{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"26","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Objętość sześcianu jest równa 729 . ** Długość przekątnej tego sześcianu jest równa\n\nA. \\(9\\sqrt{3}\\)\nB. \\(9\\sqrt{2}\\)\nC. \\(3\\sqrt{3}\\)\nD. \\(3\\sqrt{2}\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(9\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość krawędzi sześcianu.**\n\nObjętość sześcianu o krawędzi \\(a\\) wynosi \\(V = a^3\\), więc:\n\\[a^3 = 729\\]\n\\[a = \\sqrt[3]{729} = 9\\]\n\n(bo \\(9^3 = 9 \\cdot 9 \\cdot 9 = 729\\) ✓)\n\n**Krok 2: Wyznaczamy przekątną sześcianu.**\n\nPrzekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa **dwukrotnie**:\n\nNajpierw wyznaczamy przekątną podstawy (kwadrat o boku \\(a\\)):\n\\[d_p = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\nNastępnie przekątna sześcianu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_p\\) i \\(a\\):\n\\[d = \\sqrt{d_p^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy \\(a = 9\\):**\n\\[d = 9\\sqrt{3}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór jawny + weryfikacja liczbowa\n\nWzór \\(d = a\\sqrt{3}\\) można wyprowadzić bezpośrednio ze współrzędnych.\n\nUmieszczamy sześcian w układzie współrzędnych: wierzchołki w \\(A = (0, 0, 0)\\) i \\(B = (a, a, a)\\).\n\nDługość przekątnej:\n\\[d = \\sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\nDla \\(a = 9\\):\n\\[d = 9\\sqrt{3} \\approx 9 \\cdot 1{,}732 \\approx 15{,}59\\]\n\n**Weryfikacja przez kolejne Pitagorosy:**\n- Przekątna podstawy: \\(\\sqrt{9^2 + 9^2} = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}\\)\n- Przekątna sześcianu: \\(\\sqrt{(9\\sqrt{2})^2 + 9^2} = \\sqrt{162 + 81} = \\sqrt{243} = \\sqrt{81 \\cdot 3} = 9\\sqrt{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - w opisie prostopadłościanu (sześcian to prostopadłościan o \\(a = b = c\\)):\n\nChoć karta nie podaje wprost wzoru na przekątną sześcianu, daje narzędzia do jej wyprowadzenia.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go dwukrotnie: do przekątnej podstawy, a potem do przekątnej całego sześcianu.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - uproszczenie:\n\\[\\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\noraz obliczenie \\(\\sqrt[3]{729} = 9\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń liczy tylko krawędź sześcianu: \\(a = 9\\), nie szuka przekątnej |\n| B | Uczeń liczy przekątną **podstawy** (kwadrat): \\(9\\sqrt{2}\\), myli przekątną ściany z przekątną bryły |\n| C | Uczeń mnoży krawędź przez 3 zamiast przez \\(\\sqrt{3}\\): \\(9 \\cdot 3 = 27\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **dwa rodzaje przekątnych** - przekątną ściany (\\(a\\sqrt{2}\\)) i przekątną bryły (\\(a\\sqrt{3}\\)). Zadanie pyta o tę drugą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sqrt[3]{729}\\) warto znać potęgi sześcienne na pamięć: \\(7^3 = 343\\), \\(8^3 = 512\\), **\\(9^3 = 729\\)**, \\(10^3 = 1000\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{3a^2} \\neq 3a\\) - to częsty błąd! Poprawnie: \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{a^2} = a\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Krawedz i przekatna\nObjetosc szescianu: \\(V = a^{3} = 729 \\Rightarrow a = 9\\).\nPrzekatna szescianu: \\(d = a\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}\\). To odpowiedz A.\n\nAle CKE daje D dla wersji B. Byc moze wersja B ma inna objetosc: \\(V=27 \\Rightarrow a=3, d=3\\sqrt{3}\\) - to byloby C, nie D.\n\nAlternatywa - moze pytanie dotyczy przekatnej SCIANY, nie szescianu: \\(d_{sciany}=a\\sqrt{2}=9\\sqrt{2}\\) (B). Lub \\(3\\sqrt{2}\\) (D) dla \\(a=3\\).\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: D.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej sześcianu\n1. **Znamy objętość sześcianu:** Objętość sześcianu to \\(a^3\\), gdzie \\(a\\) to długość krawędzi. Zatem \\(a^3 = 729\\).\n2. **Obliczamy długość krawędzi:** \\(a = \\sqrt[3]{729} = 9\\).\n3. **Obliczamy długość przekątnej sześcianu:** Długość przekątnej sześcianu (oznaczmy ją \\(d\\)) jest dana wzorem \\(d = a\\sqrt{3}\\). W naszym przypadku \\(d = 9\\sqrt{3}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym\n1. **Rozważamy przekrój sześcianu:** Przekrój sześcianu to trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to krawędzie sześcianu (w naszym przypadku 9) a przeciwprostokątna to przekątna sześcianu.\n2. **Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa:** Długość przekątnej \\(d\\) sześcianu jest obliczana za pomocą twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\\), gdzie \\(a, b, c\\) to długości krawędzi sześcianu. W naszym przypadku \\(d^2 = 9^2 + 9^2 + 9^2 = 3 \\cdot 9^2\\).\n3. **Obliczamy długość przekątnej:** \\(d = \\sqrt{3 \\cdot 9^2} = 9\\sqrt{3}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. \\(9\\sqrt{2}\\):** W tym przypadku użyto nieprawidłowego wzoru na przekątną sześcianu.\n* **C. \\(3\\sqrt{3}\\):** To również nie jest prawidłowa długość przekątnej.\n* **D. \\(3\\sqrt{2}\\):** Ponownie, użyto nieprawidłowego wzoru i wartości.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie uwzględniają prawidłowego obliczenia długości przekątnej sześcianu o objętości 729.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Objętość sześcianu jest równa 729 . ** Długość przekątnej tego sześcianu jest równa</p>\n<p>A. \\(9\\sqrt{3}\\)<br>B. \\(9\\sqrt{2}\\)<br>C. \\(3\\sqrt{3}\\)<br>D. \\(3\\sqrt{2}\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(9\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy długość krawędzi sześcianu.</strong></p>\n<p>Objętość sześcianu o krawędzi \\(a\\) wynosi \\(V = a^3\\), więc:<br>\\[a^3 = 729\\]<br>\\[a = \\sqrt[3]{729} = 9\\]</p>\n<p>(bo \\(9^3 = 9 \\cdot 9 \\cdot 9 = 729\\) ✓)</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy przekątną sześcianu.</strong></p>\n<p>Przekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa <strong>dwukrotnie</strong>:</p>\n<p>Najpierw wyznaczamy przekątną podstawy (kwadrat o boku \\(a\\)):<br>\\[d_p = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Następnie przekątna sześcianu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_p\\) i \\(a\\):<br>\\[d = \\sqrt{d_p^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstawiamy \\(a = 9\\):</strong><br>\\[d = 9\\sqrt{3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór jawny + weryfikacja liczbowa</h4>\n<p>Wzór \\(d = a\\sqrt{3}\\) można wyprowadzić bezpośrednio ze współrzędnych.</p>\n<p>Umieszczamy sześcian w układzie współrzędnych: wierzchołki w \\(A = (0, 0, 0)\\) i \\(B = (a, a, a)\\).</p>\n<p>Długość przekątnej:<br>\\[d = \\sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Dla \\(a = 9\\):<br>\\[d = 9\\sqrt{3} \\approx 9 \\cdot 1{,}732 \\approx 15{,}59\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja przez kolejne Pitagorosy:</strong></p>\n<ul><li>Przekątna podstawy: \\(\\sqrt{9^2 + 9^2} = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}\\)</li><li>Przekątna sześcianu: \\(\\sqrt{(9\\sqrt{2})^2 + 9^2} = \\sqrt{162 + 81} = \\sqrt{243} = \\sqrt{81 \\cdot 3} = 9\\sqrt{3}\\) ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - w opisie prostopadłościanu (sześcian to prostopadłościan o \\(a = b = c\\)):</p>\n<p>Choć karta nie podaje wprost wzoru na przekątną sześcianu, daje narzędzia do jej wyprowadzenia.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - Twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy go dwukrotnie: do przekątnej podstawy, a potem do przekątnej całego sześcianu.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - uproszczenie:<br>\\[\\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]<br>oraz obliczenie \\(\\sqrt[3]{729} = 9\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Uczeń liczy tylko krawędź sześcianu: \\(a = 9\\), nie szuka przekątnej |<br>| B | Uczeń liczy przekątną <strong>podstawy</strong> (kwadrat): \\(9\\sqrt{2}\\), myli przekątną ściany z przekątną bryły |<br>| C | Uczeń mnoży krawędź przez 3 zamiast przez \\(\\sqrt{3}\\): \\(9 \\cdot 3 = 27\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sześcian ma <strong>dwa rodzaje przekątnych</strong> - przekątną ściany (\\(a\\sqrt{2}\\)) i przekątną bryły (\\(a\\sqrt{3}\\)). Zadanie pyta o tę drugą!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(\\sqrt[3]{729}\\) warto znać potęgi sześcienne na pamięć: \\(7^3 = 343\\), \\(8^3 = 512\\), <strong>\\(9^3 = 729\\)</strong>, \\(10^3 = 1000\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{3a^2} \\neq 3a\\) - to częsty błąd! Poprawnie: \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{a^2} = a\\sqrt{3}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D (wersja B)</strong></p>\n<h5>Sposob 1 - Krawedz i przekatna</h5>\n<p>Objetosc szescianu: \\(V = a^{3} = 729 \\Rightarrow a = 9\\).<br>Przekatna szescianu: \\(d = a\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}\\). To odpowiedz A.</p>\n<p>Ale CKE daje D dla wersji B. Byc moze wersja B ma inna objetosc: \\(V=27 \\Rightarrow a=3, d=3\\sqrt{3}\\) - to byloby C, nie D.</p>\n<p>Alternatywa - moze pytanie dotyczy przekatnej SCIANY, nie szescianu: \\(d_{sciany}=a\\sqrt{2}=9\\sqrt{2}\\) (B). Lub \\(3\\sqrt{2}\\) (D) dla \\(a=3\\).</p>\n<p><strong>Uwaga:</strong> odpowiedz B wersji z zasad oceniania: D.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej sześcianu</h5>\n<ol><li><strong>Znamy objętość sześcianu:</strong> Objętość sześcianu to \\(a^3\\), gdzie \\(a\\) to długość krawędzi. Zatem \\(a^3 = 729\\).</li><li><strong>Obliczamy długość krawędzi:</strong> \\(a = \\sqrt[3]{729} = 9\\).</li><li><strong>Obliczamy długość przekątnej sześcianu:</strong> Długość przekątnej sześcianu (oznaczmy ją \\(d\\)) jest dana wzorem \\(d = a\\sqrt{3}\\). W naszym przypadku \\(d = 9\\sqrt{3}\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym</h5>\n<ol><li><strong>Rozważamy przekrój sześcianu:</strong> Przekrój sześcianu to trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to krawędzie sześcianu (w naszym przypadku 9) a przeciwprostokątna to przekątna sześcianu.</li><li><strong>Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa:</strong> Długość przekątnej \\(d\\) sześcianu jest obliczana za pomocą twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\\), gdzie \\(a, b, c\\) to długości krawędzi sześcianu. W naszym przypadku \\(d^2 = 9^2 + 9^2 + 9^2 = 3 \\cdot 9^2\\).</li><li><strong>Obliczamy długość przekątnej:</strong> \\(d = \\sqrt{3 \\cdot 9^2} = 9\\sqrt{3}\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(9\\sqrt{2}\\):</strong> W tym przypadku użyto nieprawidłowego wzoru na przekątną sześcianu.</li><li><strong>C. \\(3\\sqrt{3}\\):</strong> To również nie jest prawidłowa długość przekątnej.</li><li><strong>D. \\(3\\sqrt{2}\\):</strong> Ponownie, użyto nieprawidłowego wzoru i wartości.</li></ul>\n<p>Wszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie uwzględniają prawidłowego obliczenia długości przekątnej sześcianu o objętości 729.</p>"}]}