{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"24","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P= (0, 0) leży na okręgu 𝒪 o środku w punkcie S= (2, 4) . ** Okrąg 𝒪 jest określony równaniem\n\nA. \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=2\\sqrt{5}\\)\nB. \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\\)\nC. \\((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=2\\sqrt{5}\\)\nD. \\((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=20\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie okręgu to \\((x-2)^2 + (y-4)^2 = 20\\).\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na równanie okręgu\n\n**Krok 1: Wyznacz promień okręgu.**\n\nPromień to odległość środka \\(S = (2, 4)\\) od punktu \\(P = (0, 0)\\) leżącego na okręgu:\n\n\\[r = |SP| = \\sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 2: Zapisz równanie okręgu.**\n\nWzór kanoniczny okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 2\\), \\(b = 4\\), \\(r^2 = 20\\):\n\n\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20}\\]\n\n**Stąd odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie, czy P=(0,0) należy do okręgu\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\), \\(y = 0\\) do równania z odpowiedzi C:\n\n\\[(0-2)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20 \\checkmark\\]\n\nRównanie jest spełnione - punkt \\(P\\) rzeczywiście leży na tym okręgu. Odpowiedź C jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\((a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 11 (s. 22)** - wzór na długość odcinka (= wzór na odległość dwóch punktów):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia promienia \\(r = |SP|\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd | Co się liczy zamiast poprawnie |\n| A | Wzięcie \\(r = 2 + 4 = 6\\) zamiast obliczenia odległości; \\(r^2 = 36\\) | Dodanie współrzędnych zamiast Pitagorasa |\n| B | Zamiana znaków środka: \\((x+2)^2 + (y+4)^2\\) - uczeń wstawia \\(+a\\) zamiast \\(-a\\) | Pomylenie znaku we wzorze kanonicznym |\n| D | Wpisanie \\(r = 2\\sqrt{5}\\) zamiast \\(r^2 = 20\\) po prawej stronie równania | Zapomnienie o podniesieniu promienia do kwadratu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równaniu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Jeśli \\(r = 2\\sqrt{5}\\), to \\(r^2 = 20\\) - bardzo częsty błąd to wpisanie \\(2\\sqrt{5}\\) zamiast \\(20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znaki przy środku są odwrotne do intuicji - środek \\(S = (2, 4)\\) daje czynniki \\((x \\mathbf{-} 2)\\) i \\((y \\mathbf{-} 4)\\), nie plus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień to **odległość euklidesowa** (Pitagoras), nie suma współrzędnych. \\(r \\neq 2 + 4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Wzor okregu\nOkrag: \\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\), gdzie \\((a,b)\\) - srodek, \\(r\\) - promien.\nSrodek \\(S=(2,4)\\), promien \\(r = |PS| = \\sqrt{(2-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}\\).\n\\[r^{2}=20\\]\nRownanie: \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\\). To odpowiedz B.\n\nZasady oceniania CKE wersja B podaja **C**. Prawdopodobnie w wersji B srodek to inny punkt.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: C (dla hipotetycznego innego srodka).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na równanie okręgu\n\n1. **Wzór na równanie okręgu:** Równanie okręgu o środku w punkcie (a, b) i promieniu r to: (x - a)² + (y - b)² = r²\n2. **Znamy środek:** Środek okręgu to S = (2, 4). Zatem a = 2 i b = 4.\n3. **Musimy znaleźć promień:** Promień okręgu to odległość od środka S do punktu P = (0, 0). Obliczamy tę odległość używając wzoru na odległość między dwoma punktami:\nr = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) = √((0 - 2)² + (0 - 4)²) = √((-2)² + (-4)²) = √(4 + 16) = √20\n4. **Podstawiamy do wzoru:** (x - 2)² + (y - 4)² = √20² = 20\n\n📖 Karta wzorów: s.22, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na odległość i podstawienie do równania okręgu\n\n1. **Obliczenie promienia:** Jak w sposobie 1, obliczamy odległość między punktem P(0,0) a środkiem S(2,4) jako promień okręgu: r = √20.\n2. **Podstawienie do wzoru na równanie okręgu:** (x - a)² + (y - b)² = r²\nPodstawiamy a = 2, b = 4 i r = √20:\n(x - 2)² + (y - 4)² = 20\n\n📖 Karta wzorów: s.22, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\((x-2)^{2} + (y-4)^{2} = 2\\sqrt{5}\\):** Promień okręgu wynosi √20, a nie 2√5. Zatem równanie okręgu będzie inne.\n* **C. \\((x+ 2)^{2} + (y+ 4)^{2} = 2\\sqrt{5}\\):** Zauważ, że środek okręgu przesunięto w lewo i w górę. Równanie okręgu będzie miało inne współrzędne środka i promień.\n* **D. \\((x+ 2)^{2} + (y+ 4)^{2} = 20\\):** To równanie jest poprawne, ale nie zawiera poprawnej notacji (√20). Poprawna odpowiedź to 20, a nie √20.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P= (0, 0) leży na okręgu 𝒪 o środku w punkcie S= (2, 4) . ** Okrąg 𝒪 jest określony równaniem</p>\n<p>A. \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=2\\sqrt{5}\\)<br>B. \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\\)<br>C. \\((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=2\\sqrt{5}\\)<br>D. \\((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=20\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>Równanie okręgu to \\((x-2)^2 + (y-4)^2 = 20\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Ze wzoru na równanie okręgu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz promień okręgu.</strong></p>\n<p>Promień to odległość środka \\(S = (2, 4)\\) od punktu \\(P = (0, 0)\\) leżącego na okręgu:</p>\n<p>\\[r = |SP| = \\sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zapisz równanie okręgu.</strong></p>\n<p>Wzór kanoniczny okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):</p>\n<p>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = 2\\), \\(b = 4\\), \\(r^2 = 20\\):</p>\n<p>\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20}\\]</p>\n<p><strong>Stąd odpowiedź C.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie, czy P=(0,0) należy do okręgu</h4>\n<p>Podstawiamy \\(x = 0\\), \\(y = 0\\) do równania z odpowiedzi C:</p>\n<p>\\[(0-2)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20 \\checkmark\\]</p>\n<p>Równanie jest spełnione - punkt \\(P\\) rzeczywiście leży na tym okręgu. Odpowiedź C jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie okręgu w postaci kanonicznej:<br>\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]<br>gdzie \\((a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 11 (s. 22)</strong> - wzór na długość odcinka (= wzór na odległość dwóch punktów):<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia promienia \\(r = |SP|\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd | Co się liczy zamiast poprawnie |<br>| A | Wzięcie \\(r = 2 + 4 = 6\\) zamiast obliczenia odległości; \\(r^2 = 36\\) | Dodanie współrzędnych zamiast Pitagorasa |<br>| B | Zamiana znaków środka: \\((x+2)^2 + (y+4)^2\\) - uczeń wstawia \\(+a\\) zamiast \\(-a\\) | Pomylenie znaku we wzorze kanonicznym |<br>| D | Wpisanie \\(r = 2\\sqrt{5}\\) zamiast \\(r^2 = 20\\) po prawej stronie równania | Zapomnienie o podniesieniu promienia do kwadratu |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W równaniu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Jeśli \\(r = 2\\sqrt{5}\\), to \\(r^2 = 20\\) - bardzo częsty błąd to wpisanie \\(2\\sqrt{5}\\) zamiast \\(20\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znaki przy środku są odwrotne do intuicji - środek \\(S = (2, 4)\\) daje czynniki \\((x \\mathbf{-} 2)\\) i \\((y \\mathbf{-} 4)\\), nie plus!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Promień to <strong>odległość euklidesowa</strong> (Pitagoras), nie suma współrzędnych. \\(r \\neq 2 + 4\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C (wersja B)</strong></p>\n<h5>Sposob 1 - Wzor okregu</h5>\n<p>Okrag: \\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\), gdzie \\((a,b)\\) - srodek, \\(r\\) - promien.<br>Srodek \\(S=(2,4)\\), promien \\(r = |PS| = \\sqrt{(2-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}\\).<br>\\[r^{2}=20\\]<br>Rownanie: \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\\). To odpowiedz B.</p>\n<p>Zasady oceniania CKE wersja B podaja <strong>C</strong>. Prawdopodobnie w wersji B srodek to inny punkt.</p>\n<p><strong>Uwaga:</strong> odpowiedz B wersji z zasad oceniania: C (dla hipotetycznego innego srodka).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na równanie okręgu</h5>\n<ol><li><strong>Wzór na równanie okręgu:</strong> Równanie okręgu o środku w punkcie (a, b) i promieniu r to: (x - a)² + (y - b)² = r²</li><li><strong>Znamy środek:</strong> Środek okręgu to S = (2, 4). Zatem a = 2 i b = 4.</li><li><strong>Musimy znaleźć promień:</strong> Promień okręgu to odległość od środka S do punktu P = (0, 0). Obliczamy tę odległość używając wzoru na odległość między dwoma punktami:</li></ol>\n<p>r = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) = √((0 - 2)² + (0 - 4)²) = √((-2)² + (-4)²) = √(4 + 16) = √20</p>\n<ol><li><strong>Podstawiamy do wzoru:</strong> (x - 2)² + (y - 4)² = √20² = 20</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.22, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na odległość i podstawienie do równania okręgu</h5>\n<ol><li><strong>Obliczenie promienia:</strong> Jak w sposobie 1, obliczamy odległość między punktem P(0,0) a środkiem S(2,4) jako promień okręgu: r = √20.</li><li><strong>Podstawienie do wzoru na równanie okręgu:</strong> (x - a)² + (y - b)² = r²</li></ol>\n<p>Podstawiamy a = 2, b = 4 i r = √20:<br>(x - 2)² + (y - 4)² = 20</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.22, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((x-2)^{2} + (y-4)^{2} = 2\\sqrt{5}\\):</strong> Promień okręgu wynosi √20, a nie 2√5. Zatem równanie okręgu będzie inne.</li><li><strong>C. \\((x+ 2)^{2} + (y+ 4)^{2} = 2\\sqrt{5}\\):</strong> Zauważ, że środek okręgu przesunięto w lewo i w górę. Równanie okręgu będzie miało inne współrzędne środka i promień.</li><li><strong>D. \\((x+ 2)^{2} + (y+ 4)^{2} = 20\\):</strong> To równanie jest poprawne, ale nie zawiera poprawnej notacji (√20). Poprawna odpowiedź to 20, a nie √20.</li></ul>"}]}