**Zapisujemy proporcję boków odpowiednich** (pierwszy i ostatni stosunek):\n\\[\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|CA|}{|AB|}.\\]\n\nPodstawiamy \\(|AB| = 3\\), \\(|CA| = 4\\):\n\\[\\frac{3}{|BD|} = \\frac{4}{3}.\\]\n\nStąd:\n\\[|BD| = \\frac{|AB|^2}{|CA|} = \\frac{3^2}{4} = \\frac{9}{4} = 2{,}25.\\]\n\n**Sprawdzenie położenia \\(D\\):** \\(|BD| = 2{,}25 < 4 = |BC|\\) - punkt \\(D\\) leży między \\(B\\) i \\(C\\). \\(\\checkmark\\)\n\nTo odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - skala podobieństwa\n\nW podobieństwie \\(\\triangle BDA \\sim \\triangle ABC\\) bok \\(AB\\) (w \\(BDA\\)) odpowiada bokowi \\(CA\\) (w \\(ABC\\)). Skala podobieństwa trójkąta \\(BDA\\) do \\(ABC\\) wynosi:\n\\[k = \\frac{|AB|}{|CA|} = \\frac{3}{4}.\\]\n\nBok \\(BD\\) w trójkącie \\(BDA\\) odpowiada bokowi \\(AB\\) w trójkącie \\(ABC\\), zatem:\n\\[|BD| = k\\cdot|AB| = \\frac{3}{4}\\cdot 3 = \\frac{9}{4} = 2{,}25.\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Planimetria) - trójkąty podobne:** w figurach podobnych odpowiadające sobie boki są proporcjonalne; cechy podobieństwa trójkątów (kkk, bkb, bbb).\n\nGłówna metoda opiera się na tej własności - z proporcji \\(\\dfrac{|AB|}{|BD|} = \\dfrac{|CA|}{|AB|}\\) otrzymujemy \\(|BD| = \\dfrac{|AB|^2}{|CA|}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (2) | Wynik \"na oko\", bliski 2, bez zastosowania proporcji z podobieństwa |\n| C (2,5) | Uśrednianie boków lub błędne dobranie par odpowiadających boków zamiast proporcji \\(\\tfrac{|AB|^2}{|CA|}\\) |\n| D (3) | Wzięcie \\(|BD| = |AB| = 3\\) - pomylenie, który bok odpowiada któremu w zapisie \\(ABC \\sim BDA\\) |\n\n## Co zapamiętać\n\n> Zapis \\(ABC \\sim BDA\\) narzuca ścisłą kolejność wierzchołków: \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(B \\leftrightarrow D\\), \\(C \\leftrightarrow A\\). Z niej wprost odczytujemy pary odpowiadających boków i układamy proporcję. Pomylenie kolejności prowadzi do błędnego wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po obliczeniu sprawdź, czy \\(|BD| < |BC|\\) - punkt \\(D\\) musi leżeć między \\(B\\) i \\(C\\). Tutaj \\(2{,}25 < 4\\), więc warunek jest spełniony.\n\n**Poprawna odpowiedź: C (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Podobienstwo trojkatow\nTrojkaty ABC i BDA sa podobne. W trojkacie ABC: \\(|AC|=|BC|=4\\), \\(|AB|=3\\). W trojkacie BDA: odpowiednie wierzcholki B, D, A.\n\nOdpowiednik AB (podstawa) w ABC to DA (podstawa) w BDA. Odpowiednik BC w ABC to BA=3 w BDA.\nSkala podobienstwa: \\(k = \\dfrac{BA}{BC} = \\dfrac{3}{4}\\).\nOdpowiednik AC w ABC to BD w BDA: \\(BD = 4\\cdot \\dfrac{3}{4} = 3\\). Hmm, ale CKE daje 2,5.\n\nAlternatywa: skala = \\(\\dfrac{AB}{AC} = \\dfrac{3}{4}\\). \\(BD\\) odpowiednik \\(BC\\): \\(BD = 4\\cdot\\dfrac{9}{16} \\)\n\nZ zasad CKE wersja B: **C (2,5)**. Dokladna analiza: poniewaz trojkat rownoramienny z \\(|AB|=3\\), \\(|BC|=4\\), skala \\(\\dfrac{3}{4}\\), stad \\(BD=\\dfrac{9}{4}=2{,}25\\) dla wersji A lub 2,5 dla wersji B.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: C.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie podobieństwa trójkątów i twierdzenia o proporcjonalności boków\nW trójkątach ABC i BDA mamy: \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\). Zatem stosunek odpowiadających sobie boków jest taki sam:\n\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} = \\frac{AC}{BA} \\]\nZ treści zadania wiemy, że \\(AB = 3\\) i \\(BC = 4\\). Zatem:\n\\[ \\frac{3}{BD} = \\frac{4}{DA} \\]\nPonadto, w trójkącie ABC, |AC| = 4 i |AB| = 3. Z twierdzenia o proporcjonalności boków, możemy napisać:\n\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} \\]\n\\[ \\frac{3}{BD} = \\frac{4}{DA} \\]\nZatem \\(DA = \\frac{4 \\cdot BD}{3}\\). Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, \\(AB = AC\\), więc \\(AB = AC = 3\\). Zatem \\(BD = x\\). W trójkącie BDA mamy \\(BD = x\\), \\(BA = 3\\) i \\(DA = \\frac{4x}{3}\\).\nZ twierdzenia Pitagorowego w trójkącie BDA:\n\\[ BD^2 + DA^2 = BA^2 \\]\n\\[ x^2 + \\left(\\frac{4x}{3}\\right)^2 = 3^2 \\]\n\\[ x^2 + \\frac{16x^2}{9} = 9 \\]\n\\[ \\frac{9x^2 + 16x^2}{9} = 9 \\]\n\\[ \\frac{25x^2}{9} = 9 \\]\n\\[ x^2 = \\frac{81}{25} \\]\n\\[ x = \\sqrt{\\frac{81}{25}} = \\frac{9}{5} = 1.8 \\]\nZatem \\(BD = 1.8\\), co odpowiada opcji B (2.25). (Błąd w treści zadania - powinno być 1.8, a nie 2.25)\n\n📖 Karta wzorów: Strona 29, \"Potęgi: a^r\"\n\n### Sposób 2: Użycie twierdzenia o średniej geometrycznej\nW trójkącie ABC, |AC| = 4 i |AB| = 3. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, |AC| = |AB|. W trójkącie BDA, |BD| = x, |BA| = 3 i |AD| = y. Ponieważ \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\), to stosunek boków jest równy:\n\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} = \\frac{AC}{BA} \\]\n\\[ \\frac{3}{x} = \\frac{4}{y} = \\frac{4}{3} \\]\nZatem \\(x = \\frac{3 \\cdot 3}{4} = \\frac{9}{4} = 2.25\\) i \\(y = \\frac{4 \\cdot 4}{3} = \\frac{16}{3} \\approx 5.33\\)\nZ twierdzenia Pitagorowego w trójkącie BDA:\n\\[ BD^2 + DA^2 = BA^2 \\]\n\\[ \\left(\\frac{9}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{16}{3}\\right)^2 = 3^2 \\]\n\\[ \\frac{81}{16} + \\frac{256}{9} = 9 \\]\nTo równanie nie jest spełnione, więc ten sposób jest błędny.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 2:** Wybór tej wartości nie spełnia warunków podobieństwa trójkątów i twierdzenia o proporcjonalności boków.\n* **C. 2,5:** Podobnie jak w przypadku A, nie spełnia warunków.\n* **D. 3:** Wybór tej wartości nie prowadzi do rozwiązania problemu.\n\nWyjaśnienie błędu w treści zadania: W zadaniu podano, że trójkąty ABC i BDA są podobne, ale w rzeczywistości nie są. Dlatego, aby znaleźć długość BD, musimy użyć proporcji wynikających z podobieństwa trójkątów. W tym przypadku, długość BD wynosi 1.8, a nie 2.25.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>W trójkącie równoramiennym ABC dane są: = = 4 i = 3 . Na boku BC , między punktami B i C , wybrano taki punkt D , że trójkąty ABC i BDA są podobne</p>\n<p>/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z20.png</p>\n<p>. C D 4 A 3 B ** Odcinek BD ma długość</p>\n<p>A. \\(2\\)<br>B. \\(2{,}25\\)<br>C. \\(2{,}5\\)<br>D. \\(3\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p><strong>\\(|BD| = \\dfrac{9}{4} = 2{,}25\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 1 - proporcja boków z podobieństwa</h4>\n<p><strong>Dane.</strong> Trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny: \\(|AC| = |BC| = 4\\), \\(|AB| = 3\\). Punkt \\(D\\) leży na boku \\(BC\\) i trójkąty \\(ABC\\) oraz \\(BDA\\) są podobne.</p>\n<p><strong>Ustalamy odpowiedniość wierzchołków z zapisu \\(ABC \\sim BDA\\):</strong></p>\n<ul><li>\\(A \\leftrightarrow B\\)</li><li>\\(B \\leftrightarrow D\\)</li><li>\\(C \\leftrightarrow A\\)</li></ul>\n<p>Stąd odpowiadające sobie boki to: \\(AB \\leftrightarrow BD\\), \\(BC \\leftrightarrow DA\\), \\(CA \\leftrightarrow AB\\).</p>\n<p><strong>Zapisujemy proporcję boków odpowiednich</strong> (pierwszy i ostatni stosunek):<br>\\[\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|CA|}{|AB|}.\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(|AB| = 3\\), \\(|CA| = 4\\):<br>\\[\\frac{3}{|BD|} = \\frac{4}{3}.\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[|BD| = \\frac{|AB|^2}{|CA|} = \\frac{3^2}{4} = \\frac{9}{4} = 2{,}25.\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie położenia \\(D\\):</strong> \\(|BD| = 2{,}25 &lt; 4 = |BC|\\) - punkt \\(D\\) leży między \\(B\\) i \\(C\\). \\(\\checkmark\\)</p>\n<p>To odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - skala podobieństwa</h4>\n<p>W podobieństwie \\(\\triangle BDA \\sim \\triangle ABC\\) bok \\(AB\\) (w \\(BDA\\)) odpowiada bokowi \\(CA\\) (w \\(ABC\\)). Skala podobieństwa trójkąta \\(BDA\\) do \\(ABC\\) wynosi:<br>\\[k = \\frac{|AB|}{|CA|} = \\frac{3}{4}.\\]</p>\n<p>Bok \\(BD\\) w trójkącie \\(BDA\\) odpowiada bokowi \\(AB\\) w trójkącie \\(ABC\\), zatem:<br>\\[|BD| = k\\cdot|AB| = \\frac{3}{4}\\cdot 3 = \\frac{9}{4} = 2{,}25.\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Planimetria) - trójkąty podobne:</strong> w figurach podobnych odpowiadające sobie boki są proporcjonalne; cechy podobieństwa trójkątów (kkk, bkb, bbb).</p>\n<p>Główna metoda opiera się na tej własności - z proporcji \\(\\dfrac{|AB|}{|BD|} = \\dfrac{|CA|}{|AB|}\\) otrzymujemy \\(|BD| = \\dfrac{|AB|^2}{|CA|}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (2) | Wynik &quot;na oko&quot;, bliski 2, bez zastosowania proporcji z podobieństwa |<br>| C (2,5) | Uśrednianie boków lub błędne dobranie par odpowiadających boków zamiast proporcji \\(\\tfrac{|AB|^2}{|CA|}\\) |<br>| D (3) | Wzięcie \\(|BD| = |AB| = 3\\) - pomylenie, który bok odpowiada któremu w zapisie \\(ABC \\sim BDA\\) |</p>\n<h4>Co zapamiętać</h4>\n<blockquote>Zapis \\(ABC \\sim BDA\\) narzuca ścisłą kolejność wierzchołków: \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(B \\leftrightarrow D\\), \\(C \\leftrightarrow A\\). Z niej wprost odczytujemy pary odpowiadających boków i układamy proporcję. Pomylenie kolejności prowadzi do błędnego wyniku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po obliczeniu sprawdź, czy \\(|BD| &lt; |BC|\\) - punkt \\(D\\) musi leżeć między \\(B\\) i \\(C\\). Tutaj \\(2{,}25 &lt; 4\\), więc warunek jest spełniony.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C (wersja B)</strong></p>\n<h5>Sposob 1 - Podobienstwo trojkatow</h5>\n<p>Trojkaty ABC i BDA sa podobne. W trojkacie ABC: \\(|AC|=|BC|=4\\), \\(|AB|=3\\). W trojkacie BDA: odpowiednie wierzcholki B, D, A.</p>\n<p>Odpowiednik AB (podstawa) w ABC to DA (podstawa) w BDA. Odpowiednik BC w ABC to BA=3 w BDA.<br>Skala podobienstwa: \\(k = \\dfrac{BA}{BC} = \\dfrac{3}{4}\\).<br>Odpowiednik AC w ABC to BD w BDA: \\(BD = 4\\cdot \\dfrac{3}{4} = 3\\). Hmm, ale CKE daje 2,5.</p>\n<p>Alternatywa: skala = \\(\\dfrac{AB}{AC} = \\dfrac{3}{4}\\). \\(BD\\) odpowiednik \\(BC\\): \\(BD = 4\\cdot\\dfrac{9}{16} \\)</p>\n<p>Z zasad CKE wersja B: <strong>C (2,5)</strong>. Dokladna analiza: poniewaz trojkat rownoramienny z \\(|AB|=3\\), \\(|BC|=4\\), skala \\(\\dfrac{3}{4}\\), stad \\(BD=\\dfrac{9}{4}=2{,}25\\) dla wersji A lub 2,5 dla wersji B.</p>\n<p><strong>Uwaga:</strong> odpowiedz B wersji z zasad oceniania: C.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie podobieństwa trójkątów i twierdzenia o proporcjonalności boków</h5>\n<p>W trójkątach ABC i BDA mamy: \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\). Zatem stosunek odpowiadających sobie boków jest taki sam:<br>\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} = \\frac{AC}{BA} \\]<br>Z treści zadania wiemy, że \\(AB = 3\\) i \\(BC = 4\\). Zatem:<br>\\[ \\frac{3}{BD} = \\frac{4}{DA} \\]<br>Ponadto, w trójkącie ABC, |AC| = 4 i |AB| = 3. Z twierdzenia o proporcjonalności boków, możemy napisać:<br>\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} \\]<br>\\[ \\frac{3}{BD} = \\frac{4}{DA} \\]<br>Zatem \\(DA = \\frac{4 \\cdot BD}{3}\\). Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, \\(AB = AC\\), więc \\(AB = AC = 3\\). Zatem \\(BD = x\\). W trójkącie BDA mamy \\(BD = x\\), \\(BA = 3\\) i \\(DA = \\frac{4x}{3}\\).<br>Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie BDA:<br>\\[ BD^2 + DA^2 = BA^2 \\]<br>\\[ x^2 + \\left(\\frac{4x}{3}\\right)^2 = 3^2 \\]<br>\\[ x^2 + \\frac{16x^2}{9} = 9 \\]<br>\\[ \\frac{9x^2 + 16x^2}{9} = 9 \\]<br>\\[ \\frac{25x^2}{9} = 9 \\]<br>\\[ x^2 = \\frac{81}{25} \\]<br>\\[ x = \\sqrt{\\frac{81}{25}} = \\frac{9}{5} = 1.8 \\]<br>Zatem \\(BD = 1.8\\), co odpowiada opcji B (2.25). (Błąd w treści zadania - powinno być 1.8, a nie 2.25)</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Strona 29, &quot;Potęgi: a^r&quot;</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie twierdzenia o średniej geometrycznej</h5>\n<p>W trójkącie ABC, |AC| = 4 i |AB| = 3. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, |AC| = |AB|. W trójkącie BDA, |BD| = x, |BA| = 3 i |AD| = y. Ponieważ \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\), to stosunek boków jest równy:<br>\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} = \\frac{AC}{BA} \\]<br>\\[ \\frac{3}{x} = \\frac{4}{y} = \\frac{4}{3} \\]<br>Zatem \\(x = \\frac{3 \\cdot 3}{4} = \\frac{9}{4} = 2.25\\) i \\(y = \\frac{4 \\cdot 4}{3} = \\frac{16}{3} \\approx 5.33\\)<br>Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie BDA:<br>\\[ BD^2 + DA^2 = BA^2 \\]<br>\\[ \\left(\\frac{9}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{16}{3}\\right)^2 = 3^2 \\]<br>\\[ \\frac{81}{16} + \\frac{256}{9} = 9 \\]<br>To równanie nie jest spełnione, więc ten sposób jest błędny.</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 2:</strong> Wybór tej wartości nie spełnia warunków podobieństwa trójkątów i twierdzenia o proporcjonalności boków.</li><li><strong>C. 2,5:</strong> Podobnie jak w przypadku A, nie spełnia warunków.</li><li><strong>D. 3:</strong> Wybór tej wartości nie prowadzi do rozwiązania problemu.</li></ul>\n<p>Wyjaśnienie błędu w treści zadania: W zadaniu podano, że trójkąty ABC i BDA są podobne, ale w rzeczywistości nie są. Dlatego, aby znaleźć długość BD, musimy użyć proporcji wynikających z podobieństwa trójkątów. W tym przypadku, długość BD wynosi 1.8, a nie 2.25.</p>"}]}