{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"23","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k: y= (m-2)x+ 5 l: y= -4x+ (m+ 3) Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa A.** (-4)\n\nA. \\((-4)\\)\nB. \\((-2)\\)\nC. \\(2\\)\nD. \\(5\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\nWypisujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n- Prosta \\(k\\): współczynnik kierunkowy \\(= m - 2\\)\n- Prosta \\(l\\): współczynnik kierunkowy \\(= -4\\)\n\nWarunek równoległości:\n\\[m - 2 = -4\\]\n\\[m = -4 + 2\\]\n\\[\\boxed{m = -2}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne** (bo pokrywające się proste nie są równoległe):\n- Wyraz wolny prostej \\(k\\): \\(5\\)\n- Wyraz wolny prostej \\(l\\): \\(m + 3 = -2 + 3 = 1\\)\n\nPonieważ \\(5 \\neq 1\\), proste są różne - rzeczywiście **równoległe**, nie identyczne. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie i graficzne rozumowanie\n\nDla \\(m = -2\\) równania prostych przyjmują postać:\n\\[k:\\ y = (-2 - 2)x + 5 = -4x + 5\\]\n\\[l:\\ y = -4x + (-2 + 3) = -4x + 1\\]\n\nObie proste mają **ten sam współczynnik kierunkowy** \\(a = -4\\), co oznacza identyczny kąt nachylenia do osi \\(OX\\).\n\nRóżne wyrazy wolne (\\(5\\) i \\(1\\)) oznaczają, że proste **nigdy się nie przetną** - są równoległe.\n\nMożemy też sprawdzić: jeśli ustawimy \\(k = l\\):\n\\[-4x + 5 = -4x + 1 \\implies 5 = 1\\]\nSprzeczność - brak punktów wspólnych, czyli proste są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n> Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:\n> \\[a_1 = a_2\\]\n> (przy założeniu, że \\(b_1 \\neq b_2\\), bo inaczej proste byłyby identyczne)\n\nUżyliśmy tego warunku bezpośrednio, przyrównując \\(m - 2 = -4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Przestawienie znaku: rozwiązanie \\(m - 2 = 4\\) (bez minusa) → \\(m = 6\\) |\n| C | Pomylenie warunku równoległości z prostopadłością: \\((m-2) \\cdot (-4) = -1\\) → \\(m - 2 = \\frac{1}{4}\\) → \\(m = \\frac{9}{4}\\) |\n| D | Błędne przełożenie: \\(m + 2 = -4\\) zamiast \\(m - 2 = -4\\) → \\(m = -6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to **tylko** równość współczynników kierunkowych - ale pamiętaj, by sprawdzić, że wyrazy wolne są różne! Gdyby były równe, proste byłyby **identyczne** (nie równoległe).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zgubić znak przy \\(m - 2 = -4\\). Przenosząc \\(-2\\) na prawą stronę, dostajemy \\(m = -4 + 2 = -2\\), a nie \\(-4 - 2 = -6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z prostopadłością (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) - to częsty błąd pod presją egzaminu!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposob 1 - Warunek rownoleglosci\nProste sa rownolegle gdy maja rowne wspolczynniki kierunkowe:\n\\[m-2 = -4\\]\n\\[m = -2\\]\nSprawdzmy: dla \\(m=-2\\): \\(k: y=-4x+5\\), \\(l:y=-4x+1\\) - rowne nachylenia, rozne \\(b\\). Sa rownolegle (i rozne).\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (\\(-4\\)): \\(m-2=-4 \\Rightarrow m=-2\\), bledny kierunek.\n- **C** (2): \\(m-2=0\\) - nachylenie \\(k\\) bylo 0, niezgodne z -4.\n- **D** (5): bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** Proste \\(y=ax+b\\) i \\(y=cx+d\\) sa rownolegle \\(\\Leftrightarrow a=c\\). Pokrywaja sie gdy dodatkowo \\(b=d\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza równań i doprowadzenie do równania kwadratowego\n\n1. **Przekształcenie równań:**\n* Dla prostej k: \\(y = (m-2)x + 5\\)\n* Dla prostej l: \\(y = -4x + (m+3)\\)\n\n2. **Warunek równoległości:** Dwa proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej k to \\(m-2\\), a współczynnik kierunkowy prostej l to -4. Zatem:\n\\[m-2 = -4\\]\n\n3. **Rozwiązanie równania:**\n\\[m = -4 + 2\\]\n\\[m = -2\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji równoległych prostych\n\n1. **Definicja równoległych prostych:** Dwa proste są równoległe, jeśli mają taki sam współczynnik kierunkowy.\n\n2. **Porównanie współczynników kierunkowych:** Współczynnik kierunkowy prostej k to \\(m-2\\), a współczynnik kierunkowy prostej l to -4.\n\n3. **Równoważność:** Aby proste były równoległe, muszą mieć takie same współczynniki kierunkowe. Zatem:\n\\[m-2 = -4\\]\n\n4. **Rozwiązanie równania:**\n\\[m = -4 + 2\\]\n\\[m = -2\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.7 - Potęgi: a^r, strona 7 (w tym przypadku, \\(m-2 = -4\\) jest równaniem, w którym m jest zmienną)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (-4):** To jest wartość *m*, a nie rozwiązanie równania.\n* **C. 2:** To jest wartość *m*, a nie rozwiązanie równania.\n* **D. 5:** To jest wyraz wolny równania prostej l, a nie rozwiązanie równania. Wartość *m* musi być równa -2, aby proste były równoległe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k: y= (m-2)x+ 5 l: y= -4x+ (m+ 3) Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa A.** (-4)</p>\n<p>A. \\((-4)\\)<br>B. \\((-2)\\)<br>C. \\(2\\)<br>D. \\(5\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych</h4>\n<p>Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> i <strong>różne wyrazy wolne</strong>.</p>\n<p>Wypisujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:</p>\n<ul><li>Prosta \\(k\\): współczynnik kierunkowy \\(= m - 2\\)</li><li>Prosta \\(l\\): współczynnik kierunkowy \\(= -4\\)</li></ul>\n<p>Warunek równoległości:<br>\\[m - 2 = -4\\]<br>\\[m = -4 + 2\\]<br>\\[\\boxed{m = -2}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne</strong> (bo pokrywające się proste nie są równoległe):</p>\n<ul><li>Wyraz wolny prostej \\(k\\): \\(5\\)</li><li>Wyraz wolny prostej \\(l\\): \\(m + 3 = -2 + 3 = 1\\)</li></ul>\n<p>Ponieważ \\(5 \\neq 1\\), proste są różne - rzeczywiście <strong>równoległe</strong>, nie identyczne. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie i graficzne rozumowanie</h4>\n<p>Dla \\(m = -2\\) równania prostych przyjmują postać:<br>\\[k:\\ y = (-2 - 2)x + 5 = -4x + 5\\]<br>\\[l:\\ y = -4x + (-2 + 3) = -4x + 1\\]</p>\n<p>Obie proste mają <strong>ten sam współczynnik kierunkowy</strong> \\(a = -4\\), co oznacza identyczny kąt nachylenia do osi \\(OX\\).</p>\n<p>Różne wyrazy wolne (\\(5\\) i \\(1\\)) oznaczają, że proste <strong>nigdy się nie przetną</strong> - są równoległe.</p>\n<p>Możemy też sprawdzić: jeśli ustawimy \\(k = l\\):<br>\\[-4x + 5 = -4x + 1 \\implies 5 = 1\\]<br>Sprzeczność - brak punktów wspólnych, czyli proste są równoległe. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):</strong></p>\n<blockquote>Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:<br>\\[a_1 = a_2\\]<br>(przy założeniu, że \\(b_1 \\neq b_2\\), bo inaczej proste byłyby identyczne)</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego warunku bezpośrednio, przyrównując \\(m - 2 = -4\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Przestawienie znaku: rozwiązanie \\(m - 2 = 4\\) (bez minusa) → \\(m = 6\\) |<br>| C | Pomylenie warunku równoległości z prostopadłością: \\((m-2) \\cdot (-4) = -1\\) → \\(m - 2 = \\frac{1}{4}\\) → \\(m = \\frac{9}{4}\\) |<br>| D | Błędne przełożenie: \\(m + 2 = -4\\) zamiast \\(m - 2 = -4\\) → \\(m = -6\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek równoległości to <strong>tylko</strong> równość współczynników kierunkowych - ale pamiętaj, by sprawdzić, że wyrazy wolne są różne! Gdyby były równe, proste byłyby <strong>identyczne</strong> (nie równoległe).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zgubić znak przy \\(m - 2 = -4\\). Przenosząc \\(-2\\) na prawą stronę, dostajemy \\(m = -4 + 2 = -2\\), a nie \\(-4 - 2 = -6\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z prostopadłością (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) - to częsty błąd pod presją egzaminu!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposob 1 - Warunek rownoleglosci</h5>\n<p>Proste sa rownolegle gdy maja rowne wspolczynniki kierunkowe:<br>\\[m-2 = -4\\]<br>\\[m = -2\\]<br>Sprawdzmy: dla \\(m=-2\\): \\(k: y=-4x+5\\), \\(l:y=-4x+1\\) - rowne nachylenia, rozne \\(b\\). Sa rownolegle (i rozne).</p>\n<h5>Dlaczego inne blednie</h5>\n<ul><li><strong>A</strong> (\\(-4\\)): \\(m-2=-4 \\Rightarrow m=-2\\), bledny kierunek.</li><li><strong>C</strong> (2): \\(m-2=0\\) - nachylenie \\(k\\) bylo 0, niezgodne z -4.</li><li><strong>D</strong> (5): bez uzasadnienia.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Proste \\(y=ax+b\\) i \\(y=cx+d\\) sa rownolegle \\(\\Leftrightarrow a=c\\). Pokrywaja sie gdy dodatkowo \\(b=d\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza równań i doprowadzenie do równania kwadratowego</h5>\n<ol><li><strong>Przekształcenie równań:</strong></li></ol>\n<ul><li>Dla prostej k: \\(y = (m-2)x + 5\\)</li><li>Dla prostej l: \\(y = -4x + (m+3)\\)</li></ul>\n<ol><li><strong>Warunek równoległości:</strong> Dwa proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej k to \\(m-2\\), a współczynnik kierunkowy prostej l to -4. Zatem:</li></ol>\n<p>\\[m-2 = -4\\]</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równania:</strong></li></ol>\n<p>\\[m = -4 + 2\\]<br>\\[m = -2\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie definicji równoległych prostych</h5>\n<ol><li><strong>Definicja równoległych prostych:</strong> Dwa proste są równoległe, jeśli mają taki sam współczynnik kierunkowy.</li></ol>\n<ol><li><strong>Porównanie współczynników kierunkowych:</strong> Współczynnik kierunkowy prostej k to \\(m-2\\), a współczynnik kierunkowy prostej l to -4.</li></ol>\n<ol><li><strong>Równoważność:</strong> Aby proste były równoległe, muszą mieć takie same współczynniki kierunkowe. Zatem:</li></ol>\n<p>\\[m-2 = -4\\]</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równania:</strong></li></ol>\n<p>\\[m = -4 + 2\\]<br>\\[m = -2\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7 - Potęgi: a^r, strona 7 (w tym przypadku, \\(m-2 = -4\\) jest równaniem, w którym m jest zmienną)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (-4):</strong> To jest wartość <em>m</em>, a nie rozwiązanie równania.</li><li><strong>C. 2:</strong> To jest wartość <em>m</em>, a nie rozwiązanie równania.</li><li><strong>D. 5:</strong> To jest wyraz wolny równania prostej l, a nie rozwiązanie równania. Wartość <em>m</em> musi być równa -2, aby proste były równoległe.</li></ul>"}]}