{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"25","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Tworząca stożka ma długość 8 . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \\(120^{\\circ}\\) . Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 64\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym\n\n**Co wiemy:**\n- Tworząca stożka: \\(l = 8\\)\n- Kąt rozwarcia stożka: \\(120°\\) - to **pełny kąt przy wierzchołku** w przekroju osiowym (między dwiema tworzącymi)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy połowę kąta przy wierzchołku.**\n\nPrzekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny. Pełny kąt przy wierzchołku wynosi \\(120°\\), więc **połowa kąta przy wierzchołku** wynosi \\(60°\\).\n\n**Krok 2: Wyznaczamy promień \\(r\\) i wysokość \\(h\\) z trójkąta prostokątnego.**\n\nW trójkącie prostokątnym (tworząca = przeciwprostokątna, kąt przy wierzchołku = \\(60°\\)):\n\n\\[r = l \\cdot \\sin 60° = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]\n\n\\[h = l \\cdot \\cos 60° = 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3: Liczymy objętość.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot (4\\sqrt{3})^2 \\cdot 4 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 48 \\cdot 4\\]\n\n\\[\\boxed{V = 64\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór cosinusów / weryfikacja przez twierdzenie Pitagorasa\n\n**Wyznaczamy \\(r\\) i \\(h\\) inaczej - wprost z twierdzenia Pitagorasa**, ale najpierw zauważamy relację między \\(r\\) a \\(h\\).\n\nSkoro połowa kąta przy wierzchołku wynosi \\(60°\\), to:\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{r}{h} \\implies \\sqrt{3} = \\frac{r}{h} \\implies r = h\\sqrt{3}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (w przekroju):\n\\[l^2 = r^2 + h^2\\]\n\\[64 = 3h^2 + h^2 = 4h^2\\]\n\\[h^2 = 16 \\implies h = 4\\]\n\\[r = 4\\sqrt{3}, \\quad r^2 = 48\\]\n\nObjętość:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 48 \\cdot 4 = \\boxed{64\\pi}\\]\n\nWynik zgodny - obliczenia poprawne ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyte w obu sposobach do wyznaczenia końcowej objętości.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(r\\) i \\(h\\) z tworzącej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt rozwarcia \\(120°\\) to **pełny** kąt przy wierzchołku (między obiema tworzącymi w przekroju), nie połówkowy. Błędem jest wzięcie \\(\\sin 120°\\) lub \\(\\cos 120°\\) zamiast połowy kąta - **zawsze dziel kąt rozwarcia przez 2** przed użyciem trygonometrii.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((4\\sqrt{3})^2 = 16 \\cdot 3 = 48\\), **nie** \\(4 \\cdot 3 = 12\\). Podniesienie do kwadratu dotyczy całego wyrażenia \\(4\\sqrt{3}\\), nie tylko \\(\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o czynniku \\(\\frac{1}{3}\\) w objętości stożka - to najczęstszy błąd przy stożku (w odróżnieniu od walca, gdzie go nie ma).\n\n**Zadanie otwarte - obliczenia (3 pkt). Poprawny wynik: \\(V = 64\\pi\\)**\n\n### Sposob 1 - Trygonometria w trojkacie\nOznaczmy: \\(S\\) - wierzcholek, \\(O\\) - srodek podstawy, \\(B\\) - punkt na okregu podstawy, \\(l=SB=8\\) - tworzaca, \\(r=OB\\) - promien, \\(H=SO\\) - wysokosc. Kat rozwarcia 120°, wiec polowa = 60°:\n\\[\\sin 60° = \\dfrac{r}{8} \\Rightarrow r = 8\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}=4\\sqrt{3}\\]\n\\[\\cos 60° = \\dfrac{H}{8} \\Rightarrow H = 8\\cdot\\dfrac{1}{2}=4\\]\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2}H = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 48\\cdot 4 = 64\\pi\\]\n\n### Sposob 2 - Twierdzenie cosinusow\nW trojkacie ABS (A i B na okregu, S wierzcholek): \\(AB = 2r\\), \\(SA=SB=8\\), kat ASB = 120°.\n\\[(2r)^{2}=8^{2}+8^{2}-2\\cdot 8\\cdot 8\\cos 120° = 128-128\\cdot(-\\dfrac{1}{2}) = 192\\]\n\\[4r^{2}=192 \\Rightarrow r^{2}=48\\]\nZ Pitagorasa: \\(H^{2}=l^{2}-r^{2}=64-48=16 \\Rightarrow H=4\\).\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 48\\cdot 4 = 64\\pi\\]\n\n### CKE (zasady oceniania)\n3 pkt - poprawna metoda i wynik \\(V=64\\pi\\).\n2 pkt - obliczenie \\(r=4\\sqrt{3}\\) ORAZ \\(H=4\\).\n1 pkt - obliczenie tylko \\(r\\) lub \\(H\\).\n\n**Trik:** Kat rozwarcia to CALY kat miedzy tworzacymi w wierzcholku - polowa to 60°, wtedy trojkat 30-60-90 w przekroju osiowym.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Tworząca stożka ma długość 8 . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \\(120^{\\circ}\\) . Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(V = 64\\pi\\)

\n

Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym

\n

Co wiemy:

\n\n

Krok 1: Wyznaczamy połowę kąta przy wierzchołku.

\n

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny. Pełny kąt przy wierzchołku wynosi \\(120°\\), więc połowa kąta przy wierzchołku wynosi \\(60°\\).

\n

Krok 2: Wyznaczamy promień \\(r\\) i wysokość \\(h\\) z trójkąta prostokątnego.

\n

W trójkącie prostokątnym (tworząca = przeciwprostokątna, kąt przy wierzchołku = \\(60°\\)):

\n

\\[r = l \\cdot \\sin 60° = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]

\n

\\[h = l \\cdot \\cos 60° = 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\]

\n

Krok 3: Liczymy objętość.

\n

\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot (4\\sqrt{3})^2 \\cdot 4 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 48 \\cdot 4\\]

\n

\\[\\boxed{V = 64\\pi}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór cosinusów / weryfikacja przez twierdzenie Pitagorasa

\n

Wyznaczamy \\(r\\) i \\(h\\) inaczej - wprost z twierdzenia Pitagorasa, ale najpierw zauważamy relację między \\(r\\) a \\(h\\).

\n

Skoro połowa kąta przy wierzchołku wynosi \\(60°\\), to:
\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{r}{h} \\implies \\sqrt{3} = \\frac{r}{h} \\implies r = h\\sqrt{3}\\]

\n

Z twierdzenia Pitagorasa (w przekroju):
\\[l^2 = r^2 + h^2\\]
\\[64 = 3h^2 + h^2 = 4h^2\\]
\\[h^2 = 16 \\implies h = 4\\]
\\[r = 4\\sqrt{3}, \\quad r^2 = 48\\]

\n

Objętość:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 48 \\cdot 4 = \\boxed{64\\pi}\\]

\n

Wynik zgodny - obliczenia poprawne ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-27) - objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
Użyte w obu sposobach do wyznaczenia końcowej objętości.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - wartości funkcji trygonometrycznych:
\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(r\\) i \\(h\\) z tworzącej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt rozwarcia \\(120°\\) to pełny kąt przy wierzchołku (między obiema tworzącymi w przekroju), nie połówkowy. Błędem jest wzięcie \\(\\sin 120°\\) lub \\(\\cos 120°\\) zamiast połowy kąta - zawsze dziel kąt rozwarcia przez 2 przed użyciem trygonometrii.
\n
⚠️ Uwaga: \\((4\\sqrt{3})^2 = 16 \\cdot 3 = 48\\), nie \\(4 \\cdot 3 = 12\\). Podniesienie do kwadratu dotyczy całego wyrażenia \\(4\\sqrt{3}\\), nie tylko \\(\\sqrt{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o czynniku \\(\\frac{1}{3}\\) w objętości stożka - to najczęstszy błąd przy stożku (w odróżnieniu od walca, gdzie go nie ma).
\n

Zadanie otwarte - obliczenia (3 pkt). Poprawny wynik: \\(V = 64\\pi\\)

\n
Sposob 1 - Trygonometria w trojkacie
\n

Oznaczmy: \\(S\\) - wierzcholek, \\(O\\) - srodek podstawy, \\(B\\) - punkt na okregu podstawy, \\(l=SB=8\\) - tworzaca, \\(r=OB\\) - promien, \\(H=SO\\) - wysokosc. Kat rozwarcia 120°, wiec polowa = 60°:
\\[\\sin 60° = \\dfrac{r}{8} \\Rightarrow r = 8\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}=4\\sqrt{3}\\]
\\[\\cos 60° = \\dfrac{H}{8} \\Rightarrow H = 8\\cdot\\dfrac{1}{2}=4\\]
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2}H = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 48\\cdot 4 = 64\\pi\\]

\n
Sposob 2 - Twierdzenie cosinusow
\n

W trojkacie ABS (A i B na okregu, S wierzcholek): \\(AB = 2r\\), \\(SA=SB=8\\), kat ASB = 120°.
\\[(2r)^{2}=8^{2}+8^{2}-2\\cdot 8\\cdot 8\\cos 120° = 128-128\\cdot(-\\dfrac{1}{2}) = 192\\]
\\[4r^{2}=192 \\Rightarrow r^{2}=48\\]
Z Pitagorasa: \\(H^{2}=l^{2}-r^{2}=64-48=16 \\Rightarrow H=4\\).
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 48\\cdot 4 = 64\\pi\\]

\n
CKE (zasady oceniania)
\n

3 pkt - poprawna metoda i wynik \\(V=64\\pi\\).
2 pkt - obliczenie \\(r=4\\sqrt{3}\\) ORAZ \\(H=4\\).
1 pkt - obliczenie tylko \\(r\\) lub \\(H\\).

\n

Trik: Kat rozwarcia to CALY kat miedzy tworzacymi w wierzcholku - polowa to 60°, wtedy trojkat 30-60-90 w przekroju osiowym.

"}]}