{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"22","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest kwadrat ABCD , w którym A= (4, -1) . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S= (1, 3) . ** Przekątna kwadratu ABCD ma długość\n\nA. \\(5\\)\nB. \\(7\\)\nC. \\(10\\)\nD. \\(14\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPrzekątna kwadratu \\(ABCD\\) ma długość \\(\\mathbf{10}\\).\n\n## Sposób 1 - Środek przekątnej i wzór na odległość\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** W kwadracie przekątne przecinają się w swoich środkach. Skoro \\(S = (1, 3)\\) to punkt przecięcia przekątnych, to \\(S\\) jest **środkiem odcinka \\(AC\\)** (i zarazem \\(BD\\)).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wierzchołek \\(C\\) - przeciwległy do \\(A\\).\n\nZe wzoru na środek odcinka:\n\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (4, -1)\\), \\(S = (1, 3)\\):\n\\[\\frac{4 + x_C}{2} = 1 \\implies x_C = -2\\]\n\\[\\frac{-1 + y_C}{2} = 3 \\implies y_C = 7\\]\n\nZatem \\(C = (-2,\\ 7)\\).\n\n**Krok 2.** Obliczamy długość przekątnej \\(AC\\):\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \\sqrt{(-2-4)^2 + (7-(-1))^2}\\]\n\\[|AC| = \\sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \\sqrt{36 + 64} = \\sqrt{100} = \\mathbf{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Odległość punktu \\(A\\) od środka, pomnożona przez 2\n\nPunkt \\(S\\) to środek przekątnej \\(AC\\), więc:\n\\[|AC| = 2 \\cdot |AS|\\]\n\nObliczamy \\(|AS|\\):\n\\[|AS| = \\sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = \\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\nStąd:\n\\[|AC| = 2 \\cdot 5 = \\mathbf{10}\\]\n\nTo trójka pitagorejska \\((3, 4, 5)\\) przeskalowana razy 1 - warto ją rozpoznawać!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - długość odcinka (odległość dwóch punktów):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - do obliczenia \\(|AS|\\) i \\(|AC|\\).\n\n**Dział 11 (s. 22)** - środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(C\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczono \\(\\|AS\\| = 5\\) i uznano to za długość przekątnej - zapomniano, że \\(S\\) to **środek**, więc \\(|AC| = 2 \\cdot |AS|\\) |\n| B | Pomylono kolejność odejmowania współrzędnych i wyliczono \\(\\sqrt{(4-1)^2+(3+1)^2} = \\sqrt{25}=5\\), albo wzięto \\(\\sqrt{(-6)^2+8^2}\\) ale policzono \\(36+64=90\\) zamiast \\(100\\) |\n| D | Potraktowano \\(|AS|\\) jako połowę boku, a nie połowę przekątnej, i próbowano wyliczyć przekątną ze wzoru \\(d = a\\sqrt{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(S\\) to środek przekątnej - nie wierzchołek! Długość \\(|AS| = 5\\) to tylko **połowa** przekątnej. Bardzo częsty błąd: zatrzymać się na tym wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((-1) - 3 = -4\\), pamiętaj o znaku - ale pod pierwiastkiem piszemy \\((-4)^2 = 16\\), więc znak nie przeszkadza.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozpoznaj trójkę pitagorejską \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\) (tutaj: różnice współrzędnych \\(A\\) i \\(S\\) wynoszą \\(3\\) i \\(4\\)). To skrót, który oszczędza czas na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposob 1 - Odleglosc od S do wierzcholka\nPrzekatne kwadratu przecinaja sie w srodku - punkt \\(S\\) to srodek. Odleglosc od S do A to polowa przekatnej:\n\\[|AS| = \\sqrt{(4-1)^{2}+(-1-3)^{2}} = \\sqrt{9+16} = \\sqrt{25} = 5\\]\nPrzekatna = \\(2\\cdot|AS| = 2\\cdot 5 = 10\\).\n\n### Sposob 2 - Punkt przeciwlegly\nPunkt C jest symetryczny do A wzgledem S: \\(C = 2S - A = (2-4, 6+1) = (-2, 5)\\). Odleglosc AC:\n\\[|AC| = \\sqrt{(4-(-2))^{2}+(-1-5)^{2}} = \\sqrt{36+36} = 6\\sqrt{2} \\neq 10\\]\nHmm, to nie pasuje. Sprawdzmy \\(|AC|=\\sqrt{72}\\approx 8{,}49\\). Ale \\(2|AS|=10\\). Blad w Sposobie 2.\n\nPoprawnie: \\(C = (2\\cdot 1-4, 2\\cdot 3-(-1)) = (-2, 7)\\). \\(|AC|=\\sqrt{36+64}=\\sqrt{100}=10\\). OK!\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (5): to polowa przekatnej, nie cala.\n- **B, D**: bledne obliczenia.\n\n**Trik:** W kwadracie przekatne przecinaja sie w srodku i dziela na polowy - \\(|AC|=2|AS|\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej kwadratu\nTen sposób polega na wykorzystaniu informacji o współrzędnych wierzchołka A i punkcie przecięcia przekątnych S. W kwadracie przekątne są proste i przecinają się w połowie. Długość przekątnej kwadratu ABCD to odległość między punktami A i C. Możemy to obliczyć, wykorzystując odległość między punktami w kartezjańskim układzie współrzędnych.\n\n1. **Obliczenie długości przekątnej AS:**\n\\[AS = \\sqrt{(1-4)^2 + (3-(-1))^2} = \\sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n2. **Obliczenie długości przekątnej BS:**\nPonieważ S jest środkiem kwadratu, to BS jest równą przekątnej. Możemy obliczyć długość BS, korzystając z odległości między punktami.\n\\[BS = \\sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \\sqrt{1^2 + 3^2} = \\sqrt{1+9} = \\sqrt{10}\\]\nPonieważ kwadrat ABCD ma przekątne o długości AB i BC, a AB i BC są równymi bokami, to długość przekątnej wynosi 2 * długość AS.\nDługość przekątnej kwadratu ABCD = 2 * AS = 2 * 5 = 10\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 (Wzory)\n\n### Sposób 2: Obliczenie długości przekątnej za pomocą współrzędnych wierzchołków\nTen sposób wykorzystuje współrzędne wierzchołków kwadratu i własności kwadratu. W kwadracie wszystkie boki są równe, a przekątne są równoległe i przecięte w połowie. W tym przypadku, A=(4, -1) i S=(1, 3). Długość przekątnej to odległość między punktami A i C.\n\n1. **Obliczenie współrzędnych wierzchołka C:**\nPonieważ S jest środkiem kwadratu, to S jest środkiem przekątnej AC. S=(1,3) i A=(4,-1). Zatem:\n\\[S = \\frac{A+C}{2}\\]\n\\[(1,3) = \\frac{(4, -1) + C}{2}\\]\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\[(2, 6) = (4, -1) + C\\]\n\\[C = (2, 6) - (4, -1) = (-2, 7)\\]\n\n2. **Obliczenie długości przekątnej AC:**\n\\[AC = \\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 7)^2} = \\sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \\sqrt{36 + 64} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 (Wzory)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 5:** Długość AS jest 5, ale to tylko połowa przekątnej kwadratu.\n* **B. 7:** To jest wartość bezwzględna, która nie ma związku z długością przekątnej.\n* **D. 14:** To jest nieprawidłowa wartość, która nie jest związana z obliczeniami.\n\nW obu sposobach otrzymaliśmy długość przekątnej kwadratu ABCD jako 10.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest kwadrat ABCD , w którym A= (4, -1) . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S= (1, 3) . ** Przekątna kwadratu ABCD ma długość

\n

A. \\(5\\)
B. \\(7\\)
C. \\(10\\)
D. \\(14\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Przekątna kwadratu \\(ABCD\\) ma długość \\(\\mathbf{10}\\).

\n

Sposób 1 - Środek przekątnej i wzór na odległość

\n

Kluczowe spostrzeżenie: W kwadracie przekątne przecinają się w swoich środkach. Skoro \\(S = (1, 3)\\) to punkt przecięcia przekątnych, to \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\) (i zarazem \\(BD\\)).

\n

Krok 1. Wyznaczamy wierzchołek \\(C\\) - przeciwległy do \\(A\\).

\n

Ze wzoru na środek odcinka:
\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]

\n

Podstawiamy \\(A = (4, -1)\\), \\(S = (1, 3)\\):
\\[\\frac{4 + x_C}{2} = 1 \\implies x_C = -2\\]
\\[\\frac{-1 + y_C}{2} = 3 \\implies y_C = 7\\]

\n

Zatem \\(C = (-2,\\ 7)\\).

\n

Krok 2. Obliczamy długość przekątnej \\(AC\\):
\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \\sqrt{(-2-4)^2 + (7-(-1))^2}\\]
\\[|AC| = \\sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \\sqrt{36 + 64} = \\sqrt{100} = \\mathbf{10}\\]

\n

Sposób 2 - Odległość punktu \\(A\\) od środka, pomnożona przez 2

\n

Punkt \\(S\\) to środek przekątnej \\(AC\\), więc:
\\[|AC| = 2 \\cdot |AS|\\]

\n

Obliczamy \\(|AS|\\):
\\[|AS| = \\sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = \\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n

Stąd:
\\[|AC| = 2 \\cdot 5 = \\mathbf{10}\\]

\n

To trójka pitagorejska \\((3, 4, 5)\\) przeskalowana razy 1 - warto ją rozpoznawać!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - długość odcinka (odległość dwóch punktów):
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach - do obliczenia \\(|AS|\\) i \\(|AC|\\).

\n

Dział 11 (s. 22) - środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(C\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Obliczono \\(\\|AS\\| = 5\\) i uznano to za długość przekątnej - zapomniano, że \\(S\\) to środek, więc \\(|AC| = 2 \\cdot |AS|\\) |
| B | Pomylono kolejność odejmowania współrzędnych i wyliczono \\(\\sqrt{(4-1)^2+(3+1)^2} = \\sqrt{25}=5\\), albo wzięto \\(\\sqrt{(-6)^2+8^2}\\) ale policzono \\(36+64=90\\) zamiast \\(100\\) |
| D | Potraktowano \\(|AS|\\) jako połowę boku, a nie połowę przekątnej, i próbowano wyliczyć przekątną ze wzoru \\(d = a\\sqrt{2}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\(S\\) to środek przekątnej - nie wierzchołek! Długość \\(|AS| = 5\\) to tylko połowa przekątnej. Bardzo częsty błąd: zatrzymać się na tym wyniku.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\((-1) - 3 = -4\\), pamiętaj o znaku - ale pod pierwiastkiem piszemy \\((-4)^2 = 16\\), więc znak nie przeszkadza.
\n
⚠️ Uwaga: Rozpoznaj trójkę pitagorejską \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\) (tutaj: różnice współrzędnych \\(A\\) i \\(S\\) wynoszą \\(3\\) i \\(4\\)). To skrót, który oszczędza czas na egzaminie!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposob 1 - Odleglosc od S do wierzcholka
\n

Przekatne kwadratu przecinaja sie w srodku - punkt \\(S\\) to srodek. Odleglosc od S do A to polowa przekatnej:
\\[|AS| = \\sqrt{(4-1)^{2}+(-1-3)^{2}} = \\sqrt{9+16} = \\sqrt{25} = 5\\]
Przekatna = \\(2\\cdot|AS| = 2\\cdot 5 = 10\\).

\n
Sposob 2 - Punkt przeciwlegly
\n

Punkt C jest symetryczny do A wzgledem S: \\(C = 2S - A = (2-4, 6+1) = (-2, 5)\\). Odleglosc AC:
\\[|AC| = \\sqrt{(4-(-2))^{2}+(-1-5)^{2}} = \\sqrt{36+36} = 6\\sqrt{2} \\neq 10\\]
Hmm, to nie pasuje. Sprawdzmy \\(|AC|=\\sqrt{72}\\approx 8{,}49\\). Ale \\(2|AS|=10\\). Blad w Sposobie 2.

\n

Poprawnie: \\(C = (2\\cdot 1-4, 2\\cdot 3-(-1)) = (-2, 7)\\). \\(|AC|=\\sqrt{36+64}=\\sqrt{100}=10\\). OK!

\n
Dlaczego inne blednie
\n\n

Trik: W kwadracie przekatne przecinaja sie w srodku i dziela na polowy - \\(|AC|=2|AS|\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej kwadratu
\n

Ten sposób polega na wykorzystaniu informacji o współrzędnych wierzchołka A i punkcie przecięcia przekątnych S. W kwadracie przekątne są proste i przecinają się w połowie. Długość przekątnej kwadratu ABCD to odległość między punktami A i C. Możemy to obliczyć, wykorzystując odległość między punktami w kartezjańskim układzie współrzędnych.

\n
  1. Obliczenie długości przekątnej AS:
\n

\\[AS = \\sqrt{(1-4)^2 + (3-(-1))^2} = \\sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n
  1. Obliczenie długości przekątnej BS:
\n

Ponieważ S jest środkiem kwadratu, to BS jest równą przekątnej. Możemy obliczyć długość BS, korzystając z odległości między punktami.
\\[BS = \\sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \\sqrt{1^2 + 3^2} = \\sqrt{1+9} = \\sqrt{10}\\]
Ponieważ kwadrat ABCD ma przekątne o długości AB i BC, a AB i BC są równymi bokami, to długość przekątnej wynosi 2 * długość AS.
Długość przekątnej kwadratu ABCD = 2 * AS = 2 * 5 = 10

\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 (Wzory)

\n
Sposób 2: Obliczenie długości przekątnej za pomocą współrzędnych wierzchołków
\n

Ten sposób wykorzystuje współrzędne wierzchołków kwadratu i własności kwadratu. W kwadracie wszystkie boki są równe, a przekątne są równoległe i przecięte w połowie. W tym przypadku, A=(4, -1) i S=(1, 3). Długość przekątnej to odległość między punktami A i C.

\n
  1. Obliczenie współrzędnych wierzchołka C:
\n

Ponieważ S jest środkiem kwadratu, to S jest środkiem przekątnej AC. S=(1,3) i A=(4,-1). Zatem:
\\[S = \\frac{A+C}{2}\\]
\\[(1,3) = \\frac{(4, -1) + C}{2}\\]
Mnożymy obie strony przez 2:
\\[(2, 6) = (4, -1) + C\\]
\\[C = (2, 6) - (4, -1) = (-2, 7)\\]

\n
  1. Obliczenie długości przekątnej AC:
\n

\\[AC = \\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 7)^2} = \\sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \\sqrt{36 + 64} = \\sqrt{100} = 10\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 (Wzory)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach otrzymaliśmy długość przekątnej kwadratu ABCD jako 10.

"}]}