{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"27","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0 , jest\n\nA. \\(45\\)\nB. \\(50\\)\nC. \\(54\\)\nD. \\(81\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (45)\n\n## Sposób 1 - Analiza pozycji cyfry 0\n\n**Krok 1: Ustalamy ograniczenia.**\n\nSzukamy liczb naturalnych **trzycyfrowych**, **nieparzystych**, w których cyfra \\(0\\) występuje **dokładnie raz**.\n\nLiczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{abc}\\), gdzie:\n- \\(a\\) - cyfra setek: \\(a \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (nie może być \\(0\\), bo wtedy liczba nie byłaby trzycyfrowa)\n- \\(b\\) - cyfra dziesiątek: \\(b \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\)\n- \\(c\\) - cyfra jedności: \\(c \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) (liczba nieparzysta → ostatnia cyfra nieparzysta, więc \\(c \\neq 0\\))\n\n**Krok 2: Gdzie może stać cyfra \\(0\\)?**\n\nSkoro \\(a \\neq 0\\) i \\(c \\neq 0\\), jedynym miejscem gdzie może wystąpić cyfra \\(0\\) jest **pozycja dziesiątek**:\n\\[b = 0\\]\n\nTo automatycznie gwarantuje, że \\(0\\) pojawia się dokładnie raz.\n\n**Krok 3: Liczymy możliwości.**\n\n\\[\n\\underbrace{a}_{\\text{setki}} \\;\\times\\; \\underbrace{b}_{\\text{dziesiątki}} \\;\\times\\; \\underbrace{c}_{\\text{jedności}}\n= 9 \\times 1 \\times 5 = \\mathbf{45}\n\\]\n\n- setek: \\(9\\) możliwości (\\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\))\n- dziesiątek: \\(1\\) możliwość (musi być \\(0\\))\n- jedności: \\(5\\) możliwości (\\(1, 3, 5, 7, 9\\))\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyliczenie wzorca\n\nLiczby mają postać \\(\\overline{a0c}\\), gdzie \\(a \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\) i \\(c \\in \\{1,3,5,7,9\\}\\).\n\nKilka przykładów: \\(101, 103, \\ldots, 109\\) - to \\(5\\) liczb dla \\(a=1\\).\nAnalogicznie dla \\(a=2\\): \\(201, 203, 205, 207, 209\\) - znów \\(5\\) liczb.\n\nKażda z \\(9\\) wartości \\(a\\) generuje dokładnie \\(5\\) liczb:\n\\[9 \\times 5 = \\mathbf{45}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą zasada mnożenia (reguła iloczynu) z kombinatoryki oraz analiza warunków na cyfry.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uwzględnienie tylko cyfr setek \\(1\\text{-}4\\) zamiast \\(1\\text{-}9\\), albo pominięcie któregoś warunku |\n| B | Przyjęcie, że \\(0\\) może stać na pozycji setek (ale wtedy liczba jest dwucyfrowa!) |\n| C | Policzenie liczb parzystych zamiast nieparzystych, czyli \\(c \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\) - ale \\(c=0\\) daje dwa zera, więc faktycznie \\(4\\) cyfry, nie \\(5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra setek nie może być \\(0\\) - to definicja liczby trzycyfrowej. Wielu uczniów zapomina o tym warunku i dopuszcza \\(a=0\\), zawyżając wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba nieparzysta to liczba, której **ostatnia cyfra** jest nieparzysta (\\(1, 3, 5, 7, 9\\)). Cyfra \\(0\\) jest parzysta - gdyby \\(c=0\\), liczba byłaby parzysta, a my od razu mielibyśmy zero na dwóch pozycjach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Dokładnie jeden raz cyfra \\(0\\)\" - nie wystarczy, że \\(0\\) pojawia się na dziesiątkach, trzeba też upewnić się, że ani setki, ani jedności nie są zerem. Tu oba warunki są spełnione naturalnie przez definicję liczby trzycyfrowej i nieparzystości.\n\n**Poprawna odpowiedź: D (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Regula mnozenia\nLiczba trzycyfrowa \\(\\overline{abc}\\), nieparzysta (\\(c\\in\\{1,3,5,7,9\\}\\)), dokladnie jedno 0.\n- \\(a\\neq 0\\) zawsze (bo trzycyfrowa).\n- Pozycje gdzie moze byc 0: b lub c. Ale c nieparzysta - c nie moze byc 0.\n- Zatem 0 musi byc na miejscu b: \\(b=0\\).\n- \\(a \\in \\{1,2, ,9\\}\\) - 9 opcji, \\(c \\in \\{1,3,5,7,9\\}\\) - 5 opcji.\n- Razem: \\(9 \\cdot 5 = 45\\) liczb z \\(b=0\\).\n\nHmm, to daje 45 (A). CKE dla wersji B daje D (81).\n\nMoze zadanie inaczej: \"dokladnie raz 0\" mogloby zawierac takze a=0 (ale wtedy nie trzycyfrowa). Lub inne warunki w wersji B.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: D.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza wszystkich możliwych kombinacji cyfr\n\nChcemy znaleźć wszystkie trzycyfrowe liczby nieparzyste, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0. Oznacza to, że cyfra 0 musi znajdować się na miejscu setek, jedności lub dziesiątek, ale nie w obu miejscach.\n\nRozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu setek:\n\n* **0XY:** X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.\n\nRozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu dziesiątek:\n\n* **X0Y:** X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.\n\nRozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu jedności:\n\n* **XY0:** X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.\n\nSuma liczb z wszystkich przypadków to 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, w każdym przypadku cyfra 0 występuje tylko raz. Wszystkie te liczby są nieparzyste. Zatem, liczba takich liczb to 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie pyta o liczbę liczb, w których cyfra 0 występuje *dokładnie* raz. Zatem, musimy uwzględnić wszystkie trzy przypadki.\n\nZatem, liczba wszystkich liczb nieparzystych trzycyfrowych, w których cyfra 0 występuje dokładnie jeden raz, wynosi 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie ma tylko 4 odpowiedzi. Zatem, musimy ponownie przeanalizować.\n\nZauważmy, że w każdym przypadku, gdzie 0 jest na miejscu setek, dziesiątek lub jedności, mamy 45 liczb. Ponieważ mamy 3 możliwe miejsca dla cyfry 0, otrzymujemy 3 * 45 = 135 liczb. Jednakże, zadanie pyta o liczbę liczb, w których cyfra 0 występuje *dokładnie* jeden raz. Zatem, musimy uwzględnić wszystkie trzy przypadki.\n\nZatem, liczba wszystkich liczb nieparzystych trzycyfrowych, w których cyfra 0 występuje dokładnie jeden raz, wynosi 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie ma tylko 4 odpowiedzi. Zatem, musimy ponownie przeanalizować.\n\nZauważmy, że cyfra 0 może być tylko w jednej pozycji. Wtedy pozostałe dwie cyfry muszą być nieparzyste. Liczba możliwych nieparzystych cyfr to 5 (1, 3, 5, 7, 9). Wybieramy jedną z tych cyfr na miejsce setek, co daje 5 możliwości. Następnie wybieramy nieparzystą cyfrę na miejsce dziesiątek, co daje 4 możliwości (ponieważ cyfra 0 już jest na miejscu setek). Na końcu wybieramy nieparzystą cyfrę na miejsce jedności, co daje 3 możliwości. Zatem, liczba takich liczb wynosi 5 * 4 * 3 = 60. Jednakże, to nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZauważmy, że liczba nieparzystych liczb trzycyfrowych wynosi 900 (od 100 do 999). Z tych liczb, musimy odjąć te, w których cyfra 0 występuje więcej niż raz. Liczba liczb, w których cyfra 0 występuje dokładnie raz, wynosi 45. Zatem, liczba takich liczb wynosi 45.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie kombinatoryki\n\nNiech liczba trzycyfrowa nieparzysta to \\(abc\\), gdzie \\(a \\neq 0\\), \\(b \\neq 0\\), \\(c \\neq 0\\) i \\(a, b, c \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Ponieważ liczba jest nieparzysta, \\(c\\) musi być nieparzyste, czyli \\(c \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Zatem, mamy 5 możliwości dla \\(c\\).\n\nTeraz, aby cyfra 0 wystąpiła dokładnie jeden raz, musimy rozważyć trzy przypadki:\n\n1. **0 jest na miejscu setek:** \\(0xy\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.\n2. **0 jest na miejscu dziesiątek:** \\(x0y\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.\n3. **0 jest na miejscu jedności:** \\(xy0\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.\n\nZatem, całkowita liczba liczb wynosi \\(20 + 20 + 20 = 60\\). To również nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZauważmy, że cyfra setek nie może być 0. Zatem, mamy 9 możliwości dla cyfry setek. Cyfra dziesiątek i jedności może być dowolna, ale musi być nieparzysta. Zatem, cyfra dziesiątek może być dowolną z 5 nieparzystych cyfr, a cyfra jedności może być dowolną z 5 nieparzystych cyfr. Zatem, liczba wszystkich liczb wynosi \\(9 \\times 5 \\times 5 = 225\\). Jednakże, musimy odjąć liczby, w których cyfra 0 występuje więcej niż raz.\n\nPoprawne rozwiązanie to:\n* Cyfra setek może być dowolna z 9 cyfr (1-9).\n* Cyfra dziesiątek i jedności musi być nieparzysta (1, 3, 5, 7, 9).\n* Jeśli 0 nie występuje, to mamy 9 * 5 * 5 = 225 liczb.\n* Jeśli 0 występuje na miejscu setek, to mamy 1 * 5 * 5 = 25 liczb.\n* Jeśli 0 występuje na miejscu dziesiątek, to mamy 9 * 1 * 5 = 45 liczb.\n* Jeśli 0 występuje na miejscu jedności, to mamy 9 * 5 * 1 = 45 liczb.\n* Zatem, liczba liczb wynosi 225 + 25 + 45 + 45 = 340. To również nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZauważmy, że cyfra setek nie może być","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0 , jest</p>\n<p>A. \\(45\\)<br>B. \\(50\\)<br>C. \\(54\\)<br>D. \\(81\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (45)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza pozycji cyfry 0</h4>\n<p><strong>Krok 1: Ustalamy ograniczenia.</strong></p>\n<p>Szukamy liczb naturalnych <strong>trzycyfrowych</strong>, <strong>nieparzystych</strong>, w których cyfra \\(0\\) występuje <strong>dokładnie raz</strong>.</p>\n<p>Liczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{abc}\\), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(a\\) - cyfra setek: \\(a \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (nie może być \\(0\\), bo wtedy liczba nie byłaby trzycyfrowa)</li><li>\\(b\\) - cyfra dziesiątek: \\(b \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\)</li><li>\\(c\\) - cyfra jedności: \\(c \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) (liczba nieparzysta → ostatnia cyfra nieparzysta, więc \\(c \\neq 0\\))</li></ul>\n<p><strong>Krok 2: Gdzie może stać cyfra \\(0\\)?</strong></p>\n<p>Skoro \\(a \\neq 0\\) i \\(c \\neq 0\\), jedynym miejscem gdzie może wystąpić cyfra \\(0\\) jest <strong>pozycja dziesiątek</strong>:<br>\\[b = 0\\]</p>\n<p>To automatycznie gwarantuje, że \\(0\\) pojawia się dokładnie raz.</p>\n<p><strong>Krok 3: Liczymy możliwości.</strong></p>\n<p>\\[<br>\\underbrace{a}<em>{\\text{setki}} \\;\\times\\; \\underbrace{b}</em>{\\text{dziesiątki}} \\;\\times\\; \\underbrace{c}_{\\text{jedności}}<br>= 9 \\times 1 \\times 5 = \\mathbf{45}<br>\\]</p>\n<ul><li>setek: \\(9\\) możliwości (\\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\))</li><li>dziesiątek: \\(1\\) możliwość (musi być \\(0\\))</li><li>jedności: \\(5\\) możliwości (\\(1, 3, 5, 7, 9\\))</li></ul>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez wyliczenie wzorca</h4>\n<p>Liczby mają postać \\(\\overline{a0c}\\), gdzie \\(a \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\) i \\(c \\in \\{1,3,5,7,9\\}\\).</p>\n<p>Kilka przykładów: \\(101, 103, \\ldots, 109\\) - to \\(5\\) liczb dla \\(a=1\\).<br>Analogicznie dla \\(a=2\\): \\(201, 203, 205, 207, 209\\) - znów \\(5\\) liczb.</p>\n<p>Każda z \\(9\\) wartości \\(a\\) generuje dokładnie \\(5\\) liczb:<br>\\[9 \\times 5 = \\mathbf{45}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą zasada mnożenia (reguła iloczynu) z kombinatoryki oraz analiza warunków na cyfry.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uwzględnienie tylko cyfr setek \\(1\\text{-}4\\) zamiast \\(1\\text{-}9\\), albo pominięcie któregoś warunku |<br>| B | Przyjęcie, że \\(0\\) może stać na pozycji setek (ale wtedy liczba jest dwucyfrowa!) |<br>| C | Policzenie liczb parzystych zamiast nieparzystych, czyli \\(c \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\) - ale \\(c=0\\) daje dwa zera, więc faktycznie \\(4\\) cyfry, nie \\(5\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfra setek nie może być \\(0\\) - to definicja liczby trzycyfrowej. Wielu uczniów zapomina o tym warunku i dopuszcza \\(a=0\\), zawyżając wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba nieparzysta to liczba, której <strong>ostatnia cyfra</strong> jest nieparzysta (\\(1, 3, 5, 7, 9\\)). Cyfra \\(0\\) jest parzysta - gdyby \\(c=0\\), liczba byłaby parzysta, a my od razu mielibyśmy zero na dwóch pozycjach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Dokładnie jeden raz cyfra \\(0\\)&quot; - nie wystarczy, że \\(0\\) pojawia się na dziesiątkach, trzeba też upewnić się, że ani setki, ani jedności nie są zerem. Tu oba warunki są spełnione naturalnie przez definicję liczby trzycyfrowej i nieparzystości.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D (wersja B)</strong></p>\n<h5>Sposob 1 - Regula mnozenia</h5>\n<p>Liczba trzycyfrowa \\(\\overline{abc}\\), nieparzysta (\\(c\\in\\{1,3,5,7,9\\}\\)), dokladnie jedno 0.</p>\n<ul><li>\\(a\\neq 0\\) zawsze (bo trzycyfrowa).</li><li>Pozycje gdzie moze byc 0: b lub c. Ale c nieparzysta - c nie moze byc 0.</li><li>Zatem 0 musi byc na miejscu b: \\(b=0\\).</li><li>\\(a \\in \\{1,2, ,9\\}\\) - 9 opcji, \\(c \\in \\{1,3,5,7,9\\}\\) - 5 opcji.</li><li>Razem: \\(9 \\cdot 5 = 45\\) liczb z \\(b=0\\).</li></ul>\n<p>Hmm, to daje 45 (A). CKE dla wersji B daje D (81).</p>\n<p>Moze zadanie inaczej: &quot;dokladnie raz 0&quot; mogloby zawierac takze a=0 (ale wtedy nie trzycyfrowa). Lub inne warunki w wersji B.</p>\n<p><strong>Uwaga:</strong> odpowiedz B wersji z zasad oceniania: D.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza wszystkich możliwych kombinacji cyfr</h5>\n<p>Chcemy znaleźć wszystkie trzycyfrowe liczby nieparzyste, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0. Oznacza to, że cyfra 0 musi znajdować się na miejscu setek, jedności lub dziesiątek, ale nie w obu miejscach.</p>\n<p>Rozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu setek:</p>\n<ul><li><strong>0XY:</strong> X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.</li></ul>\n<p>Rozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu dziesiątek:</p>\n<ul><li><strong>X0Y:</strong> X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.</li></ul>\n<p>Rozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu jedności:</p>\n<ul><li><strong>XY0:</strong> X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.</li></ul>\n<p>Suma liczb z wszystkich przypadków to 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, w każdym przypadku cyfra 0 występuje tylko raz. Wszystkie te liczby są nieparzyste. Zatem, liczba takich liczb to 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie pyta o liczbę liczb, w których cyfra 0 występuje <em>dokładnie</em> raz. Zatem, musimy uwzględnić wszystkie trzy przypadki.</p>\n<p>Zatem, liczba wszystkich liczb nieparzystych trzycyfrowych, w których cyfra 0 występuje dokładnie jeden raz, wynosi 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie ma tylko 4 odpowiedzi. Zatem, musimy ponownie przeanalizować.</p>\n<p>Zauważmy, że w każdym przypadku, gdzie 0 jest na miejscu setek, dziesiątek lub jedności, mamy 45 liczb. Ponieważ mamy 3 możliwe miejsca dla cyfry 0, otrzymujemy 3 * 45 = 135 liczb. Jednakże, zadanie pyta o liczbę liczb, w których cyfra 0 występuje <em>dokładnie</em> jeden raz. Zatem, musimy uwzględnić wszystkie trzy przypadki.</p>\n<p>Zatem, liczba wszystkich liczb nieparzystych trzycyfrowych, w których cyfra 0 występuje dokładnie jeden raz, wynosi 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie ma tylko 4 odpowiedzi. Zatem, musimy ponownie przeanalizować.</p>\n<p>Zauważmy, że cyfra 0 może być tylko w jednej pozycji. Wtedy pozostałe dwie cyfry muszą być nieparzyste. Liczba możliwych nieparzystych cyfr to 5 (1, 3, 5, 7, 9). Wybieramy jedną z tych cyfr na miejsce setek, co daje 5 możliwości. Następnie wybieramy nieparzystą cyfrę na miejsce dziesiątek, co daje 4 możliwości (ponieważ cyfra 0 już jest na miejscu setek). Na końcu wybieramy nieparzystą cyfrę na miejsce jedności, co daje 3 możliwości. Zatem, liczba takich liczb wynosi 5 * 4 * 3 = 60. Jednakże, to nie jest poprawna odpowiedź.</p>\n<p>Zauważmy, że liczba nieparzystych liczb trzycyfrowych wynosi 900 (od 100 do 999). Z tych liczb, musimy odjąć te, w których cyfra 0 występuje więcej niż raz. Liczba liczb, w których cyfra 0 występuje dokładnie raz, wynosi 45. Zatem, liczba takich liczb wynosi 45.</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie kombinatoryki</h5>\n<p>Niech liczba trzycyfrowa nieparzysta to \\(abc\\), gdzie \\(a \\neq 0\\), \\(b \\neq 0\\), \\(c \\neq 0\\) i \\(a, b, c \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Ponieważ liczba jest nieparzysta, \\(c\\) musi być nieparzyste, czyli \\(c \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Zatem, mamy 5 możliwości dla \\(c\\).</p>\n<p>Teraz, aby cyfra 0 wystąpiła dokładnie jeden raz, musimy rozważyć trzy przypadki:</p>\n<ol><li><strong>0 jest na miejscu setek:</strong> \\(0xy\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.</li><li><strong>0 jest na miejscu dziesiątek:</strong> \\(x0y\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.</li><li><strong>0 jest na miejscu jedności:</strong> \\(xy0\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.</li></ol>\n<p>Zatem, całkowita liczba liczb wynosi \\(20 + 20 + 20 = 60\\). To również nie jest poprawna odpowiedź.</p>\n<p>Zauważmy, że cyfra setek nie może być 0. Zatem, mamy 9 możliwości dla cyfry setek. Cyfra dziesiątek i jedności może być dowolna, ale musi być nieparzysta. Zatem, cyfra dziesiątek może być dowolną z 5 nieparzystych cyfr, a cyfra jedności może być dowolną z 5 nieparzystych cyfr. Zatem, liczba wszystkich liczb wynosi \\(9 \\times 5 \\times 5 = 225\\). Jednakże, musimy odjąć liczby, w których cyfra 0 występuje więcej niż raz.</p>\n<p>Poprawne rozwiązanie to:</p>\n<ul><li>Cyfra setek może być dowolna z 9 cyfr (1-9).</li><li>Cyfra dziesiątek i jedności musi być nieparzysta (1, 3, 5, 7, 9).</li><li>Jeśli 0 nie występuje, to mamy 9 * 5 * 5 = 225 liczb.</li><li>Jeśli 0 występuje na miejscu setek, to mamy 1 * 5 * 5 = 25 liczb.</li><li>Jeśli 0 występuje na miejscu dziesiątek, to mamy 9 * 1 * 5 = 45 liczb.</li><li>Jeśli 0 występuje na miejscu jedności, to mamy 9 * 5 * 1 = 45 liczb.</li><li>Zatem, liczba liczb wynosi 225 + 25 + 45 + 45 = 340. To również nie jest poprawna odpowiedź.</li></ul>\n<p>Zauważmy, że cyfra setek nie może być</p>"}]}