Dany jest trójkąt ABC , w którym = 11 , = 12 oraz = \\(60^{\\circ}\\)
\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z21.png
\nStwierdzenie 1: Trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny. Stwierdzenie 2: Pole trójkąta \\(ABC\\) jest równe \\(33\\sqrt{3}\\).
\nA. PP
B. PF
C. FP
D. FF
Ustalamy dane: \\(|AB| = 11\\), \\(|BC| = 12\\), \\(|\\angle ABC| = 60°\\).
\nTrójkąt jest równoramienny, gdy przynajmniej dwa boki są równe. Znamy \\(|AB| = 11 \\neq 12 = |BC|\\), więc musimy sprawdzić, czy \\(|AC|\\) równa się któremuś z nich.
\nLiczymy \\(|AC|\\) z twierdzenia cosinusów:
\n\\[|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \\cdot |AB| \\cdot |BC| \\cdot \\cos(\\angle ABC)\\]
\n\\[|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\cos 60°\\]
\n\\[|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \\cdot \\frac{1}{2}\\]
\n\\[|AC|^2 = 265 - 132 = 133\\]
\n\\[|AC| = \\sqrt{133}\\]
\nPorównujemy trzy boki: \\(|AB| = 11\\), \\(|BC| = 12\\), \\(|AC| = \\sqrt{133} \\approx 11{,}53\\).
\nŻadne dwa boki nie są równe (\\(\\sqrt{133} \\neq 11\\) i \\(\\sqrt{133} \\neq 12\\)), więc trójkąt nie jest równoramienny.
\nStwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE (F).
\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi:
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |BC| \\cdot \\sin(\\angle ABC)\\]
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\sin 60°\\]
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 132 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
\n\\[P = \\frac{132\\sqrt{3}}{4} = 33\\sqrt{3}\\]
\nStwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE (P).
\nObliczamy wysokość \\(h\\) opuszczoną z wierzchołka \\(A\\) na bok \\(BC\\).
\nZ trójkąta prostokątnego \\(ABH\\) (gdzie \\(H\\) to stopa wysokości na \\(BC\\)):
\n\\[h = |AB| \\cdot \\sin(\\angle ABC) = 11 \\cdot \\sin 60° = 11 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{11\\sqrt{3}}{2}\\]
\nPole trójkąta z podstawy i wysokości:
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot \\frac{11\\sqrt{3}}{2} = \\frac{132\\sqrt{3}}{4} = 33\\sqrt{3}\\]
\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie cosinusów:
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Użyte do wyznaczenia boku \\(|AC|\\) w Sposobie 1.
Dział 10 (Planimetria, s. 16) - pole trójkąta z dwóch boków i kąta:
\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]
Użyte bezpośrednio do obliczenia pola w Sposobie 1.
Dział 9 (Trygonometria, s. 12) - wartość \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\):
Tabela wartości dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
| Odp. | Stwierdzenie 1 | Stwierdzenie 2 | Błąd |
| A | P | P | Uczeń nie liczy \\(\\|AC\\|\\) i zakłada równoramienność „na oko" bo \\(\\sqrt{133} \\approx 11{,}5\\) jest blisko 11 |
| B | P | F | Jw. + błąd w obliczeniu pola (np. zapomniano \\(\\frac{1}{2}\\), liczy \\(11 \\cdot 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 66\\sqrt{3}\\)) |
| D | F | F | Poprawnie odrzuca równoramienność, ale błądzi przy polu |
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy porównać \\(|AB|\\) i \\(|BC|\\) - równoramienność wymagałaby też sprawdzenia, czy \\(|AC|\\) równa się któremuś z nich. Bez policzenia \\(|AC|\\) zadanie jest nierozwiązane!\n
⚠️ Uwaga: We wzorze \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) łatwo zgubić \\(\\frac{1}{2}\\). To częsty błąd - wynik wychodzi dwa razy za duży (\\(66\\sqrt{3}\\) zamiast \\(33\\sqrt{3}\\)).\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{133} \\neq 11\\) i \\(\\sqrt{133} \\neq 12\\), bo \\(11^2 = 121 \\neq 133\\) i \\(12^2 = 144 \\neq 133\\). Zawsze porównuj kwadraty, nie wartości przybliżone!\n
Poprawna odpowiedź: FP (wersja B)
\nStwierdzenie 1 (rownoramienny): z tw. cosinusow:
\\[|AC|^{2} = 11^{2}+12^{2}-2\\cdot 11\\cdot 12\\cdot\\cos 60° = 121+144-264\\cdot\\dfrac{1}{2} = 265-132 = 133\\]
\\(|AC|=\\sqrt{133}\\approx 11{,}53\\). Zadne z boków nie sa rowne (11, 12, \\(\\sqrt{133}\\)). F.
Stwierdzenie 2 (pole = \\(33\\sqrt{3}\\)): wzor \\(P = \\dfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\):
\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 11\\cdot 12\\cdot \\sin 60° = 66\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 33\\sqrt{3}\\]
P.
Odpowiedz: FP.
\nTrik: Pole trojkata z dwoch bokow i kata miedzy nimi: \\(P = \\dfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) - nie trzeba obliczac wysokosci.
"}]}